INDEX

CURATOR'S NOTEpag. III

INTRODUCTIONpag. 1

Chap. I - The Pythagorean Tetractys and the Masonic Deltap. 12

Chap. II - The quatern of composite or synthetic numbersp. 25

Chap. III - The triad of odd prime numbers within the decadep. 34

Chap. IV - The Pythagorean pentalpha and the flaming starp. 45

Chap. V - The number and its powersp. 59

Chap. VI - The tripartite tablep. 71

Chap. VII - The Great Work and the Palingenesisp. 78

INDICE

NOTA DEL CURATOREpag. III

PREMESSEpag. 1

Cap. I - La Tetractis pitagorica ed il Delta massonicop. 12

Cap. II - La quaterna dei numeri composti o sintetici p. 25

Cap. III - La terna dei numeri primi dispari entro la decadep. 34

Cap. IV - Il pentalfa pitagorico e la stella fiammeggiantep. 45

Cap. V - Il numero e le sue potenze p. 59

Cap. VI - La tavola tripartitap. 71

Cap. VII - La Grande Opera e la Palingenesi p. 78

NOTE FROM THE CURATOR, Graziano Gamba

"The Florentine mathematician and scholar Arturo Reghini (1878-1946), a high dignitary of Freemasonry before its dissolution at the hands of fascism, was the best-known exponent of neo-Pythagoreanism in the twentieth century, and a theorist of "Pagan imperialism." A Friend of Giovanni Amendola and of Giovanni Papini, a leading figure of the Florentine scapigliatura at the time of the magazines "Leonardo," "Lacerba" and "La Voce," he was, in turn, the founder of the magazines "Atanòr" (1924), "Ignis" (1925 ) and - with Julius Evola - "UR" (1927-1928). Linked to his work are the revival of "cultured magic", neo-Platonic and Renaissance, which he opposed to Christianity as a gateway to the divine, and a radical critique of modern occultism and pseudo-esotericisms. In collaboration with René Guénon, he hoped for the spiritual rebirth of the West through the formation of an initiatory elite in the framework of a process of regeneration of Freemasonry, in which he saw a "deviated" residue of an ancient Hermetic-Pythagorean organization, of pre-Christian origin and heir of the ancient Mysteries. Most effective polemicist; he was an interventionist and advocate of early fascism, but broke with Mussolini at the time of the Matteotti assassination and, with the establishment of the dictatorship, he retired to the study of Pythagorean geometry and mathematics. Already in his life, a substantial legend of "magician" and prodigy maker had formed on his account, enriched over time with other imaginative additions."
A recent biography ¹⁾ presented the complex figure of Arturo Reghini in these icastic but substantially exact terms.

The history of this work, the last written by Reghini before his death, was briefly narrated by his disciple Giulio Parise in the "Note" of presentation to a posthumous pamphlet by Reghini himself ²⁾: "I asked A. R. the philosophical and initiatory development of the work on Pythagorean numbers; he was able to complete, in about two months, a volume on Sacred Numbers in the Masonic Pythagorean tradition…."
The book was finished printing on January 20, 1947 "by the printing house S. Barbara of Ugo Pinnarò, Rome - Via Pompeo Magno, 29." The publisher was the aforementioned Parise, through the Ignis publishing house, the same that in 1935 had published the Reghinian study. For the restoration of Pythagorean geometry. Reghini had died six months earlier, on 1 July 1946.
In the elaboration of the electronic text, the corrections indicated by the Publisher in the Errata Corrige attached to the first edition of 1947 were made, and also those of printing errors identified during the transcription, as well as to rectify some (very rare) bibliographic inaccuracies scattered here and there and undoubtedly due to the particular conditions in which Reghini found himself working in the immediate post-war period, without the possibility of making the appropriate checks.
With this, the Curator intended to discharge a debt of gratitude contracted exactly 40 years ago towards Giulio Parise, albeit without the latter's knowledge.
Cosmopoli, May 24, 2007.

1)   DI LUCA N. M., Arturo Reghini. Un intellettuale neo-pitagorico tra Massoneria e Fascismo, Atanòr, Rome, 2003.
2)   REGHINI A., Considerations on the Ritual of the Apprentice Mason with a note on the life and Masonic activity of the Author by Giulio Parise, Edizioni di Studi Initiatici, Naples, s.d. [1946].

NOTA DEL CURATORE, Graziano Gamba

«Il matematico ed erudito fiorentino Arturo Reghini (1878-1946), alto dignitario della Massoneria prima del suo scioglimento ad opera del fascismo, fu il più noto esponente del neo-pitagorismo nel XX secolo e teorico dell'"lmperialismo Pagano". Amico di Giovanni Amendola e di Giovanni Papini, personaggio di punta della scapigliatura fiorentina all'epoca delle riviste "Leonardo", "Lacerba" e "La Voce", fu a sua volta fondatore delle riviste "Atanòr" (1924), "Ignis" (1925) e - con Julius Evola - "UR" (1927-1928). Alla sua opera sono legate la riproposizione della "magia colta", neo-platonica e rinascimentale, che contrappose al Cristianesimo come via d'accesso al divino, ed una critica radicale dell'occultismo e degli pseudo-esoterismi moderni. In collaborazione con René Guénon, auspicò la rinascita spirituale dell'Occidente attraverso la formazione di un'élite iniziatica nel quadro di un processo di rigenerazione della Massoneria, in cui vedeva un residuo "deviato" di un'antica organizzazione ermetico-pitagorica, d'origine pre-cristiana ed erede degli antichi Misteri. Polemista efficacissimo; fu interventista e fautore del primo fascismo, ma ruppe con Mussolini all'epoca del delitto Matteotti e con l'instaurazione della dittatura, ritirandosi nello studio della geometria e della matematica pitagoriche. Già in vita, sul suo conto s'era formata una corposa leggenda di "mago" e di facitore di prodigi, arricchitasi con il tempo di altre fantasiose aggiunte».

In questi termini, icastici ma sostanzialmente esatti, una recente biografia ¹⁾ presentava la complessa figura di Arturo Reghini.
La storia della presente opera, l'ultima scritta da Reghini prima della morte, è stata brevemente narrata dal suo discepolo Giulio Parise nella "Nota" di presentazione ad un opuscolo postumo dello stesso Reghini ²⁾: «Chiesi ad A. R. lo sviluppo filosofico ed iniziatico della opera sui numeri pitagorici; poté condurre a termine, in circa due mesi, un volume su I numeri sacri nella tradizione pitagorica massonica… ».
Il libro fu finito di stampare il 20 gennaio 1947 «per i tipi dello stab. tip. S. Barbara di Ugo Pinnarò, Roma — Via Pompeo Magno, 29». Editore fu il già citato Parise, attra-verso la Casa editrice Ignis, la medesima che nel 1935 aveva pubblicato lo studio reghiniano. Per la restituzione della geometria pitagorica. Reghini era morto sei mesi prima, il 1° luglio 1946.

Nell'elaborazione del testo elettronico si è provveduto ad operare le correzioni indicate dall'Editore nell'Errata Corrige in allegato alla prima edizione del 1947, nonché quelle di errori di stampa individuati nel corso della trascrizione, come pure a rettificare talune (rarissime) imprecisioni bibliografiche sparse qua e là ed indubbiamente dovute alle particolari condizioni in cui Reghini si trovò a lavorare nell'immediato dopo-guerra, senza la possibilità di effettuare gli opportuni riscontri.

Con ciò il Curatore ha inteso assolvere un debito di riconoscenza contratto esattamente 40 anni fa nei confronti di Giulio Parise, sebbene all'insaputa di quest'ultimo.
Cosmopoli, 24 maggio 2007

1)   DI LUCA N. M., Arturo Reghini. Un intellettuale neo-pitagorico tra Massoneria e Fascismo, Atanòr, Roma, 2003.
2)   REGHINI A., Considerazioni sul Rituale dell'apprendista libero muratore con una nota sulla vita e l'attività massonica dell'Autore di Giulio Parise, Edizioni di Studi Iniziatici, Napoli, s.d. [1946].

ARTURO REGHINI

THE SACRED NUMBERS

IN THE MASONIC PYTHAGOREAN TRADITION

Premises

Freedom he is seeking, for so dear it is
As knows he, who his life refuses for it.
DANTE, Purg., I, 71-72.

According to what the ancient rituals and the ancient Masonic constitutions unanimously affirm, Freemasonry has as its goal the perfecting of man.
Even the ancient classical mysteries had the same purpose and conferred the teleté, initiatory perfection; and this technical term was etymologically connected to the three meanings of end, death, and perfection, as the Pythagorean Plutarch already observed. And Jesus also uses the same word, téleios, when he exhorts his disciples to be "perfect as your Father who is in heaven," although, with one of the frequent inconsistencies of the Holy Scriptures, Jesus himself affirms that "no one is perfect, except my Father who is in heaven."

The definition we have reported would seem explicit and precise; yet with a slight formal alteration, has undergone a serious alteration in the concept. For example, Pianigiani's etymological dictionary states that the goal of Freemasonry is the perfecting of mankind; and not only many laymen but also many Masons accept this second definition. At first sight, it may seem that the perfecting of man and the perfecting of mankind mean the same thing; in fact, they refer to two deeply different concepts, and the apparent synonymy generates a misunderstanding and hides a misunderstanding. Others use the expression: perfection of men, which is also equivocal. Now, obviously, it is not possible to pontificate which is the correct interpretation, because every Mason can declare to be the right one the one that suits his tastes, and maybe he can be pleased with the misunderstanding. However, if one wishes to determine, historically and traditionally, the interpretation which is correct and conforming to the masonic symbolism, the question changes aspect and is no longer a matter of taste.

The manuscript found by Locke (1696) in the Bodleian Library and published only in 1748 and which is attributed to the hand of Henry VI of England, defines Freemasonry as "the knowledge of nature and the understanding of the forces that are in it"; and expressly states the existence of a link between Freemasonry and the Italic School, because he states that Pythagoras, a Greek, traveled to be educated in Egypt, Syria, and in all the countries where the Venetians (read the Phoenicians) had Masonry. Admitted to all the lodges of Freemasons, he acquired great knowledge, returned to Magna Graecia … and founded an important lodge there in Crotone. ¹⁾
Actually, the manuscript talks about Peter Gower; and, as the surname Gower exists in England, Locke was somewhat perplexed in Peter Gower's identification with Pythagoras. But other manuscripts, and the Anderson Constitutions themselves, explicitly mention Pythagoras. The Cooke manuscript says that Freemasonry is the principal part of Geometry and that it was Euclid, a very subtle and wise inventor, who regulated this art and gave it the name of Freemasonry. And the Pythagorean reminiscences in the "Old Charges" are also traced in the most ancient, printed ritual (1724) which ²⁾ attributes a special value to odd numbers, in conformity with the Pythagorean tradition. ³⁾
The ancient Masonic manuscripts concord, therefore, in indicating as the goal of Freemasonry that of the perfection of man, of the single individual; and the initiatory tests, the symbolic journeys [perambulations], the work of the apprentice, and of the fellow-craft, have a manifest individual and not a collective character.
According to the most ancient Masonic conception, the "great work" of improvement is to be carried out by operating on the "rough stone," that is, on the single individual, by squaring, smoothing and rectifying the rough stone until it is transformed into the [perfect ashlar] "cubic stone of Mastership," and applying in the operation the traditional rules of the Masonic "Royal Art" of spiritual edification. With perfect analogy, a parallel tradition, the hermetic tradition that at least since 1600 also appears grafted onto the purely masonic one, teaches that "the great work" is carried out by operating on the "raw material" and transforming it into a "philosopher's stone" following the rules of "Hermetic Royal Art." It is summarized in Basil Valentine's maxim: Visita interiora terrae, rectificando invenies occultum lapidem ⁴⁾ or in the Emerald Tablet, attributed by modern Arabists to the Pythagorean Apollonius of Tyana. On the other hand, according to the profane and less ancient Masonic conception, the work of improvement must be carried out on the human community, and it is mankind, that is, society, that must be transformed and perfected; and in this way, the spiritual asceticism of the individual is substituted by collective politics. Masonic works thus acquire a prevalently social, if not solely social, purpose and character; and the real purpose of Freemasonry, that is the improvement of the individual, is placed second, if not neglected, forgotten, and ignored.

1)   HUTCHINSON, Spirit of Masonry; PRESTON, Illustrations of Masonry; DE CASTRO, Mondo segreto [Secret world], IV, 91; ARTURO REGHINI, Noterelle iniziatiche. Sull'origine del simbolismo muratorio [Short Initiatory Notes. On the origin of masonic symbolism], Masonic Review, June-July 1923.
2)   The Grand Mystery of Free-masons discovered wherein are the several questions put to them at their Meetings and installation, London 1724.
3)   VIRGIL, Bucolicon, Eclogue VIII: God loves odd numbers.
4)   The initials of this maxim form the word V.I.T.R.I.O.L., the universal solvent of the alchemists, still called aqua regia today.

The traditionally correct conception is certainly the first one, and in the Masonic literature of two centuries ago there was a great vogue for exaggerated and imaginative approaches and identifications of the Masonic with the Eleusinian Mysteries. Without a doubt, the ritualistic and symbolic patrimony of the Masonic Order is in harmony only with the most ancient conception of the goal of Freemasonry; in fact, the testament of the initiate, the symbolic journeys [perambulations], the terrible trials, the birth in the initiatory light, the death and resurrection of Hiram, it is not clear what relationship they may have with the Masonic works and with the purpose of Freemasonry if everything is to be reduced to make politics.
Historically, the interest and intervention of Freemasonry in political and social issues is manifested only towards 1730 and only in some European regions with the transplantation of English Freemasonry on the continent. The little that is known of the ancient masonic lodges before 1600 shows the presence and use of a trade, architectural, geometric, numerical symbolism in Masonic works, which by its nature has a universal character, is not linked to a specific civilization, or even to a particular language, and is independent of any political and religious belief. For this reason, the Mason, according to the ritual, "can neither read nor write."

A Hebrew element appears in the legend of Hiram and the construction of the Temple, and the sacred words of the Apprentice and Fellow-craft [Boaz and Jachin] (the only degrees then existing), which refer to this legend, are Hebrew. This legend is not part of the traditional heritage of the Order; Hiram's death does not figure in the ancient Masonic manuscripts, and Anderson's constitutions ignore the third degree. However, the presence of Hebrew elements and words should not be surprising in a time when Hebrew was considered a sacred language, indeed the sacred language in which God had spoken to man in the earthly Paradise; it is a presence whose importance and significance should not be exaggerated, and which certainly is not enough to justify the assertion of the Jewish character of Freemasonry. The letter G of the Greek-Latin alphabet, initial of geometry and of the English word God, which sometimes appears in the Blazing Star or in the Masonic Delta, seems to be an innovation (useless for those who can neither read nor write), while those two fundamental symbols of the Order are none other than the two most important symbols of Pythagoreanism: the pentalpha or pentagram and the Pythagorean tetractys. Masonry or Royal Art, a term used by the Neoplatonic philosopher Maximus of Tire, ⁵⁾ was identified with geometry, one of the sciences of the Pythagorean quadrivium, and it is not clear how Oswald Wirth, the learned Freemason and hermeticist, can write that the Masons of the seventeenth century ⁶⁾ were able to proclaim themselves adepts of the Royal Art because kings were once interested in the work of the privileged construction guilds of the Middle Ages. The elements of pure masonic character constitute, together with the numerical and geometric symbolism, the archaic and genuine symbolic and ritualistic patrimony of brotherhood. We do not say characteristic heritage because these elements appear, at least partially, also in the compagnonnage, which is, moreover, very similar to Freemasonry.
Later on, between 1600 and 1700, when the English lodges began to accept the Accepted Masons as brothers, that is to say also people who do not practice the profession of architects or the profession of bricklayers, also appeared hermetic and Rosicrucian elements, such as Elia Ashmole for example, as Gould shows in his History of Freemasonry. This contact between the Hermetic and the Masonic traditions also occurs outside England at about the same time, which naturally implies the existence on the continent of Masonic lodges not deriving from the Grand Lodge of England. The title page of an important text of Hermeticism published in 1618 ⁷⁾ contains, alongside hermetic symbols (the Rebis), also the purely masonic symbols of the square and the compasses, and the same happens in an Italian alchemy booklet ⁸⁾ engraved in lead sheets and which dates back almost to that period.


Among other things, this booklet shows Tubalcain holding a square and a compass in his hands. Now, Tubalcain is the first blacksmith mentioned in the Bible [Genesis 4:22]; and for an etymological error, then accepted and very widespread, for example by the scholar Vossio, he was identified with Vulcan, the blacksmith of the Gods and the God of fire, who, according to the concept of alchemists and hermeticists, presided over the hermetic fire (or spiritual ardor), the fire which alone accomplished the great work of transmutation. In one of our early works ⁹⁾ we have given an erroneous interpretation of the Tubalcain password, not knowing the erroneous identification of Vulcan with Tubalcain accepted by the hermeticists and in general by the scholars of the seventeenth and eighteenth centuries. It now seems clear to us that this word and other passages draw their derivation from Hermeticism, and we believe it probable that they have been introduced into Freemasonry, and placed alongside the sacred words, as evidence of the contact established between the two traditions, the masonic and the hermetic. The passwords of the 2nd and 3rd degrees do not exist in the Prichard ritual (1730). Hermeticism and Freemasonry have as their goal the "great work of transmutation," and the two traditions transmit the secret of an art, which they both designate with the term Royal Art already used by Maximus of Tyre. It was therefore natural that they should recognize each other as related. We observe how the adoption of hermetic symbolism does not take place to the detriment of Masonic universality and its independence from religion and politics, because even hermetic or alchemical symbolism is by its nature foreign to any religious or political belief. Masonic art and hermetic art, also simply called art, is an art and not a doctrine or a confession.
Until 1717, every Masonic lodge was free and autonomous; the brothers of one lodge were received as visitors in other lodges, provided they knew how to respond to the Tyler's examination, but each Worshipful Master was the sole and supreme authority for the brothers of a lodge. In 1717, a change occurred with the constitution of the first Grand Lodge, the Grand Lodge of London, and shortly afterwards the Masonic Constitutions for the Lodges under the Grand Lodge of London were compiled by the Protestant pastor Anderson; and, although theoretically a lodge could and still maintain its autonomy or place itself in the obedience of a Grand Lodge, ¹⁰⁾ in practice today, lodges which directly or indirectly are an emanation and derivation of the Grand Lodge of London are considered to be regular lodges, assuming that this derivation, and only it can confer "regularity."

5)   MAXIME DE TYR, Discours Philosophiques, trad. par FORMEY, Leida 1764. Disc. XI, pag. 173.
6)   See OSWALD WIRTH, Le Livre du Maître, 1923, pag. 7.
7)   This is the Basilica Philosophica - by JOHANNIS MYLII, Francof. 1618.
8)   See PIETRO NEGRI, An Italian alchemical code engraved on leaded sheets, in the UR magazine, year 1927, Nos. 9 and 10 [Editor's note: "Pietro Negri" was the pseudonym used by Reghini himself in the magazine "UR"
9)   See ARTURO REGHINI, Le parole sacre e di passo ed il massimo mistero massonico [The sacred and passwords and the greatest Masonic mystery], Todi 1922.
10)   O. WIRTH expresses this opinion categorically (Livre du Maître, p. 189).

Now, it is very important to note that the Anderson Constitutions explicitly state that, to be initiated and belong to Freemasonry, one only needs to be a free man and of good morals, exalting (unlike the various Christian sects) the principle of mutual tolerance of each brother for the beliefs of others, adding only that a Mason will never be a "stupid atheist." Someone may perhaps think that Anderson admits that the Mason may be an intelligent atheist, but it is more likely that Anderson, as a good Christian, admits that an atheist is necessarily a fool, following the maxim that says: Dixit stultus in corde suo: Non est Deus [The fool has said in his heart: there is no god]. It would be necessary here to digress and observe that, in this dispute, both the one affirming and the one denying have in general no notion of what they claim to exist or not, and that the word God is usually used with such an indeterminate meaning as to make any discussion useless. However, the Constitutions of Freemasonry are explicitly theistic; and those profane who accuse Freemasonry of atheism are in bad faith or are unaware that it works for the glory of the Great Architect of the Universe; and we observe again that this designation, besides being in harmony with the character of the masonic symbolism, has a precise and intelligible meaning, unlike other vague or meaningless designations such as that of "Our Lord", of "Father of all men," etc.
Of greater interest is the requisite of being a free man required from the layman to be initiated, and for the Mason to consider him a brother. Anderson continues to call the Freemasons Free-Masons, and it remains only to examine what this freedom of the Free-Masons consists of. Is it just an economic and social franchise that excludes slaves or servants and the franchises and privileges enjoyed by the corporation of freemasons with respect to the governments of the states and the various regions in which it carried out its activity?   Or should this appellation of freemasons also be understood in another sense, of not being a slave to prejudices and beliefs that there was no need to flaunt?   If this were the case, it would be in vain to look for documented evidence, and the question would remain undecided. Yet it is possible to say something about it, thanks to a document of 1509, whose existence or importance seems not to have been noticed up to now.
It is a letter written on February 4, 1509 to Heinrich Cornelius Agrippa by an Italian friend of his, a certain Landolfo, to recommend him an initiate. Landolfo ¹¹⁾ writes: "He is a German, like you, originally from Nuremberg, but lives in Lyon. Curious investigator of the arcana of nature, and a free man, completely independent of the rest, based on the reputation you already have, he too wants to explore your abyss … Throw him, therefore, into space, to test him; and carried on the wings of Mercury may fly from the regions of the Austro [southerly wind in the Mediterranean Sea] to those of the Aquilone [wind from north-north-east regions], take also the scepter of Jupiter; and if this neophyte wants to swear our statutes, associate him with our brotherhood." It is a hermetic secret society founded by Agrippa, and the analogy between this test in space to be faced by the initiate and the terrible tests and symbolic journeys of Masonic initiation is evident, although here the test is carried out on the wings of Hermes; Hermes Psychopomps, the father of philosophers according to the Hermetic tradition, is the guide of souls in the classical afterlife and in the initiatory mysteries. Here too appears the free man qualification, sufficient to open the doors to those who profanely knock on the door of the temple; here too the principle of freedom of conscience and, consequently, of tolerance appears in substance; the two parallel traditions, the masonic and the hermetic, place the same only condition for the layman to be initiated: that of being a free man; and it follows that, presumably, it did not refer to the particular franchises of the trade guilds, which, moreover, it would have been out of place to demand from the accepted Masons who were not masons by trade, but freemasons.

11)   HEINRICH CORNELIUS AGRIPPA, Epistles. See also the monograph by ARTURO REGHINI, premessa alla versione italiana della Filosofia Occulta di Agrippa [introduction to the Italian version of Agrippa's Occult Philosophy.

The fundamental character of the Anderson Masonic Constitutions lies, therefore, in the principle of freedom of conscience and tolerance, which also makes it possible for non-Christians to belong to the Order. In the Constitutions of Anderson, Freemasonry retains its universal character, is not subordinate to any particular philosophical belief or any religious sect, and does not show any tendency to work of a social and political nature; it may be that this non-denominational and free character also inspired Freemasonry before 1717, and that Anderson did nothing but sanction it in the Constitutions.
Transplanting itself into America and in the European continent, Freemasonry generally retains this universal character of religious and philosophical tolerance, and remains alien to any participation in political and social movements, sometimes accentuating, as in Germany, its interest in Hermeticism. On the other hand, the new rites and high degrees arose from about 1740, but they took care to keep intact the rite and rituals of the first three degrees, that is of the real Freemasonry also called symbolic or blue Freemasonry. The rituals of these high degrees are sometimes a development of the legend of Hiram, or they are linked to the Rosicrucians, to Hermeticism, to the Templars, to Gnosticism, to the Cathars …, that is to say, they do not have a real Masonic character, and from the point of view of Masonic initiation they are absolutely superfluous. Freemasonry is all in the first three degrees recognized by all Rites and placed at the base of the high degrees and the upper chambers of the various Rites. The fellow-craft Mason, once he becomes a master, he has symbolically finished his great work; and the high degrees could have some truly Masonic function only if they contributed to the correct interpretation of the masonry tradition, and to a more intelligent understanding and application of the rite, that is, of the Royal Art.
Of course, this does not mean that the high degrees should be abolished, because the brothers awarded the high degrees are free, and those of them who like to gather in rites and bodies to carry out work not in contrast with the Masonic ones must have the freedom to do so. However, from a strictly Masonic point of view, their belonging to other rites and superior chambers does not in any way place them above those masters who do not feel the need for work other than that of the universal Masonry of the first three degrees. Moreover, it is clear that distinct rites, such as that of Swedenborg, the Scottish Rite, that of the Strict Observance, that of Memphis… precisely because they are no longer universal, or they are only so as they are based on the first three degrees. To forget it or to attempt to distort the universal, free and tolerant character of Freemasonry, in order to impose particular points of view and objectives on the Lodge brethren, would be against the spirit of the masonic tradition and against the letter of the Constitutions of the Brotherhood.
The first alteration appears in France, simultaneously with the blooming of the high degrees. The ferment of the spirits in this period, the movement of the Encyclopedias, have repercussions in Freemasonry, which spreads widely and rapidly; and so it happens for the first time that the interest of the Order is directed and concentrated in political and social questions. To affirm that the French Revolution was the work of Freemasonry seems to us at least exaggerated; on the other hand, it is undeniable that Freemasonry suffered in France, and it would have been difficult for this not to have happened, the influence of the great profane movement which led to the revolution and then culminated in the empire. French Freemasonry became and remained even later a politically colored Freemasonry interested in political and social questions, and it formed what is considered by some to be the Masonic tradition, although it is at most the French Masonic tradition, quite distinct from the ancient tradition. This deviation and this persuasion are the first cause, although not the only one, of the contrast that has subsequently arisen between the Anglo-Saxon Freemasonry and the French Freemasonry; also in Italy it has been the source of the Masonic dissensions of the last fifty years and of the consequent disunity and weakness of Freemasonry in the face of fascist and Jesuit attacks and persecution. However, even the brothers who follow this French Masonic tradition have not forgotten the principle of tolerance, and in the Italian Masonic lodges, even before the fascist persecution, there were brothers of all political and religious faiths, including Catholics and monarchists.
It should also be remembered that in the period shortly before the outbreak of the French Revolution, not all Masons forgot the true nature of Freemasonry, although bewildered by the numerous different and contrasting rites; and the Philalethes Convention was held in order to trace what was the true Masonic tradition, that is, the true master's word which, according to the same legend of Hiram, had been lost. Masons of every rite met at the Philalethes Convention, all eager to restore unity. Only Cagliostro, who had founded the Rite of Egyptian Freemasonry in only three degrees, dedicated exclusively to the work of spiritual edification, refused to participate in the Convent of the Philalethes for reasons that would take a long time to expose.
The French Masonic influence asserted itself, after the revolution and during the empire, also in Italy; the presence even today of some technical terms in Masonic "travails" [works] such as the Worshipful Master's "maglietto", an unfortunate version of the maillet or gavel, bears witness to this. ¹²⁾ The French and Italian Freemasonry had intimate relations throughout the last century, and at times assumed a revolutionary, republican, and even materialist and positivist attitudes, following the philosophical vogue of the time. It cannot be said, however, that Freemasonry became in Italy a materialist Freemasonry, because not only was it always tolerant of all opinions, but it revered in a special way the great soul of Giuseppe Mazzini; and the great Italian Freemasons such as Garibaldi, Bovio, Carducci, Filopanti, Pascoli, Domizio Torrigiani, and Giovanni Amendola were all idealists and spiritualists. The savage fury of devastation of our temples, of our libraries, and the vandalism that tore apart the portraits and busts of the great spiritualists like Mazzini and Garibaldi that decorated our headquarters was carried out exclusively by the fascist mob.

12)   Likewise, "pietra polita" instead of "polished stone" from the French pierre polie; "lupetto" and also "lupicino" [wolf cub] which is a version of [the French] louveton [Lewis], in turn a phonetic and semantic transformation from Lufton, son of Gabaon, the generic name of the Freemason according to the primitive English and French rituals.

On the other hand, it must be recognized that, if the Anglo-Saxon Freemasonry has always maintained the spiritualist character and has never thought of declaring the inexistence of the Great Architect of the Universe, it has often been inclined, and still is, to confer a Christian color to his spiritualism, moving away from the spirit of absolute impartiality and non-denomination of the Anderson Constitutions. It cannot be denied that imposing the oath on the Gospel of St. John is a manifestation that is not too tolerant with respect to those profane and those brothers who, being agnostics, or pagans, or Jews or free thinkers, do not feel particular sympathy for the Gospel of San Giovanni, and they know nothing of the Johannite tradition. The intolerance is accentuated with the habit of inflicting the reading and commenting of verses from the Gospel during the work of the Lodge. This ill habit, if it were to be affirmed, would reduce the work of the Lodge to the level of a service of a Quaker or Puritan church, to a sort of annoying, inconclusive and repulsive rosary and vespers to the free conscience of the many brothers who, even in England, and in America, not only do they not go to mass, and do not accept the infallibility of the Pope, but they no longer even accept the authority of the Bible. Is it worthwhile to provoke discomfort and intolerance between the columns without significant compensation? Do you believe by such means to convert others to your belief, and to stem the powerful wave of English and American agnosticism?
These considerations lead Freemasonry to maintain its universal character above any religious and philosophical belief and any political faith. This does not mean that we should disassociate from politics. Indeed, it is necessary to defend oneself. Intolerance cannot let tolerance flourish; and tolerance can tolerate everything except admittedly hostile intolerance. As soon as the Constitutions of Anderson appeared with their principle of freedom and tolerance, the Catholic Church excommunicated Freemasonry guilty, precisely, of tolerance; and its fury against Freemasonry has never been denied again. In Italy, the persecution against Freemasonry in the last twenty years has been initiated and supported by the Jesuits and by the nationalists; ¹³⁾ and the Fascists, to ingratiate themselves with these gentlemen, did not hesitate to provoke the aversion of the civilized world against Italy with their vandalism against Freemasonry. The Jesuits have lost this war; but the plague of intolerance is not over, on the contrary, it appears in new forms and the need to prevent it continues. On the other hand, the time has come, if we do not err, to spread Freemasonry over the whole surface of the earth and to establish a brotherhood among men of all races, civilizations and religions; and to fulfill this task it is necessary that Freemasonry does not have a physiognomy and a color that belongs only to the minority of humanity to which the great oriental civilizations, all of China, all of India, Japan, Malaysia, the world of 'Islam have proved refractory. This is possible as long as Freemasonry does not confine itself to any belief and remains faithful to its spiritual heritage which does not consist in a codified faith, in a religious or philosophical belief, in a complex of ideological and moralistic postulates or prejudices, in a doctrinal baggage in which the truth is believed to be contained and expressed to convert unbelievers. We must think that, even if true religion or true philosophy exists, it is an illusion to believe that it can be conquered or communicated with a conversion or with a confession or recitation of certain formulas, because everyone understands the words of these creeds and formulas in his own way, in accordance with his culture and intelligence: and basically they are nothing but, as Hamlet said, words, words, words. As long as we do not reason out about it, the illusion remains that we understand these words in the same way; as soon as one begins to think about them carefully, sects and heresies arise, each one persuaded of possessing the truth. Wisdom cannot be rationally understood, expressed and communicated; it is a vision, a vidya, essentially and necessarily indeterminate, uncertain; and, opening the eyes to the light with the birth to the new life, we move toward this vision. Masonry or Royal Art is the art of working the rough stone in order to make the human transformation, and the gradual perception of the initiatory light, possible. Which of course does not mean that Freemasonry has a monopoly on the royal art.

During these last two centuries, the great majority of the enemies of Freemasonry have systematically and uniquely resorted only to insult and slander by relying on moralistic and patriotic sentiments. It has been said that Masonic works consist of abominable orgies, distorting rituals for this purpose, Masonic ceremonies have been revealed by making them ridiculous; Freemasons have been accused of betraying their homeland due to the international character of the Order; it has been affirmed that Freemasonry is nothing more than an instrument of the Jews, always aiming to deceive and incite their faithful believers and the general public against the "Secret Society." The Freemasons, of course, knew well that it was nothing but slander; and, being unable to persuade, it was decided to suppress them or to deprive them of the possibility of gathering, working, responding and defending themselves. Recently, a Catholic writer ¹⁴⁾ has published a historical study on "the Secret Tradition" conducted with competence and skill, and in which the insults and the usual calumnies aimed at taking hold on the soul of the profane have been replaced by an insidious criticism aimed at appealing to the educated reader and also to the soul of the brethren.

13)   See the articles by EMILIO BODRERO in the periodical of the Society of Jesus, la Civiltà cattolica, and the newspaper Roma Fascista; cfr. et.: Ignis e Rassegna Mass., for the year 1925.
14)   See RAFFAELE DEL CASTILLO, La tradizione segreta [The secret tradition], Milano, Bompiani, 1941.

This critique affirms that absolute emptiness is contained in the depth of the secret tradition (page 139) and concludes with the affirmation that "the Initiatory School, or for it, the Secret Tradition, has taught humanity absolutely nothing" (page 155). It is really not clear how we can then also affirm that this absolute emptiness, "this secret tradition coincides, (p. 141), albeit often in a corrupt form, with the Gnostic doctrines," but we do not expect too much. Freemasonry is, therefore, according to the author, a sphinx with no secret because it does not teach any doctrine, and the reader is thus led to conclude that Freemasonry, being devoid of content, is worth nothing. In the foregoing we have shown that Freemasonry does not pursue any doctrine and must not teach any; and that this is a merit and not a demerit of Freemasonry. To then conclude that, not containing a doctrine, the secret Tradition contains absolute emptiness, we must believe that only a doctrine can fill the emptiness. Del Castillo affirms again (page 153) that "the initiatory system supposes that man can come to understand with the effort of the brain the unsolved problems of the cosmos and beyond"; and that the "Catholic Church (p. 156) opposes to the vain reflections of the so-called initiates the intangible force of its dogma, which must be unique because there cannot be two truths"; and that the initiatory system (p. 152) is incompatible with Christianity. To these and similar affirmations we reply that we are ignorant of the existence of an initiatory system, that we do not know initiates who make assumptions, much less who delude themselves that they can understand unsolved problems with their brains alone and with lucubrations: but it is not possible for us to admit that faith in a dogma constitutes knowledge - because knowing is not believing. On the contrary, we understand that truth is necessarily ineffable and indefinable, and we leave to the layman the naive and consoling illusion that any formulation of truth and knowledge is possible [by means] of creeds, formulas, doctrines, systems, and theories. After all, Jesus too knew that his parables were nothing but parables, but he also told his disciples that "they were given to understand the mystery of the kingdom of heaven." Evidently, sola fides sufficit ad firmandum cor sincerum [faith alone is sufficient to strengthen a sincere heart], but it is not enough to understand the mysteries. The same naturally applies to reasoning alone. And by this we do not intend to impair the value of faith and reasoning; faith alone leads to ignorant fanaticism; reasoning alone leads to philosophical despair; they are a bit like tobacco and coffee: two poisons that compensate for each other; but, of course, it is not enough to smoke a pipe and sip coffee to gain knowledge. To knowledge multi vocati sunt [many are called to], not all; and, among these many, pauci electi sunt [only a few are chosen]; according to the Catholic Church, however, faith in Dogmas is sufficient, and knowledge and paradise are within the reach of all purses at competitive prices.
In summary: There is no secret Masonic doctrine ¹⁵⁾); but there is a secret art, called Royal Art, or simply the Art; it is the art of spiritual edification to which sacred architecture corresponds. The masonry tools have, therefore, a figurative sense in the work of [personal] transformation; and the secret of the royal art corresponds to the architectural secret of the builders of the great medieval cathedrals. It is natural that the Freemasons worship the Great Architect of the Universe, even if it is not defined what is meant by this formula.

In ancient architecture, especially in the sacred architecture, questions of relationship and proportion were of great importance; classical architecture regulated the proportion of the various parts of a building, and in particular of the temples, based on a secret module referred to by Vitruvius; there is a whole literature over Egyptian architecture, and especially over the Pyramid of Cheops, which shows its mathematical character; and, even proceeding with much skepticism, it is certain for example that this pyramid is located exactly at the latitude of 30° so as to form an equilateral triangle with the center of the earth and the North pole, it is certain that it is perfectly oriented, and that the face facing north is exactly perpendicular to the axis of the earth's rotation, indeed to the position of this axis at the time of its construction. And even the medieval builders were not guided by purely aesthetic criteria, and were concerned with the orientation of the church, the number of naves, etc.; and the art of the builders was connected to the science of geometry. The square and the Compasses are the two fundamental symbols of the masonic craft; and the ruler and the compasses are the two fundamental tools for elementary geometry. The Bible states that God made omnia in numero, pondere et mensural [all things according to number, weight, and measure]; the Pythagoreans coined the word cosmos to indicate the beauty of the cosmos in which they recognized a unity, an order, a harmony, a proportion; and among the four liberal sciences of the Pythagorean quadrivium, namely arithmetic, geometry, music and spherical [astronomy], the first was at the basis of all the others. Dante compares the sky of the Sun to arithmetic because "as all the stars are illuminated by the light of the Sun, so all the sciences are illuminated by the light of arithmetic, and because, as the eye cannot behold the sun, so the eye of the intellect cannot behold the number, which is infinite." ¹⁶⁾16) Leaving aside any criticism of this passage, the position occupied by Arithmetic, according to Dante, remains established. Both the Bible and architecture led to the consideration of numbers. Today, even refusing to recognize a unity, an order, a harmony, a law in the cosmos, and accepting only a determinism limited by the law of probability, modern physics is always reduced to the consideration of numbers and numerical relationships; indeed, there are none other than those, and both Einstein and Bertrand Russel have noted and recognized the return of modern science to Pythagoreanism.

15)   The same thing had already been said by WIRTH in 1941: "As the initiatory method refuses to inculcate anyone, it is hardly admissible that a positive doctrine has been taught within the Mysteries" (Le livre du Maître, 119).
DEL CASTILLO, on the other hand, argues, without any proof, that Freemasonry has claimed to teach such a secret doctrine; he notes that there is no trace of this positive doctrine, and instead of recognizing that his personal assertion has no foundation, he accuses Freemasonry of boasted credit and of inability. O Vos qui cum Jesu itis, non ite cum Jesuitis [Those of you who go with Jesus, you go not with the Jesuits.
16)   DANTE, Convivio II, 14.

It is therefore not surprising that the freemasons identified the art of architecture with the science of geometry and gave the knowledge of numbers such importance as to justify their traditional claim of being the only ones to have the knowledge of "sacred numbers."
We still have to make some observations. Geometry, in its metric function, i.e., in measuring, requires knowledge of arithmetic; moreover, the meaning of the word geometry was formerly more generic than it is now, and geometry generically indicated all mathematics; so that the identification of Royal Art with geometry, traditional in Freemasonry, refers not only to geometry understood in the modern sense, but also to arithmetic. Secondly, we must observe that this relationship between geometry and the Royal Art of architecture and spiritual edification is the same that inspires the Platonic maxim: "Let no one unaware of geometry enter under my roof." This maxim is of somewhat dubious attribution because it is reported only by a late commentator: but in works that unquestionably belong to Plato we read that "geometry is a method for directing the soul towards the eternal being; a preparatory school for a scientific mind, capable of directing the activities of the soul towards superhuman things," of being "even impossible to reach a true faith in God if one does not know mathematics and astronomy and the intimate bond of these last with music." ¹⁷⁾

17)   GINO LORIA, Le scienze esatte nell'antica Grecia [The exact sciences in ancient Greece], 2a ed., Milano, Hoepli 1914, pg. 110.

This Platonic conception and attitude is the same that is found in the Italic or Pythagorean school that exercised a great influence over Plato, so that even if we want to argue that Freemasonry was inspired by Plato, it has always been ultimately traced back to geometry and arithmetic of the Pythagoreans. The link between Freemasonry and the Pythagorean Order, even if it is not an uninterrupted historical derivation, but only a spiritual filiation, is certain and manifest. The archpriest Domenico Angerà, in the 1874 preface to the reprint of the General Statutes of the Society of Freemasons of the Ancient and Accepted Scottish Rite, already published in Naples in 1820, categorically states that the Masonic Order is the same, the very same thing as the Pythagorean Order; but even without going so far, the affinity between the two orders is certain. In particular, the geometric art of Freemasonry derives, directly or indirectly, from Pythagorean geometry and arithmetic; and no further, because the Pythagoreans were the creators of these liberal sciences, according to what appears historically, and according to the attestation of Proclus. With the exception of a few geometric properties attributed, probably wrongly, to Thales, geometry, says Tannery, springs complete from the genius of Pythagoras as Minerva leaps fully armed from the brain of Jupiter; and the Pythagoreans were the first to begin the study of arithmetic and numbers.
To study the properties of the numbers sacred to Freemasons, and their function in Freemasonry, the way that arises spontaneously is, therefore, to study the ancient Pythagorean arithmetic; and to study it both from the ordinary arithmetic point of view and from the point of view of symbolic arithmetic or formal arithmetic, as Pico della Mirandola calls it, corresponding to the philosophical and spiritual task assigned by Plato to geometry. The two senses are closely connected in the development of Pythagorean arithmetic. Understanding the Pythagorean numbers will facilitate the understanding of the numbers sacred to Freemasonry.

ARTURO REGHINI

I NUMERI SACRI

NELLA TRADIZIONE PITAGORICA MASSONICA

Premesse

Libertà va cercando ch'è sì cara
Come sa chi per lei vita rifiuta.
DANTE, Purg., I, 71-72.

Secondo quanto affermano concordemente gli antichi rituali e le antiche costituzioni massoniche, la Massoneria ha per fine il perfezionamento dell'uomo.
Anche gli antichi misteri classici avevano lo stesso scopo e conferivano la teleté, la perfezione iniziatica; e questo termine tecnico era etimologicamente connesso ai tre significati di fine, morte e perfezione, come osservava già il pitagorico Plutarco. Ed anche Gesù ricorre alla stessa parola, tèleios, quando esorta i suoi discepoli ad essere «perfetti come il Padre vostro che è nei cieli», sebbene, con una delle frequenti incongruenze delle Sacre Scritture, lo stesso Gesù affermi che «nessuno è perfetto ad eccezione del Padre mio che è nei cieli».
La definizione che abbiamo riportato sembrerebbe esplicita e precisa; eppure con una lieve alterazione formale essa ha subìto una grave alterazione nel concetto. Per esempio, il dizionario etimologico del Pianigiani afferma che il fine della Massoneria è il perfezionamento dell'umanità; e non soltanto molti profani ma anche molti massoni accettano questa seconda definizione. A prima vista può sembrare che perfezionamento dell'uomo e perfezionamento dell'umanità significhino la stessa cosa; di fatto si riferiscono a due, concetti profondamente diversi, e l'apparente sinonimia genera un equivoco e nasconde una incomprensione. Altri adopera l'espressione: perfezionamento degli uomini, anche essa equivoca. Ora, evidentemente, non è possibile sentenziare quale sia l'interpretazione giusta, perché ogni massone può dichiarare giusta quella che si confà ai suoi gusti, e magari può compiacersi dell'equivoco. Se però si vuole determinare quale sia, storicamente e tradizionalmente, la interpretazione corretta e conforme al simbolismo muratorio, la questione cambia aspetto e non è più questione di gusti.
Il manoscritto rinvenuto dal Locke (1696) nella Biblioteca Bodleyana e pubblicato solo nel 1748 e che è attribuito alla mano di Enrico VI di Inghilterra, definisce la Massoneria come «la conoscenza della natura e la comprensione delle forze che sono in essa»; ed enuncia espressamente l'esistenza di un legame tra la Massoneria e la Scuola Italica, perché afferma che Pitagora, un greco, viaggiò per istruirsi in Egitto, in Siria, ed in tutti i paesi dove i Veneziani (leggi i Fenicii) avevano impiantato la Massoneria. Ammesso in tutte le loggie di Massoni, acquistò un grande sapere, tornò in Magna Grecia... e vi fondò una importante loggia in Crotone ¹⁾.
A vero dire il manoscritto parla di Peter Gower; e, siccome il cognome Gower esiste in Inghilterra, Locke rimase alquanto perplesso nella identificazione di Peter Gower con Pitagora. Ma altri manoscritti e le stesse Costituzioni dell'Anderson fanno esplicita menzione di Pitagora. Il manoscritto Cooke dice che la Massoneria è la parte principale della Geometria, e che fu Euclide, un sottilissimo e savio inventore, che regolò quest'arte e le dette il nome di Massoneria. E delle reminiscenze pitagoriche nelle «Old Charges» è traccia anche nel più antico rituale stampato (1724) il quale ²⁾ attribuisce un pregio speciale ai numeri dispari, conforme alla tradizione pitagorica ³⁾.
Gli antichi manoscritti massonici concordano dunque nell'indicare come fine della massoneria quello del perfezionamento dell'uomo, del singolo individuo; e le prove iniziatiche, i viaggi simbolici, il lavoro dell'apprendista e del compagno hanno un manifesto carattere individuale e non collettivo.
Secondo la concezione massonica più antica, la «grande opera» del perfezionamento va attuata operando sopra la «pietra grezza», ossia sopra l'individuo singolo, squadrando, levigando e rettificando la pietra grezza sino a trasformarla nella «pietra cubica della Maestria», ed applicando nella operazione le norme tradizionali dell'«Arte Regia» muratoria di edificazione spirituale. Con perfetta analogia una tradizione parallela, la tradizione ermetica che almeno dal 1600 compare anche innestata a quella puramente muratoria, insegna che «la grande opera» si attua operando sopra la «materia prima» e trasformandola in «pietra filosofale» seguendo le norme dell'«Arte Regia ermetica». Essa è compendiata nella massima di Basilio Valentino: Visita interiora terrae, rectificandoque invenies occultum lapidem ⁴⁾ oppure nella Tabula smaragdina attribuita da moderni arabisti al pitagorico Apollonio Tianeo. Secondo invece la concezione massonica profana e meno antica, il lavoro del perfezionamento va attuato sopra la collettività umana, è la umanità ossia la società che bisogna trasformare e perfezionare; e in questo modo all'ascesi spirituale del singolo si sostituisce la politica collettiva. I lavori massonici acquistano in tal modo uno scopo ed un carattere prevalentemente sociali, se non unicamente sociali; ed il fine vero e proprio della massoneria, cioè il perfezionamento dell'individuo, viene posto in seconda linea, se non addirittura trascurato, dimenticato ed ignorato.

1)   HUTCHINSON, Spirit of Masonry; PRESTON, Illustrations of Masonry; DE CASTRO, Mondo segreto, IV, 91; ARTURO REGHINI, Noterelle iniziatiche. Sull'origine del simbolismo muratorio, Rassegna Massonica, giugno-luglio 1923.

2)   The Grand Mystery of Free-masons discovered wherein are the several questions put to them at their Meetings and installation, London 1724.
3)   VERGILIUS, Bucolicon, Eglo VIII: Numero impari Deus gaudet.
4)   Le iniziali di questa massima formano la parola vitriol, il solvente universale degli alchimisti, detto ancor oggi acqua regia.

La concezione tradizionalmente corretta è sicuramente la prima, e nella letteratura massonica di due secoli fa ebbero grande voga esagerati e fantasiosi avvicinamenti ed identificazioni dei misteri eleusini e massonici. Senza ombra di dubbio il patrimonio ritualistico e simbolico dell'Ordine muratorio è in armonia soltanto con la concezione più antica del fine della massoneria; infatti il testamento dell'iniziando, i viaggi simbolici, le terribili prove, la nascita alla luce iniziatica, la morte e resurrezione di Hiram, non si capisce quale relazione possano avere coi lavori massonici e con lo scopo della Massoneria se tutto si deve ridurre a fare della politica.


Storicamente l'interessamento e l'intervento della Massoneria nelle questioni politiche e sociali si manifesta solo verso il 1730 e solo in alcune regioni europee col trapiantamento della Massoneria inglese nel continente. Quel poco che si conosce delle antiche loggie muratorie prima del 1600, mostra la presenza e l'uso nei lavori massonici di un simbolismo di mestiere, architettonico, geometrico, numerico; il quale per sua natura ha un carattere universale, non è legato ad una civiltà determinata e neppure ad una lingua particolare, ed è indipendente da ogni credenza di ordine politico e religioso. Per questa ragione il massone, secondo il rituale, non sa né leggere né scrivere.
Un elemento ebraico compare nella leggenda di Hiram e della costruzione del Tempio, e le parole sacre del novizio e del compagno (i soli gradi allora esistenti) che si riferiscono a questa leggenda sono ebraiche. Questa leggenda non fa parte del patrimonio tradizionale dell'Ordine; la morte di Hiram non figura negli antichi manoscritti massonici, e le costituzioni dell'Anderson ignorano il terzo grado. Comunque la presenza di elementi e parole ebraiche non deve stupire in un tempo in cui l'ebraico era considerato una lingua sacra, anzi la lingua sacra in cui Dio aveva parlato all'uomo nel Paradiso terrestre; è una presenza di cui non va esagerata l'importanza ed il significato, e che non basta certo a giustificare l'asserzione del carattere ebraico della Massoneria. La lettera G dell'alfabeto greco-latino, iniziale di geometria e dell'inglese God, che compare talora nella Stella Fiammeggiante o nel Delta massonico, sembra che sia una innovazione (senza utilità per chi non sa né leggere né scrivere), mentre quei due simboli fondamentali dell'Ordine non sono altro che i due più importanti simboli del pitagoreismo: il pentalfa o pentagramma e la tetractis pitagorica. L'arte muratoria od arte reale od arte regia, termine di cui fa uso il filosofo neoplatonico Massimo di Tiro ⁵⁾, era identificata con la geometria, una delle scienze del quadrivio pitagorico, e non si capisce come Oswald Wirth, il dotto massone ed ermetista, possa scrivere che i Massoni del XVII secolo ⁶⁾ hanno potuto proclamarsi adepti dell'Arte reale perché dei re si interessarono un tempo all'opera delle corporazioni costruttive privilegiate del Medio Evo. Gli elementi di carattere muratorio puro costituiscono, insieme al simbolismo numerico e geometrico, il patrimonio simbolico e ritualistico arcaico e genuino della fratellanza. Non diciamo patrimonio caratteristico perché questi elementi compaiono, almeno parzialmente, anche nel compagnonnage, del resto assai affine alla Massoneria.

In seguito, tra il 1600 ed il 1700, quando le loggie inglesi principiano ad accettare come fratelli anche gli accepted masons, vale a dire anche persone che non esercitano la professione di architetto od il mestiere di muratore, compaiono anche elementi ermetici e rosacroce, ad esempio Elia Ashmole, come mostra il Gould nella sua storia della Massoneria. Questo contatto tra la tradizione ermetica e quella muratoria avviene anche fuori dell'Inghilterra presso a poco nel medesimo tempo, il che naturalmente implica l'esistenza nel continente di loggie massoniche non derivanti dalla Gran Loggia d'Inghilterra. Il frontespizio di un importante testo di ermetismo edito nel 1618 ⁷⁾ contiene accanto a simboli ermetici (il Rebis) anche i simboli prettamente muratori della squadra e del compasso, ed altrettanto accade in un libretto italiano di alchimia ⁸⁾ impresso in lamine di piombo e che risale presso a poco a quel periodo.
In questo libretto è raffigurato, tra l'altro, Tubalcain che tiene nelle mani una squadra ed un compasso. Ora Tubalcain è nella Bibbia il primo fabbro; e per un errore etimologico allora accettato ed assai diffuso, per esempio dall'erudito Vossio, venne identificato con Vulcano, il fabbro degli Dei e Dio del fuoco, che secondo il concetto degli alchimisti ed ermetisti presiedeva al fuoco ermetico (od ardore spirituale), fuoco il quale compiva da solo la grande opera della trasmutazione. In un nostro lavoro giovanile ⁹⁾ abbiamo dato una errata interpretazione della parola di passo Tubalcain, non conoscendo la errata identificazione di Vulcano con Tubalcain accettata dagli ermetisti ed in generale dagli eruditi del seicento e del settecento. Ci sembra oggi manifesto che questa parola ed altre parole di passo traggano la loro derivazione dall'ermetismo, e riteniamo probabile che siano state introdotte in massoneria e poste a lato delle parole sacre a testimonianza del contatto stabilito tra le due tradizioni, la muratoria e l'ermetica. Le parole di passo del 2° e 3° grado non esistono nel rituale del Prichard (1730). Ermetismo e Massoneria hanno per fine la «grande opera della trasmutazione», e le due tradizioni trasmettono il segreto di un'arte, che entrambe designano con il termine di arte regia, già usato da Massimo di Tiro. Era quindi naturale che si riconoscessero mutuamente affini. Osserviamo come l'adozione del simbolismo ermetico non avvenga a detrimento della universalità massonica e della sua indipendenza dalla religione e dalla politica, perché anche il simbolismo ermetico od alchemico è per sua natura estraneo ad ogni credenza religiosa o politica. L'arte massonica e l'arte ermetica, detta anche semplicemente l'arte, è un'arte e non una dottrina od una confessione.

Sino al 1717 ogni loggia massonica era libera ed autonoma; i fratelli di una officina erano ricevuti come visitatori nelle altre purché sapessero rispondere alla tegolatura, ma ogni maestro Venerabile era l'autorità unica e suprema per i fratelli di una officina. Nel 1717 si ebbe un mutamento con la costituzione della prima Grande Loggia, la Grande Loggia di Londra, e poco dopo venivano compilate per opera del pastore protestante Anderson le Costituzioni massoniche per le Loggie all'Obbedienza della Gran Loggia di Londra; e, sebbene teoricamente un'officina potesse e possa mantenere la propria autonomia o mettersi all'Obbedienza di una Gran Loggia ¹⁰⁾, nella pratica vengono oggi considerate loggie regolari quelle che direttamente od indirettamente sono emanazione e derivazione della Gran Loggia di Londra, supponendo che questa derivazione e soltanto essa possa conferire la «regolarità».

5)   MAXIME DE TYR, Discours Philosophiques, trad. par FORMEY, Leida 1764. Disc. XI, pag. 173.
6)   Cfr. OSWALD WIRTH, Le Livre du Maître, 1923, pag. 7.
7)   Si tratta della Basilica Philosophica - JOHANNIS MYLII, Francof. 1618.
8)   Cfr. PIETRO NEGRI, Un codice plumbeo alchemico italiano, nella rivista UR, anno 1927, n.ri 9 e 10 [Nota del Curatore: "Pietro Negri" era lo pseudonimo impiegato dallo stesso Reghini sulla rivista «UR»]

9)   Cfr. ARTURO REGHINI, Le parole sacre e di passo ed il massimo mistero massonico, Todi 1922.

10)   O. WIRTH esprime categoricamente questa opinione (Livre du Maître, p. 189).

Ora è molto importante notare che le Costituzioni dell'Anderson affermano esplicitamente che per essere iniziato ed appartenere alla Massoneria si richiede solo di essere un uomo libero e di buoni costumi, ed esaltando (a differenza delle varie sette cristiane) il principio della tolleranza reciproca di ogni fratello per le altrui credenze, aggiungendo solo che un massone non sarà mai uno «stupido ateo». Taluno potrà forse pensare che l'Anderson ammetta che il massone possa essere un ateo intelligente, ma è più verosimile che l'Anderson da buon cristiano ammetta che un ateo è necessariamente uno stupido, seguendo la massima che dice: Dixit stultus in corde suo: Non est Deus. Bisognerebbe qui fare una digressione ed osservare che in questa disputa tanto chi afferma quanto chi nega non ha in generale nozione alcuna di quanto afferma esistere o no, e che la parola Dio viene adoperata di solito con un senso talmente indeterminato da rendere vana qualunque discussione. Comunque le Costituzioni della Massoneria sono esplicitamente teistiche; e quei profani che accusano la Massoneria di ateismo sono in mala fede od ignorano che essa lavora alla gloria del Grande Architetto dell'Universo; ed osserviamo ancora che questa designazione oltre ad essere in armonia col carattere del simbolismo muratorio ha un significato preciso ed intelligibile a differenza di altre designazioni vaghe o prive di senso come quella di «Nostro Signore», di «Padre di tutti gli uomini» ecc.
Maggiore interesse offre il requisito di uomo libero fatto al profano per iniziarlo ed al massone per considerarlo fratello. L'Anderson non fa che continuare a chiamare liberi Muratori i Free-Masons, e resta solo da esaminare in che cosa consista questa freedom dei Free masons. Si tratta solo di franchigia economica e sociale che esclude gli schiavi o servi e delle franchigie e dei privilegi di cui godeva la corporazione dei liberi muratori rispetto ai governi degli stati e delle varie regioni in cui essa svolgeva la sua attività? Oppure questo appellativo di liberi muratori va inteso anche in altro senso di non schiavo dei pregiudizii e delle credenze che non era il caso di ostentare? Se cosi fosse sarebbe vano cercarne le prove documentate, e la questione resterebbe indecisa. Pure è possibile dire qualche cosa in proposito grazie ad un documento del 1509 la cui esistenza od importanza sembra non sia stata finora avvertita.

Si tratta di una lettera scritta il 4 febbraio 1509 ad Enrico Cornelio Agrippa da un suo amico italiano, certo Landolfo, per raccomandargli un iniziando. Scrive Landolfo ¹¹⁾: «E' un tedesco come te, originario di Norimberga, ma abita a Lione. Curioso indagatore degli arcani della natura, ed uomo libero, completamente indipendente del resto, vuole sulla reputazione che tu hai già, esplorare anche lui il tuo abisso... Lancialo dunque per provarlo nello spazio; e portato sulle ali di Mercurio vola dalle regioni dell'Austro a quelle dell'Aquilone, prendi anche lo scettro di Giove; e se questo neofita vuole giurare i nostri statuti, associalo alla nostra confraternita». Si tratta di una associazione segreta ermetica fondata da Agrippa ed è manifesta l'analogia tra questa prova dello spazio da fare affrontare all'iniziando e le terribili prove ed i viaggi simbolici della iniziazione massonica, sebbene qui la prova si effettui sulle ali di Ermete; Ermete psicopompo, il padre dei filosofi secondo la tradizione ermetica, è la guida delle anime nell'al di là classico e nei misteri iniziatici. Anche qui compare la qualifica di uomo libero, sufficiente ad aprire le porte a chi bussa profanamente alla porta del tempio; anche qui compare in sostanza il principio della libertà di coscienza e conseguentemente della tolleranza; le due tradizioni parallele muratoria ed ermetica pongono la stessa unica condizione al profano da iniziare: quella di essere un uomo libero; e ne deriva che presumibilmente essa non si riferiva alle franchigie particolari delle corporazioni di mestiere, che sarebbe stato del resto fuori di luogo pretendere dagli accepted Masons che non erano muratori di mestiere ma liberi muratori.

11)   ENRICO CORNELIO AGRIPPA, Epistol. Cfr. anche la monografia di ARTURO REGHINI premessa alla versione italiana della Filosofia Occulta di Agrippa.

Il carattere fondamentale delle Costituzioni massoniche dell'Anderson sta adunque nel principio della libertà di coscienza e della tolleranza, che rende possibile anche ai non cristiani di appartenere all'Ordine. Nelle Costituzioni dell'Anderson la Massoneria conserva il suo carattere universale, non è subordinata ad alcuna credenza filosofica particolare né ad alcuna setta religiosa, e non manifesta alcuna tendenza a lavori di ordine sociale e politico; può darsi che questo carattere aconfessionaJe e libero inspirasse anche la Massoneria anteriore al 1717 e che l'Anderson non abbia fatto altro che sancirlo nelle Costituzioni.
Trapiantandosi in America e nel continente europeo la Massoneria conserva in generale questo suo carattere universale di tolleranza religiosa e filosofica e resta aliena da ogni partecipazione ai movimenti politici e sociali, talora accentuando, come in Germania, il suo interesse per l'ermetismo. Sorgono per altro a partire circa dal 1740 i nuovi riti e gli alti gradi, i quali però hanno cura di mantenere intatti il rito ed i rituali dei primi tre gradi, ossia della vera e propria massoneria detta anche massoneria simbolica od azzurra. I rituali di questi alti gradi sono talora uno sviluppo della leggenda di Hiram, oppure si riattaccano ai Rosacroce, all'ermetismo, ai Templari, allo gnosticismo, ai catari..., vale a dire non hanno un vero e proprio carattere massonico, e dal punto di vista della iniziazione massonica sono assolutamente superflui. La massoneria sta tutta nei primi tre gradi, riconosciuti da tutti i riti, e posti alla base degli alti gradi e delle camere superiori dei varii riti. Il compagno libero muratore, una volta divenuto maestro ha simbolicamente terminato la sua grande opera; e gli alti gradi potrebbero avere una qualche funzione veramente massonica soltanto se contribuissero alla corretta interpretazione della tradizione muratoria ed a una più intelligente comprensione ed applicazione del rito ossia dell'arte regia.
Naturalmente questo non significa che si debbano abolire gli alti gradi perché i fratelli insigniti degli alti gradi sono liberi, e quelli di loro cui piace di riunirsi in riti e corpi per svolgere lavori non in contrasto con quelli massonici debbono avere la libertà di farlo. Però dal punto di vista strettamente massonico questa loro appartenenza ad altri riti ed a camere superiori non li pone in alcun modo al di sopra di quei maestri che non sentono il bisogno di altro lavoro che quello della universale massoneria dei primi tre gradi. Del resto è manifesto che riti distinti, come quello di Swedenborg, quelli scozzesi, quello della Stretta Osservanza, quello di Memphis... appunto perché differenti non sono più universali, oppure lo sono solo in quanto si basano sopra i primi tre gradi. Dimenticarlo o tentare di snaturare il carattere universale, libero e tollerante della Massoneria, per imporre ai fratelli delle Loggie particolari punti di vista ed obbiettivi, sarebbe mettersi contro lo spirito della tradizione muratoria e contro la lettera delle Costituzioni della Fratellanza.
La prima alterazione appare in Francia, simultaneamente alla fioritura degli alti gradi. Il fermento degli spiriti in cotesto periodo, il movimento dell'Enciclopedia, si ripercuotono nella Massoneria, che si diffonde largamente e rapidamente; ed accade così per la prima volta che l'interesse dell'Ordine si dirige e si concentra nelle questioni politiche e sociali. Affermare che la rivoluzione francese sia stata opera della Massoneria ci sembra per lo meno esagerato; è invece innegabile che la Massoneria subì in Francia, e sarebbe stato difficile che ciò non avvenisse, l'influenza del grande movimento profano che condusse alla rivoluzione e culminò poi nell'impero. La Massoneria francese divenne e rimase anche in seguito una massoneria colorata politicamente ed interessata nelle questioni politiche e sociali, e si formò quella che da taluni è considerata come la tradizione massonica, sebbene sia tutt'al più la tradizione massonica francese, ben distinta dalla antica tradizione. Questa deviazione e questa persuasione è la causa prima, sebbene non la sola, del contrasto che è poi sorto tra la massoneria anglosassone e la massoneria francese; anche in Italia essa è stata la sorgente dei dissensi massonici di questi ultimi cinquanta anni e della conseguente disunione e debolezza della Massoneria di fronte agli attacchi ed alla persecuzione fascista e gesuitica. Comunque anche i fratelli che seguono questa tradizione massonica francese non hanno dimenticato il principio della tolleranza, e nelle loggie massoniche italiane, anche prima della persecuzione fascista, si trovavano fratelli di ogni fede politica e religiosa, compresi i cattolici ed i monarchici.

Va anche ricordato che nel periodo di poco precedente lo scoppio della rivoluzione francese non tutti i massoni dimenticarono la vera natura della Massoneria, sebbene disorientati dalla pleiade di riti diversi e contrastanti; e si tenne il Convento dei Filaleti allo scopo di rintracciare quale fosse la vera tradizione massonica, ossia, la vera parola di maestro che, secondo la stessa leggenda di Hiram, era andata perduta. Al Convento dei Filaleti convennero massoni di ogni rito, tutti desiderosi di ristabilire l'unità. Il solo Cagliostro, che aveva fondato il rito della Massoneria Egiziana in soli tre gradi, dedito esclusivamente all'opera della edificazione spirituale, rifiutava di partecipare al Convento dei Filaleti per ragioni che sarebbe lungo esporre.
L'influenza massonica francese si affermò, dopo la rivoluzione e durante l'impero, anche in Italia; la presenza anche oggi di alcuni termini tecnici nei «travagli» massonici come il «maglietto» del Venerabile, versione poco felice del maillet ossia del martello, ne fa testimonianza ¹²⁾. La massoneria francese e quella italiana ebbero durante tutto lo scorso secolo intimi rapporti, ed assunsero insieme talora atteggiamento rivoluzionario, repubblicano ed anche materialista e positivista seguendo la voga filosofica del tempo. Non si può dire per altro che la massoneria divenne in Italia una massoneria materialista, perché non soltanto fu sempre tollerante di tutte le opinioni, ma venerò in modo speciale la grande anima di Giuseppe Mazzini; ed i grandi massoni italiani come Garibaldi, Bovio, Carducci, Filopanti, Pascoli, Domizio Torrigiani e Giovanni Amendola furono tutti idealisti e spiritualisti. Era riserbata alla teppa fascista la selvaggia furia di devastazione dei nostri templi, delle nostre biblioteche ed il vandalismo che fece a pezzi i ritratti ed i busti dei grandi spiritualisti come Mazzini e Garibaldi che decoravano le nostre sedi.

12)   Così pure pietra polita invece di pietra levigata dal francese pierre polie; lupetto ed anche lupicino che è una versione di louveton, a sua volta trasformazione fonetica e semantica da Lufton, figlio di Gabaon, nome generico del massone secondo i primitivi rituali inglesi e francesi.

D'altra parte bisogna riconoscere che, se la massoneria anglosassone ha sempre mantenuto il carattere spiritualista e non ha mai pensato a dichiarare la inesistenza del Grande Architetto dell'Universo, essa è stata spesso incline, e lo è ancora, a conferire un colorito cristiano al suo spiritualismo, allontanandosi dallo spirito di assoluta imparzialità ed aconfessionalità delle Costituzioni dell'Anderson. Non si può negare che l'imporre il giuramento sul Vangelo di San Giovanni sia una manifestazione non troppo tollerante rispetto a quei profani ed a quei fratelli che, essendo agnostici, o pagani, od ebrei o liberi pensatori, non sentono particolare simpatia per il Vangelo di San Giovanni e non sanno nulla della tradizione gioannita. L'intolleranza si accentua con l'andazzo di infliggere la lettura ed il commento di versetti del Vangelo durante i lavori di Loggia. Questo mal vezzo, qualora si affermasse, ridurrebbe i lavori di Loggia al livello di un service di una chiesa quacchera o puritana, ad una specie di rosario e vespro fastidioso, inconcludente, e ripugnante alla libera coscienza dei moltissimi fratelli i quali, anche in Inghilterra, ed in America, non solo non vanno alla messa, e non accettano l'infallibilità del Papa, ma non accettano più neppure l'autorità della Bibbia. Vale la pena di provocare il disagio e l'insofferenza tra le colonne senza sensibile compenso? Si crede proprio con simili mezzi di convertire gli altri alla propria credenza, e di arginare la potente ondata dell'agnosticismo inglese ed americano?

Queste considerazioni inducono a mantenere alla Massoneria il suo carattere universale al di sopra di ogni credenza religiosa e filosofica e di ogni fede politica. Il che non vuol dire che si debba fare astrazione dalla politica. Occorre infatti difendersi. L'intolleranza non può lasciare prosperare la tolleranza; e la tolleranza tutto può tollerare salvo l'intolleranza dichiaratamente ostile. Appena comparvero le Costituzioni dell'Anderson col loro principio della libertà e della tolleranza la Chiesa cattolica scomunicò la Massoneria rea appunto di tolleranza; e l'accanimento contro la Massoneria non si è mai più smentito. In Italia la persecuzione contro la Massoneria in questo ultimo ventennio è stata iniziata e sostenuta dai gesuiti e dai nazionalisti ¹³⁾; ed i fascisti per ingraziarsi questi messeri non esitarono a provocare l'avversione del mondo civile contro l'Italia con le loro gesta vandaliche contro la massoneria. I gesuiti hanno perduto questa guerra; ma la peste dell'intolleranza non è finita, anzi si affaccia sotto nuove forme e ne segue la necessità di prevenirla. D'altra parte giunge l'ora, se non erriamo, di spargere la Massoneria sopra tutta la superficie della terra e di stabilire una fratellanza tra gli uomini di tutte le razze, civiltà e religioni; e per assolvere questo compito è necessario che la Massoneria non abbia una fisionomia ed un colorito che appartiene solo alla minoranza dell'umanità a cui le grandi civiltà orientali, tutta la Cina, tutta l'India, il Giappone, la Malesia, il mondo dell'Islam si sono dimostrati refrattarii. La cosa è possibile sin tanto che la Massoneria non si circoscrive in una qualunque credenza e resta fedele al suo patrimonio spirituale che non consiste in una fede codificata, in un credo religioso o filosofico, in un complesso di postulati o pregiudizii ideologici e moralistici, in un bagaglio dottrinale in cui si creda contenuta ed espressa la verità cui convertire i miscredenti. Bisogna pensare che, anche se esiste la vera religione o la vera filosofia, è una illusione il credere di poterla conquistare o comunicare con una conversione o con una confessione od una recitazione di formule determinate, perché ognuno intende le parole di questi credi e formule a modo suo, conforme alla sua cultura ed intelligenza: ed in fondo esse non sono, come diceva Amleto, che words, words, words. Fin tanto che non ci si ragiona sopra, permane l'illusione di comprendere queste parole nello stesso modo; appena si comincia a ragionare, sorgono le sette e le eresie, ciascuna persuasa di possedere la verità. La sapienza non può essere razionalmente intesa, espressa e comunicata; essa è una visione, una vidya, essenzialmente e necessariamente indeterminata, incerta; e, aprendo gli occhi alla luce con la nascita alla nuova vita, ci si avvia a questa visione. L'arte muratoria od arte regia è l'arte di lavorare la pietra grezza in modo da rendere possibile la trasmutazione umana e la graduale percezione della luce iniziatica. Il che non significa naturalmente che la Massoneria abbia il monopolio dell'arte regia.
Durante questi ultimi due secoli la grande maggioranza dei nemici della massoneria ha fatto sistematicamente ed unicamente ricorso soltanto all'ingiuria ed alla calunnia facendo leva sui sentimenti moralistici e patriottici. Si è affermato che i lavori massonici consistono in orgie abbominevoli, svisando a questo scopo i rituali, si sono svelate le cerimonie massoniche ponendole in ridicolo, si è accusato i massoni di tradire la loro patria a causa del carattere internazionale dell'Ordine, si è affermato che la Massoneria non è altro che uno strumento degli Ebrei, sempre mirando ad ingannare ed aizzare i fedeli credenti ed il grosso pubblico contro la «Società Segreta». I massoni naturalmente sapevano bene che non si trattava che di calunnie; e, non potendoli persuadere, si è pensato a sopprimerli od a togliere ad essi la possibilità di adunarsi, di lavorare, di rispondere e di difendersi. Recentemente uno scrittore cattolico ¹⁴⁾ ha pubblicato uno studio storico sopra «la Tradizione Segreta» condotto con competenza ed abilità, ed in cui le contumelie e le solite calunnie dirette a fare presa sull'animo dei profani sono state sostituite da una critica insidiosa diretta a fare presa sul lettore colto ed anche sull'animo dei fratelli.

13)   Cfr. gli art. di EMILIO BODRERO nell'organo della Compagnia di Gesù, la Civiltà cattolica, ed il giornale Roma Fascista; cfr. et.: Ignis e Rassegna Mass., annata 1925.
14)   Cfr. RAFFAELE DEL CASTILLO, La tradizione segreta, Milano, Bompiani, 1941.

Questa critica afferma che nel fondo della tradizione segreta è contenuto il vuoto assoluto (pag. 139) e conclude con l'affermare che «la Scuola Iniziatica o per essa la Tradizione Segreta, non ha insegnato assolutamente nulla all'umanità» (pag. 155). Veramente non si capisce bene come si possa allora anche affermare che questo vuoto assoluto, «questa tradizione segreta coincide (pag. 141), se pure spesso in forma corrotta, con le dottrine gnostiche», ma non pretendiamo troppo. La Massoneria è dunque, secondo l'autore, una sfinge senza segreto perché non insegna alcuna dottrina, ed il lettore è così portato a concludere che essendo priva di contenuto la Massoneria non val niente. In quanto precede noi abbiamo mostrato che la Massoneria non insegua alcuna dottrina e non deve insegnarne; e che questo è un merito e non un demerito della Massoneria. Per concludere poi che, non contenendo una dottrina, la Tradizione segreta contiene il vuoto assoluto bisogna credere che soltanto una dottrina possa occupare il vuoto. Afferma ancora (pag. 153) il Del Castillo che «il sistema iniziatico suppone che l'uomo possa arrivare a capire con lo sforzo del cervello i problemi insoluti del cosmo e dell'al di là»; e che la «Chiesa cattolica (pag. 156) oppone alle vane elucubrazioni dei così detti iniziati la forza intangibile del suo dogma che deve essere unico perché non possono esistere due verità»; e che il sistema iniziatico (pag. 152) è incompatibile can il cristianesimo. A queste e simili affermazioni rispondiamo che ignoriamo la esistenza di un sistema iniziatico, che non conosciamo iniziati che facciano delle supposizioni, e tanto meno che si illudano di potere capire col solo cervello e con elucubrazioni di problemi insoluti: ma non ci è possibile ammettere che la fede in un dogma costituisca una conoscenza perché sapere non è credere. Anzi noi comprendiamo che la verità è necessariamente ineffabile ed indefinibile, e lasciamo ai profani l'ingenua e consolante illusione che sia possibile una qualsiasi formulazione della verità e della conoscenza in credi, formule, dottrine, sistemi e teorie. Anche Gesù, del resto, sapeva che le sue parabole non erano che delle parabole, ma diceva anche ai suoi discepoli che ad essi «era dato intendere il mistero del regno dei cieli». Evidentemente sola fides sufficit ad firmandum cor sincerum, ma non sufficit per intendere i misteri. Lo stesso dicasi naturalmente per il solo raziocinio. E con questo non intendiamo menomare il valore della fede e del raziocinio; la sola fede conduce al fanatismo ignorante, il solo raziocinio conduce alla disperazione filosofica; sono un po' come il tabacco ed il caffè: due veleni che si compensano; ma naturalmente non basta fumare la pipa e centellinare il caffè per assurgere alla conoscenza. Alla conoscenza multi vocati sunt, non tutti; e, tra questi molti, pauci electi sunt; secondo la Chiesa cattolica invece basta la fede nel Dogma, e conoscenza e paradiso sono alla portata di tutte le borse a prezzi di vera concorrenza.

Riassumendo: Non esiste una dottrina segreta massonica¹⁵⁾; ma esiste un'arte segreta, detta arte reale, od arte regia o semplicemente l'Arte; è l'arte della edificazione spirituale cui corrisponde l'architettura sacra. Gli strumenti muratorii hanno perciò un senso figurato nell'opera della trasmutazione; ed al segreto dell'arte regia corrisponde il segreto architettonico dei costruttori delle grandi cattedrali medioevali. E' naturale che i liberi muratori venerino il Grande Architetto dell'Universo, anche se non si definisce cosa si debba intendere con questa formola.
Nell'architettura antica, specialmente in quella sacra, avevano grande importanza le questioni di rapporto e di proporzione; l'architettura classica regolava la proporzione delle varie parti di un edificio, ed in particolare dei templi, basandosi sopra un modulo segreto cui accenna Vitruvio; sopra l'architettura egiziana e specialmente sopra la Piramide di Cheope esiste tutta una letteratura che ne mostra il carattere matematico; ed, anche procedendo con molto scetticismo, è certo ad esempio che tale piramide si trova esattamente alla latitudine di 30° in modo da formare col centro della terra e col polo Nord un triangolo equilatero, è certo che essa è perfettamente orientata e che la faccia rivolta a settentrione è esattamente perpendicolare all'asse di rotazione terrestre, anzi alla posizione di questo asse al tempo della sua costruzione. Ed anche i costruttori medioevali non erano guidati da criterii puramente estetici, e si preoccupavano dell'orientazione della chiesa, del numero delle navate ecc.; e l'arte dei costruttori era posta in connessione con la scienza della geometria. La squadra ed il compasso sono i due simboli fondamentali di mestiere dell'arte muratoria; e la riga ed il compasso sono i due strumenti fondamentali per la geometria elementare. La Bibbia afferma che Iddio ha fatto omnia in numero, pondere et mensura; i pitagorici hanno coniato la parola cosmo per indicare la bellezza del cosmo in cui riconoscevano una unità, un ordine, un'armonia, una proporzione; e tra le quattro scienze liberali del quadrivio pitagorico, cioè l'aritmetica, la geometria, la musica e la sferica, la prima stava alla base di tutte le altre. Dante compara il cielo del Sole all'aritmetica perché «come del lume del Sole tutte le stelle si alluminano, cosi del lume dell'aritmetica tutte le scienze si alluminano, e perché come l'occhio non può mirare il sole così l'occhio dell'intelletto non può mirare il numero che è infinito» ¹⁶⁾. Lasciando da parte ogni critica di questo passo resta stabilita la posizione occupata secondo Dante dalla Aritmetica. Tanto la Bibbia quanto l'architettura portavano alla considerazione dei numeri. Oggi, anche rifiutando di riconoscere nel cosmo un'unità, un ordine, un'armonia, una legge ed accettando solo un determinismo limitato dalla legge di probabilità la fisica moderna si riduce sempre alla considerazione di numeri e rapporti numerici; anzi non restano altro che quelli, e tanto Einstein quanto Bertrand Russel hanno constatato e riconosciuto il ritorno della scienza moderna al pitagoreismo.

15)   La stessa cosa era già stata detta dal WIRTH nel 1941: «Comme la méthode initiatique se refuse à inculquer qui que ce soit, il n'est guère admissible qu'une doctrine positive ait été enseignée au sein des Mystères» (Le livre du Maître, 119).
Il DEL CASTILLO invece sostiene senza alcuna prova che la Massoneria ha preteso insegnare una tale dottrina segreta, constata che di questa dottrina positiva non si trova traccia, ed invece di riconoscere che la sua personale asserzione non ha fondamento, accusa la Massoneria di millantato credito e di incapacità. O Vos qui cum Jesu itis, non ite cum Jesuitis.
16)   DANTE, Conv. II, 14.

Non stupisce quindi che i liberi muratori identificassero l'arte architettonica con la scienza della geometria e dessero alla conoscenza dei numeri tale importanza da giustificare la loro pretesa tradizionale di essere i soli ad avere conoscenza dei «numeri sacri».
Dobbiamo per altro fare ancora alcune osservazioni. La geometria nella sua parte metrica, ossia nelle misure, richiede la conoscenza dell'aritmetica; inoltre l'accezione della parola geometria era anticamente più generica che ora non sia, e geometria indicava genericamente tutta la matematica; di modo che la identificazione dell'arte reale con la geometria, tradizionale in Massoneria, si riferisce non alla sola geometria intesa nel senso moderno, ma anche alla aritmetica. In secondo luogo dobbiamo osservare che questa relazione fra la geometria e l'arte regia dell'architettura e della edificazione spirituale è la stessa che inspira la massima platonica: «Nessun ignaro della geometria entri sotto il mio tetto». Questa massima è di attribuzione un po' dubbia perché è riportata solo da un tardo commentatore: ma in opere che indiscutibilmente appartengono a Platone leggiamo essere «la geometria un metodo per dirigere l'anima verso l'essere eterno; una scuola preparatoria per una mente scientifica, capace di rivolgere le attività dell'anima verso le cose sovrumane», essere «perfino impossibile arrivare ad una vera fede in Dio se non si conosce la matematica e l'astronomia e l'intimo legame di quest'ultima con la musica»¹⁷⁾.

17)   GINO LORIA, Le scienze esatte nell'antica Grecia, 2a ed., Milano, Hoepli 1914, pag. 110.

Questa concezione ed attitudine di Platone è la medesima che si ritrova nella scuola Italica o pitagorica che esercitò sopra Platone grandissima influenza, di modo che anche volendo sostenere che la Massoneria si sia inspirata a Platone, si è sempre in ultima analisi ricondotti alla geometria ed all'aritmetica dei pitagorici. Il legame tra la Massoneria e l'Ordine pitagorico, anche se non si tratta di ininterrotta derivazione storica, ma soltanto di filiazione spirituale, è certo e manifesto. L'Arciprete Domenico Angherà nella prefazione del 1874 alla ristampa degli Statuti Generali della Società dei Liberi Muratori del Rito Scozzese Antico ed Accettato, già pubblicati in Napoli nel 1820, afferma categoricamente che l'Ordine massonico è la stessa, stessissima cosa dell'Ordine pitagorico; ma anche senza spingersi tanto oltre l'affinità tra i due ordini è sicura. In particolare l'arte geometrica della Massoneria deriva, direttamente od indirettamente, dalla geometria ed aritmetica pitagoriche; e non più in là, perché i pitagorici furono i creatori di queste scienze liberali, a quanto risulta storicamente e secondo la attestazione di Proclo. Ad eccezione di alcune poche proprietà geometriche attribuite, probabilmente a torto, a Talete, la geometria, dice il Tannery, scaturisce completa dal genio di Pitagora come Minerva balza armata di tutto punto dal cervello di Giove; ed i pitagorici sono stati i primi ad iniziare lo studio dell'aritmetica e dei numeri.
Per studiare le proprietà dei numeri sacri ai Liberi Muratori e la loro funzione in Massoneria, la via che si presenta spontaneamente è dunque quella di studiare l'antica aritmetica pitagorica; e di studiarla sia dal punto di vista aritmetico ordinario, sia dal punto di vista dell'aritmetica simbolica od aritmetica formale, come la chiama Pico della Mirandola, corrispondente al compito filosofico e spirituale assegnato da Platone alla geometria. I due sensi si trovano strettamente connessi nello sviluppo dell'aritmetica pitagorica. La comprensione dei numeri pitagorici faciliterà la comprensione dei numeri sacri alla massoneria.

CHAPTER I

The Pythagorean Tetractis and the Masonic Delta

No, I swear it by he who has transmitted
into our souls the Sacred Quaternion,
the source of nature,
whose cause is eternal.
Golden Verses.

Exhuming and restoring the ancient Pythagorean arithmetic is a very difficult task, because the information that remains of it is scarce and not all reliable. We should at every step and statement cite sources and discuss their value, but this would make our exposure long and heavy and difficult to understand. Therefore, in general, we will abstain from any philology, we will stick only to what has been resulted less controversial and always declare where it is just our opinion or our work.
The ancient and modern Pythagorean literature is very extensive, and we renounce the enumeration of the hundreds of books, studies, articles, and passages of ancient and modern authors that constitute it. According to some critics, historians and philosophers, Pythagoras would have been a simple moralist and would never have dealt with mathematics; according to some hypercritics, Pythagoras would never have existed; but we have for certain the existence of Pythagoras, and, accepting the testimony of the almost contemporary philosopher Empedocles, we believe that his knowledge in every field of knowledge was very great. Pythagoras lived in the sixth century before Christ, he founded a school and an Order in Calabria, which Aristotle called the Italic school, and taught arithmetic and geometry among other things. According to Proclus, head of the school of Athens in the fifth century of our era, it was Pythagoras who was the first to raise geometry to the dignity of a liberal science and, according to Tannery, geometry comes out of Pythagoras' brain, as Athena, fully armed, comes out of the brain of Jupiter.
However, no writings by Pythagoras or attributed to him have come down to us, and it is possible that he did not write anything. Even if it were otherwise, in addition to the remote antiquity that would have hindered its transmission, we must also keep in mind the circumstance of the secret that the Pythagoreans kept over their teachings, or at least some of them. A Belgian philologist, Armand Delatte, in his first work: Études sur la littérature pythagoricienne, Paris, 1915, made a most learned critique of the sources of Pythagorean literature; and has made it clear, among other things, that the famous "Golden Sayings " or golden Verses, although they are a compilation by a neo-Pythagorean of the second or fourth century of our era, allow us to go back almost to the beginning of the Pythagorean school, for they transmit archaic material. This work of Delatte will be our principal source. Other ancient pieces of evidence are found in the writings of Philolaus, Plato, Aristotle and Timaeus Tauromenium. Philolaus was, along with Tarentum Archyta, one of the most eminent Pythagoreans in the times close to Pythagoras; Timaeus was a historian of Pythagoreanism, and the great philosopher Plato strongly felt the influence of Pythagoreanism and we can consider him as a Pythagorean, although not belonging to the sect. Much less ancient are Pythagoras biographers, like Iamblichus, Porphyry, and Diogenes Laertius, who were neo-Pythagoreans in the first centuries of our era, along with writers and mathematicians as Theon of Smyrna and Nicomachus of Gerasa. The mathematical writings of these last two authors constitute the source that has transmitted to us Pythagorean arithmetic. Boethius also fulfilled this task. Much information is due to Plutarch.
Among the moderns, in addition to Delatte and the somewhat old work of Chaignet on Pythagore et la philosophie pythagoricienne, Paris, 2nd ed. 1874, and the Verbo di Pythagoras [the Word of Pythagoras] by Augusto Rostagni, Turin, 1924, we will make use of the work The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans, London 1816; 2nd ed., Los Angeles, 1934, by the English scholar Thomas Taylor, who was a neo-Platonist and a neo-Pythagorean; and among the historians of mathematics we will make use of the Scienze esatte nell'antica Grecia [exact sciences in ancient Greece], Milan, Hoepli, 1914, 2nd ed., by Gino Loria, and the work A History of Greek Mathematics by T. Heath, 1921.
For modern mathematics, unit [1] is the first number in the natural series of integers. They are obtained by starting from the unit and subsequently adding another unit. The same thing does not happen for Pythagorean arithmetic. In fact the same word, monad [ONE], indicated the arithmetic unit and the monad understood in the sense that today we would call metaphysical; and the passage from the universal monad to duality is not as simple as the passage from one to two by the addition of two units.
In arithmetic, including the Pythagorean, there are three direct operations: addition, multiplication and raising to a power, accompanied by the three inverse operations. Now, the product of unit by itself is still unit [1x1=1], and a power of unity is still unity [1²=1]; therefore, only the addition allows the passage from unity to duality [1+1=2]. This means that to obtain the 2 it is necessary to admit that there can be two units, that is to say, to already have the concept of the 2, namely that the monad can lose its character of uniqueness, that it can be distinguished, and that there can be a duplication of units or a multiplicity of units. Philosophically, there is the question of monism and dualism; metaphysically, the question of Being and its representation; biologically, the question of the cell and its reproduction. Now, if we admit the intrinsic and essential oneness of Unit, we must admit that another unit can be only an appearance; and that its appearance is an alteration of the oneness coming from a distinction that the Monad operates upon itself. Similarly, consciousness makes a distinction between the I [self] and the non-I.[not self] According to Advaita Vedānta, this is an illusion, indeed it is the great illusion, and there is nothing to do but get rid of it. However, it is not an illusion that this illusion exists, even if it can be overcome. The Pythagoreans said that the dyad was generated by the unit moving away or separating from itself, which split itself in two: and they indicated this differentiation or polarization with various words: umlaut, tolma.
For Pythagorean mathematics, the unit was not a number, but it was the beginning [the principle], the άρχή of all numbers, it means the principle, and not the start. Once the existence of another unit, and more units, is admitted, then from the unit, by addition, the two and all the numbers are derived. The Pythagoreans conceived numbers as formed or constituted or represented by variously arranged points. The point was defined by the Pythagoreans as the unit having a position, while for Euclid, the point is that which has no parts. The unit was represented by the point (σημεϊον = sign) or even, when the alphabetical system of written numbering came in use, by the letter A or α, which was used to write the unit.
Once the possibility of the addition of the unit is admitted and the two is obtained, represented by the two extreme points of a line segment, one can continue to add units, and subsequently obtain all the numbers represented by two, three, four … points aligned. In this way, we have the linear development of the numbers. Except for the 2, which can only be obtained as the addition of two units, all integers can be considered as the sum of other numbers; for example, the five is: 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1; but it is also 5 = 1 + 4 and 5 = 2 + 3. The 1 and the 2 do not enjoy this general property of numbers: and therefore, like the 1, also the 2 was not a number for the ancient Pythagoreans but the principle of even numbers. This conception was lost over time because Plato speaks of the two as a even [number], ¹⁾ and Aristotle ²⁾ speaks of the two as the only even prime number. The three, in turn, can only be considered as the sum of one and two: while all the other numbers, in addition to being the sum of several units, are also the sum of parts both different from the unit; some of them can be considered as the sum of two parts equal to each other, in the same way that the 2 is the sum of two units, and are called even numbers due to their similarity with the pair, so for example 4 = 2 + 2, the 6 = 3 + 3 etc. they are even numbers; while the others, such as three and five, which are not the sum of two equal parts or two equal addends, are called odd numbers. Therefore the triad 1, 2, 3 enjoys properties that numbers greater than 3 do not enjoy.
In the natural series of numbers, the even and odd numbers follow one another alternately; even numbers have in common with the character we mentioned in common with the 2 the above-mentioned peculiarity, and can therefore always be represented in the form of a rectangle (epiped) in which one side contains two points, while odd numbers do not have this character as the unit, and, when they can be represented in a rectangular form, it happens that the base and the height respectively contain a number of points which is, in turn, an odd number. Nicomachus also gives an older definition: excluding the fundamental dyad, even is a number that can be divided into two equal or unequal parts, parts which are both even or odd, that is, as we would say, that have the same parity; while the odd number can only be divided into two unequal parts, one of which is even and the other odd, i.e., into parts that have a different parity.
According to Heath, ³⁾ this distinction between even and odd undoubtedly goes back to Pythagoras, which we do not find it hard to believe; and Reidemeister ⁴⁾ says that the theory of even and odd is Pythagorean, that the mathematical logical science of the Pythagoreans is hidden in this notion, and that it is the foundation of Pythagorean metaphysics. Deus gaudet [God rejoices] uneven numbers, says Virgil.
The Masonic tradition conforms to this recognition of the sacred or divine character of odd numbers, as shown by the numbers that express the initiatory ages, by the number of lights, jewels, brothers making up a workshop, etc. Wherever there is a distinction, a polarity, there is an analogy with the couple of even and odd, and one can establish a correspondence between the two poles and the even and the odd; so, for the Pythagoreans, the masculine was odd and the feminine even, the right was odd and the left was even. …
The numbers, starting from the 3, admit, in addition to the linear representation, also a superficial representation, for example in the plane. The three is the first number that admits, in addition to the linear representation, a plane representation, through the three vertices of a triangle (equilateral). The 3 is a triangle, or triangular number; it is the result of the mutual coupling of the monad and the dyad; the 2 is the analysis of unity, the 3 is the synthesis of the unit together with the dyad. Thus, we have with the trinity the manifestation or epiphany of the monad in the superficial world. Arithmetically 1 + 2 = 3.
Proclus ⁵⁾ observed that the 2 has a somewhat intermediate character between unity [1] and 3. Not only because it is its arithmetic mean, but also because it is the only number for which it happens that by adding it to itself or by multiplying it by itself, the same result is obtained [2+2=4, 2x2=4], while for the 1, the product gives less than the sum, and for the 3, the product gives more, that is, we have: 1+1=2 which is > 1x1; 2+2=4 = 2x2; 3+3=6 which is < 3x3.

1)   PLATO, Parmenide, 143 d.
2)   ARISTOTILE, Topiche, 2, 137.
3)   HEATH, A History of Greek Mathematics, I, 70.
4)   E. REIDEMEISTER, Die arithmetic der Griechen [The arithmetic of the Greeks], 1939, pag. 21.
5)   PROCLO, Comm. the 20th proposition of Euclid, and see TAYLOR, The Theoretic Arithmetic of Pythagoreans, 2nd ed., Los Angeles 1924, pag. 176.

In Modern times, however, it has been noted that 1, 2, 3 are the only positive integers whose sum is equal to the product. It can also be easily recognized that 1, 2, 3 is the only triplet of consecutive integers for which it happens that the sum of the first two is equal to the third; in fact, the equation x + (x + 1) = x + 2 admits x = 1 as the sole solution. Thus, it is also immediately recognized through the geometric representation that the sum of several consecutive integers always exceeds the number that follows the last of the addends, except in the case in which the addends are two where we have: 1 + 2 = 3. In conclusion, the triad, the holy trinity, can only be obtained through the addition of the monad and the dyad.
Thus obtained the three which, considering the monad as potentially triangular, is the second triangular number, it is possible to obtain other triangular numbers by placing the number three below the base and obtaining the triangular number 6; and thus, continuing by placing four points under the base, one obtains ten, etc.

This geometric development of the first triangle with respect to one of the three vertices, taken as the center of homothety, gives us thus successively the triangular numbers; and the base that is added to pass from a triangular to a consecutive triangular is called a triangular gnomon. Arithmetically, once the succession of integers is written in a first line, the succession of triangles is deduced, writing the unit under the unit, then making the sum of one and two, and then taking as elements of the second line the numbers that are obtained by successively making the sum of the first integers, or by making, to obtain an element of the second row, the sum of the element that precedes it in the same row with the one that precedes it in the same column:
1  2  3    4    5    6    7    8    9  10   11 …
1  3  6  10  15  21  28  36  45  55  66 …
Thus, by definition, the triangular n° is the sum of the first n integers, and is therefore equal to the triangular (n -1)° increased by n.
If the triangular 3 has the shape of an equilateral triangle, by proceeding with the homothetic transformation, the other triangular numbers also have a regular shape, and the similarity of the form is precisely preserved in the transformation. Moreover, since six angles of 60° can be arranged around a point (as was known to the Pythagoreans), i.e., there are six congruent equilateral triangles around a point, by developing all six with respect to this common vertex taken as the center of homothety, the total and isotropic filling of the plane is obtained by means of regular triangles. Even the number four, in addition to the linear representation, admits only one flat representation:

It is therefore a square; is the second square, because the unit is the square of one. The gnomon of the square, i.e., the difference between the 4 which is the second square and the previous square is 3, the third square, that is, as we say the square of base 3, is obtained in the geometric representation by adding one below and to the right squad-shaped gnomon consisting of 5 points; and so on, you move from one square to the next by adding the odd numbers successively. Thus we see that even the squares grow while maintaining the similarity of the form; and, since four congruent right angles can be arranged around a point and a square in each of them, it follows that, by homothetically developing the four squares with respect to the common vertex as homothetic center, the total and isotropic coverage of the plane is obtained by means of squares.
Arithmetically, it is sufficient to write the odd numbers in the first line, and in the second, operate as was done for the triangular numbers to obtain the squares:
1   3   5     7     9    11    13    15   17 …
1   4   9   16   25   36   49   64   81 …
It follows the important property: The sum of the first n odd numbers is equal to n^° square, a property that allowed Galileo to find the formula of naturally accelerated motion.

A square is a rectangle-shaped number whose sides contain an equal number of points. A number having a rectangular shape was called heteromecic if on one side it contained only one point more than the consecutive one, and was called promic if the difference between the points on one side and the consecutive one exceeded one. For example, 15 is a promic and 20 a heteromecic.

By leading a straight line to the side and parallel to a diagonal it divides a heteromecic number into two parts, that are two equal triangles; and as the number of points of the heteromecic n^°, consisting of n columns and n rows is n (n + 1) it follows for the triangular number n^° the following formula:

Recalling the definition of triangular we have

If, on the other hand, one leads the parallel to a diagonal in a square number, the square is divided into two consecutive triangles; that is, the sum of two consecutive triangles is equal to a square; and this allows us to deduce from the succession of triangles that of squares. Written in the first row the succession of triangles, the succession of squares is obtained in the second row
1   3   6   10   15   21   28   36 …
1   4   9   16   25   36   49   64 …
writing below every element of the first row its sum with the previous one.
Unlike the number three, the number four also permits a spatial geometric representation. Precisely, by conducting the perpendicular to the plane of an equilateral triangle by its center, there is a point on it which has an equal distance from the three vertices of the triangle to the side; the four points are the vertices of a tetrahedron, called pyramid by the Greeks, ⁶⁾ i.e., a regular pyramid with a triangular base, which is the spatial representation of the number four. Also, in this case it is possible the homothetic development with respect to one of the vertices, that is, the consecutive triangular number can be arranged below the base and thus the tetrahedral numbers are obtained. The gnomon of the tetrahedron consists of the triangular that is added to the previous tetrahedron. The first tetrahedral number is unit: the second is 4 because 1 + 3 = 4; the third is 10 because 4 + 6 = 10. Starting from a first row entirely made up of units, and writing in the second row the succession of natural numbers, in the third that of the triangular and in the fourth that of the tetrahedral, we obtain the following picture:
Unit1  1  1  1  1  1  1  1  1 …
Linear numbers 1  2  3  4  5  6  7  8  9 …
Triangulars 1  3  6  10  15  21  28  36  45…
Tetrahedra 1  4  10  20  35  56  84  120  165…
The law of formation of this framework is the following: Each element of the framework is equal to the sum of all the elements of the previous row, starting from the first one, up to the one above considered the element; for example
the 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
the 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5,
the 35 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15; or also each element is equal to the sum of what precedes it in the same row and what precedes it in the same column, for example

6)   The Greek word pyramis is a slight corruption of the Egyptian pirem-us which designates the height of the pyramid (see REVILLOUT E., Revue Egypt., 2nd year, 305-309. The erroneous etymology from π ΰ ρ = fire explains why the tetrahedron is in Plato the symbol of fire.)

There is only one linear development of numbers. There are, however, an infinite number of surface developments and solid developments. For example, the number 5 can be represented in the plane by means of the 5 vertices of a pentagon and in space by the five vertices of a square-based pyramid. The development for all pentagons is made by taking one of the vertices of the pentagon as the homothetic center, and for the square-based tetrahedron, by taking the apex of the pyramid as the homothetic center. Arithmetically, to obtain the pentagonal series is enough to start from the succession of the terms of the arithmetic series of three, that is to say from the numbers: 1, 4, 7, 10, 13, 16 … and make the sum of them. The sum of the first n is equal to n° pentagonal, and therefore pentagonal are: 1, 5, 12, 22, 35, 51 … pyramids are obtained by making the sum of the first consecutive n squares: 1, 4, 9, 16, 25 … and they are the numbers: 1, 5, 14, 30, 55 … In a similar way the hexagonal numbers are obtained starting from the arithmetic series of reason 4, or series of hexagonal gnomons, which are: 1, 5, 9, 13, 17…; and the hexagons are: 1, 6, 15, 28, 45… It is easy to recognize that the hexagonal n° number is none other than the (2n - 1)° triangular number. It could also be shown that in the homothetic development of pentagons and hexagons the similarity of the form is preserved, but not the isotropy; and therefore, although the plane allows for a division into regular hexagons, its total and isotropic filling cannot be obtained by means of the homothetic development of three congruent hexagons around a common vertex. Thus, it can also be shown that space allows an equipartition only through the cubes, whose vertices fill it totally and isotropically; but it does not consent an equipartition in another way, although the tetrahedron and also the octahedron can be developed homothetically and completely, and isotropically fill the angle within which they develop. We make this observation because Aristotle, after having correctly stated ⁷⁾ that the plane can be in equipartition only by means of regular triangles, squares, and regular hexagons, adds that space can be equipartitioned by cubes and by pyramids. This is an error Aristotle made; and, since the three regular polyhedral numbers: tetrahedral, cubic, and octahedral, developed homothetically within one of their angleoids [part of space bounded by an indefinite pyramid] fill this angleoid totally and isotropically, Aristotle's error consists in having confused the space with the space of the angleoid; but if the error comes from such confusion, there is indirect proof that the Pythagoreans of the time were already concerned with cubic, tetrahedral and octahedral numbers, as well as with the question of the equipartition of the plane by regular polygons, and of space by regular polyhedra, and in particular of the space contained in a angleoid. In addition to these plane numbers called polygonal numbers, and to the pyramidal numbers represented in space by the polygonal-based pyramids, the Pythagoreans considered plane and solid numbers with a rectangular shape, and parallelepiped and regular polyhedron shapes. The formula that gives the polygonal number n° which has r sides was known to Diophantus and is:

for example for n = 4 and r = 6, this formula gives for the fourth hexagonal number P (6 . 4) = 28; the points that represent it have the following arrangement:
The formula that gives the n° pyramidal number with a r-gonal basis is

which in another form appears in the Codex Arcerianus, a Roman codex of 450 of the vulgar era. ⁸⁾ For example, for r = 4 and n = 5 we find that the fifth pyramid with a square base is F (4 . 5) = 55.

7)   ARISTOT., De coelo, III, 8.
8)   See CANTOR M., Die Römischen Agrimensoren, Leipzig, 1875, pagg. 93, 127.

As two points are needed to delimit a segment of a straight line, the minimum number of straight lines with which a portion of the plane is delimited is three; of all plane numbers, three is the minimum; similarly, the minimum number of planes needed to delimit a portion of the space is four; among all solid numbers, 4 or the tetrahedron is the minimum. According to Plato (see Timaeus) this tetrahedron, or pyramid, as he calls it, is the last constituent particle of bodies, that is, the atom or molecule of matter. Of course, today we know that atoms or molecules do not have this shape and that they are by no means indivisible, but it is worth noting that the body having the greatest molecular firmness, that is the diamond, has a molecule composed of four atoms arranged in a shape of a regular tetrahedron. ⁹⁾
By adding the unit to the unit we have passed from the point to the line, identified by two points; adding to these two points another point you can pass to the plane through the triangle; and by adding more unity one can pass to space through the tetrahedron. But remaining within the limits of the human intuition of three-dimensional space, it is not possible to add a unit to the four vertices of the tetrahedron by taking a point outside the three-dimensional space and depicting the 5 as a hyperspace pyramid having the tetrahedron as its base. In other words, the unit passes to two and you have the line, the two passes to three and you have the plan, the three pass to four and you have the space: and then you must stop, you have reached the end of the method. Now, according to the Aristotelian, and also simply Greek meaning of the word perfection, things are perfect when they are finished, completed: the limit, the end is perfection. In our case, since four is the last number obtained by passing from the point to the line, from the line to the plane and from the plane to space, because a fifth point cannot be represented outside the space defined by the four vertices of the tetrahedron, the four is, in the generic Greek and Pythagorean sense of perfection, a perfect number. The whole of the monad, the dyad, the triad and the tetrad includes the whole: the point, the line, the surface and the concrete world of solid material; and you cannot go further. Therefore the sum
1 + 2 + 3 + 4 = 10
that is, the whole or the quatern or quadern of unity, duality, trinity or tetrad, that is the decade, is perfect and contains the whole.
Each whole or sum of four things is called with the Pythagorean word tetractys; and there are several tetractys; but this which we have now considered is the tetractys par excellence, the Pythagorean tetractys upon which the Pythagoreans swore an oath. A fragment by Speusippus observes that ten contains in itself the linear, plane and solid variety of numbers, because 1 is a point, 2 a line, 3 a triangle and 4 a pyramid. ¹⁰⁾
Philo Judaeus, ¹¹⁾ repeating Pythagorean concepts, says that there are four limits of things: point, line, surface and solid, and Geminus says that arithmetic is divided into linear number theory, plane number theory, and the theory of solid numbers.

9)   See WILLIAM BRAGG, L'architettura delle cose [The architecture of things], 2nd ital. ed., Milano, 1935, pag. 157.
10)   See HEATH, A History of Greek Mathematics, 75.
11)   PHILO, De opificio mundi [On the Creation], 10, 16, 34.

Perfection, that is, the completion of the universal manifestation, is reached with the 10, which is the sum of numbers up to four. The decade contains the whole, like the unit, that contains all potentially. The name δεκάς is precisely this for this receptive property δεχάς.
This observation is the result of the limit placed on the development of numbers by the three-dimensionality of space, and we would lead to the recognition of this same property of the 4 and 10 even if the spoken numbering, instead of being the decimal numbering, were, for example, a numbering with a duodecimal basis or ternary-based. On the other hand, we note the coincidence. The reason why the Greek, Latin, Italian, etc., spoken numbers is decimal, lies in the fact that man has ten fingers, which are of great help in counting (with the finger) so much so that in the Latin and ancient Greek writing the unit was represented by a finger, later identified with the letter I. The last finger is the tenth, and therefore the 10 is perfect. The five has a special representation in the two writings, in Greek by the initial of the word pente, in Latin by the palm, or the span of the open hand, later identified with the letter V, since among the Latins the writing of numbers precedes the knowledge and the use of the alphabet, and 10 is represented in Greek by the initial letter Δ, initial of the decade, and which has the shape of an equilateral triangle, while in Latin it is represented by the two open and opposite hands, that is by the sign later identified with the letter X. These signs are sufficient in the Greek and Latin writing of numbers for the representation or writing of numbers up to one hundred, which is provided in Greek by the initial H of the word Hecaton, and in Latin a sign later identified with the initial of centum.
Both the Pythagorean tetractys and the spoken numbering highlight the importance of the number ten in completely independent ways. And this is not the only concordance between 4 and 10 because the Greek language forms the names of the numbers from ten to 99 through the names of the first ten numbers, introduces a new name to indicate 100, and then a new name to indicate the one thousand, and finally a new and last name to indicate tens of thousands or myriads. This very word, μύριοι, differently accented μύρίοι, indicates a very large indeterminate number. In short, the Greek language has only four names, after nine, to designate the first four powers of ten and stops at the fourth power, just as the sum of the integers ends with four in the tetractys.
A third observation relating to the decade (and therefore to the tetractys) is the following: After the unit which is potentially polygonal, pyramidal and polyhedral of any kind, the first number which is simultaneously linear, triangular and tetrahedral and, therefore, appears in the irradiation of the unit and in the simplest form of manifestation and concretization of unit, is the number ten. It is the first number that appears simultaneously in the three sequences of linear, triangular and tetrahedral numbers:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 …
1  3  6  10  15  21…
1  4  10  20…
Only five numbers are known that enjoy this property; they are: 1, 10, 120, 1540, and 7140. The determination of the other numbers that are simultaneously triangular and tetrahedral depends on the resolution of the equation obtained by equating the triangular x° to the tetrahedral y°, that is, on the resolution of the indeterminate equation of third degree with two unknowns.

equation of which the five solutions are known:
x 1  4  15  55  119
y 1  3  8  20  34
but of which modern mathematics cannot determine the other possible integer solutions.
A fourth observation is provided by the ascertainment that the letter delta is the fourth letter of the Greek alphabet, and has the shape of an equilateral triangle. The letter D = delta is the fourth letter also in the Etruscan, Latin and Phoenician alphabets, and in the various Greek alphabets (in use in the various periods); and, although the order of the letters of an alphabet is not an order established by a law of nature, this observation must not be neglected for the value that the Pythagoreans or part of them could attach to them. The decade is, therefore, the fourth triangular number and the third tetrahedral, and is represented in the writing of numbers by its initial which is the fourth letter of the alphabet and has the shape of a triangle.
If the fourth triangular is taken, its representation is


representation found in Theon of Smyrna and Nicomachus of Gerasa. This depiction of the decade is a symbol in the etymological sense of the word, that is, a meeting of several senses. There is one symbol which is a triangle or triangular; it is the fourth triangular, it is composed of ten points arranged in four rows containing respectively one, two, three and four points. "Look, says Luciano, what you think are four are ten, and the perfect triangle, and our oath." ¹²⁾

A fifth very important observation, especially and certainly for the Pythagoreans, is obtained from the consideration of the musical scale. Modern music uses the temperate scale based on the simple ratios' principle; while Greeks made use of the Pythagorean scale based on the principle of fifth. We will see later the genesis of this scale; for the moment, let's just note that these scales are all three made up of seven fundamental notes arranged in the well-known order. The Greeks called the octave harmony.

The fundamental notes of this range or octave, of which the others are deduced with the law of fifth, are the first, the fourth, the fifth and the octave; that is, the four strings of Philolaus' tetrachord: the first, the fourth, or syllable, the fifth or diapente and the diapason. According to tradition, Pythagoras through observation and experiment had discovered that the relationship between the length of these strings and the length of the first were expressed by the numerical ratios 4:3, 3:2, 2:1, that is, by the ratios between numbers of the tetractys, which are not only simple ratios but also the simplest possible relations. Philolaus' tetrachord shows that, in the field of harmony, the same numbers 1, 2, 3, 4 appear at the foundations that appear in the tetractys. "This discovery, writes Delatte, ¹³⁾ produced an extraordinary effect on all minds, particularly on the Pythagoreans, which we can no longer appreciate today. The tetractys gave them the key to the mysteries of acoustics, and they extended to the whole domain of physics the conclusions of this discovery. It became one of the cornerstones of their philosophy of rhythmicity, and we understand how they could have considered tetractys as the source and root of eternal nature."
The poetic formula of the Pythagorean oath has been transmitted to us by various authors; and its most ordinary and exact form is the following ¹⁴⁾:

that is: No, I swear by him who transmitted to our soul the tetractys in which the source and root of eternal nature are found. A variant of this formula also appears in the "Golden Verses."

12)   LUCIANO, Vita. Auct., 4.
13)   A. DELATTE, Etudes sur la litterature pithagoriciénne [Studies on Pythagorean literature], pag. 259.
14)   Ibidem, pag. 250.

The Pythagorean symbol of the tetractys, in its schematic form of an equilateral triangle, clearly coincides with the schematic form of the Masonic delta, and also with the schematic form of the Christian delta, symbol of the Trinity. This latter assimilation is done easily, indeed with carelessness, especially by fitting inside it the eye of the Eternal Father. The Christian character of the Masonic symbol is no longer so conspicuous when, as often happens, the tetragrammaton is written in the triangle, that is, the name of God in four letters, thus designated by the kabbalists with the Greek word; and it even disappears when the triangle is placed within the flaming five-pointed star or Pythagorean pentalpha, as in the title page of Baron De Tschoudy's Etoile Flamboyante, to whom the ritual of the 14th degree of the Scottish Rite is attributed.
Also, the sacred delta, which is together with the sun and the moon; one of the three sublime lights of the society of freemasons, as the Apprentice's ritual says, is found in the first degree works between the symbols of the sun and the moon behind the seat of the Worshipful Master; while in the works of the second degree it is replaced by the flaming Star. The respective initiatory ages of the Apprentice and the Fellow-craft correspond to this substitution. There is a connection between the two symbols; and since, without a shadow of a doubt, the five-pointed star is a characteristic symbol of both the ancient Pythagorean brotherhood and of Freemasonry, the identification of the Masonic delta with the Pythagorean tetractys is confirmed. To attribute a Christian character also to the five-pointed star, it would only be necessary to affirm that this was the shape of the star that appeared, according to the fourth Gospel, to the three Magi, Melchior, Caspar, and Balthazar; but the fourth Gospel does not say anything on this regard; and the other Gospels, the three Synoptic Gospels, make no mention of the three wise men. And since the ancient documents attest to the continuity of the Masonic tradition that refers to Pythagoras, the identification of Freemasonry with geometry and the claim of the Masons to be the only ones to know the sacred numbers, it seems to us that the identification of the Masonic Delta with the tetractys is supported by arguments of greater weight than the identification with the Christian symbol.
Among the masonic symbols there is no Christian symbol, not even the cross; instead, and it is natural, appear only trade [architecture] symbols and geometric, architectural and numerical symbols. If the Masonic delta had the Christian character, it would be an isolated, bewildered symbol, whose existence and heterogeneity in Freemasonry would not be understood. We insist on this point not only because it is necessary for the seriousness and serenity of critical investigations not to be misled by sympathy or antipathy, but because misunderstanding and ignorance in this regard are ancient and fatal, and many rituals, instead of guiding the brothers towards the full understanding of symbolism, they contribute in good or bad faith to prevent that interpretation which is indispensable to understand the purely masonic sense of symbolism.
By this we do not intend to affirm or see a contrast between the Pythagorean tetractys or Masonic delta and the Christian symbol of the Trinity. This opposition of the Christian ternary to the Pythagorean quaternary was the work of the myopic fanaticism of the Christians of the early centuries; and it was unjustified because, as we shall see, the Pythagoreans were exalters of the triad, and theirs custom to count and venerate the number three in all things even guided them even in the classification of numbers.
In summary, the two can only be obtained through addition, and only by the addition of two units. Three can only be obtained through addition, in which at least one of the terms is the unit [1].
From four onwards, all numbers can be obtained by adding all terms others than the unit. The geometric representation of numbers in a three-dimensional space ends and is perfect with the number four, and since the sum 1 + 2 + 3 + 4 = 10 is also the new unit of the decimal numbering system, and consequently the perfection of the four and the decade and the tetractys symbol. Therefore, the Pythagoreans did not deal in a special way with the numbers greater than ten which were expressed in language and writing by means of ten and the preceding numbers, and for this reason, perhaps, they reduced the numbers greater than ten to the first nine numbers by the consideration of their pitmene [πυθμεν = significant number] or basis, or substituting for them the remainder of their division by nine or the nine itself when the number was a multiple of nine: remainder that they easily obtained by the well-known rule of the remainder of division by nine. Since the development of numbers by addition ends with four, we must now consider the development or generation of numbers by multiplication. That the Pythagoreans actually resorted to this criterion of distinction is certain, because the number seven was consecrated and assimilated to Minerva because, like Minerva, she was a virgin and not generated, that is, it was not a factor of any number (within the decade) and was not the product of factors. The numbers are, therefore, divided into numbers that are not products of other numbers, that is, into prime or asynthetic numbers, and into numbers that are products or composite or synthetic numbers. Taking into account only the numbers within the decade, the numbers are divided into four classes: the class of prime numbers within the decade which are factors of numbers of the decade: and they are the 2 (which really is not a number) but it appears as a factor of 4, 6, 8 and 10, the 3 which is a factor of 6 and 9; and 5 which is a factor of 10. The second class is made up of prime numbers less than 10 that are not factors of numbers less than 10, and is represented by the number 7 alone. The third class consists of composite numbers, less than ten, and which are factors of numbers less than ten, and is made up of only the number 4, which is at the same time the square of 2 and factor of 8; the fourth class is made up of composite numbers less than 10 which are products of other numbers without being factors of numbers within the decade, it is represented by 6, 8 and 9, since 2x3 = 6, 2x2x2 = 2x4 = 8 and 3x3 = 9. Not taking into account the 10, and taking into account the 2, we have four prime numbers: 2, 3, 5, 7 of which only one does not produce other numbers, and four composite numbers: 4, 6, 8, 9 of which only one is also factor.
It is worth to note how this Pythagorean criterion of distinction for the classification of numbers within the decade coincides perfectly with the traditional criterion of distinction which Vedanta adheres to for the fourfold classification of the twenty-five principles or tattwas, precisely the first principle (Prakriti) which is not a production but it is productive, seven principles (Mahat, Ahamkara and the 5 tanmatras) which are simultaneously productions and productive, 16 principles (the 11 indriyas, including Manas and the 5 bhutas) which are unproductive productions, and finally Purusha which is not neither production nor productive. In this regard, we refer the reader to the exposition that René Guénon makes of it in his L'uomo ed il suo divenire secondo il Vedanta [Man and his becoming according to Vedanta], Bari, Laterza, 1937. This same criterion of distinction inspires, as Colebrooke observed (Essais sur la Philosophie des Hindous, trans. Pauthier), the division of Nature, made in Scotus Erigena's treatise De Division Naturae, who says: "The division of Nature seems to me to have to be established in four different species, of which the first is what creates and is not created; the second is what is created and creates in its turn: the third what is created and does not create, and the fourth, finally, that which is not created nor does create." Of course, it is not the case to speak of derivation; Pythagoras, however, chronologically precedes not only Scotus Erigena, but also Sankaracharya. Thus, the traditional character of the Pythagorean doctrine of numbers remains established.

CAPITOLO I

La Tetractis pitagorica ed il Delta massonico

No, io lo giuro per colui che ha
trasmesso alla nostra anima la tetractys
nella quale si trovano la sorgente e la
radice dell'eterna natura.
Detti aurei.

Riesumare e restituire l'antica aritmetica pitagorica è opera quanto mai ardua, perché le notizie che ne sono rimaste sono scarse e non tutte attendibili. Bisognerebbe ad ogni passo ed affermazione citare le fonti e discuterne il valore; ma questo renderebbe la esposizione lunga e pesante e meno facile la intelligenza della restituzione. Perciò, in generale, ci asterremo da ogni apparato filologico, ci atterremo soltanto a quanto resulta meno controverso e dichiareremo sempre quanto è soltanto nostra opinione o resultato del nostro lavoro.
La bibliografia pitagorica antica e moderna è assai estesa, e rinunciamo alla enumerazione delle centinaia di libri, studii, articoli, e passi di autori antichi e moderni che la costituiscono. Secondo alcuni critici, storici e filosofi, Pitagora sarebbe stato un semplice moralista e non si sarebbe mai occupato di matematica; secondo certi ipercritici Pitagora non sarebbe mai esistito; ma noi abbiamo per certa la esistenza di Pitagora, e, accettando la testimonianza del filosofo Empedocle quasi contemporaneo, riteniamo che le sue conoscenze in ogni campo dello scibile erano grandissime. Pitagora visse nel sesto secolo prima di Cristo, fondò in Calabria una scuola ed un Ordine che Aristotile chiamava scuola italica, ed insegnò tra le altre cose l'aritmetica e la geometria. Secondo Proclo, capo della scuola di Atene nel V secolo della nostra era, fu Pitagora che per il primo elevò la geometria alla dignità di scienza liberale, e secondo il Tannery la geometria esce dal cervello di Pitagora come Athena esce armata di tutto punto dal cervello di Giove.

Però nessuno scritto di Pitagora od a lui attribuito è pervenuto sino a noi, ed è possibile che non abbia scritto nulla. Se anche fosse diversamente, oltre alla remota antichità che ne avrebbe ostacolato la trasmissione, va tenuta presente la circostanza del segreto che i pitagorici mantenevano, sopra i loro insegnamenti, o parte almeno di essi. Un fìlologo belga, Armand Delatte, nella sua prima opera: Études sur la littérature pythagoricienne, Paris, 1915, ha fatto una dottissima critica delle fonti della letteratura pitagorica; ed ha messo in chiaro tra le altre cose che i famosi «Detti Aurei» o Versi aurei, sebbene siano una compilazione ad opera di un neo-pitagorico del II o IV secolo della nostra era, permettono di risalire quasi all'inizio della scuola pitagorica perché trasmettono materiale arcaico. Quest'opera del Delatte sarà la nostra fonte principale. Altre antiche testimonianze si hanno negli scritti di Filolao, di Platone, di Aristotile e di Timeo di Tauromenia. Filolao fu, insieme al tarentino Archita, uno dei più eminenti pitagorici nei tempi vicini a Pitagora, Timeo fu uno storico del pitagoreismo, ed il grande filosofo Platone risenti fortemente l'influenza del pitagoreismo e possiamo considerarlo come un pitagorico, anche se non appartenente alla setta. Assai meno antichi sono i biografi di Pitagora cioè Giamblico, Porfirio e Diogene Laerzio, che furono dei neopitagorici nei primi secoli della nostra era, e gli scrittori matematici Teone da Smirne e Nicomaco di Gerasa. Gli scritti matematici di questi due ultimi autori costituiscono la fonte che ci ha trasmesso l'aritmetica pitagorica. Anche Boezio ha assolto questo compito. Molte notizie si debbono a Plutarco.


Tra i moderni, oltre al Delatte ed all'opera un po' vecchia dello Chaignet su Pythagore et la philosophie pythagoricienne, Paris, 2a ed. 1874, ed al Verbo di Pitagora di Augusto Rostagni, Torino, 1924, faremo uso dell'opera The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans, London 1816; 2a ed., Los Angeles, 1934, del dotto grecista inglese Thomas Taylor che fu un neo-platonico ed un neopitagorico; e tra gli storici della matematica faremo uso delle Scienze esatte nell'antica Grecia, Milano, Hoepli, 1914, 2a ed., di Gino Loria, e dell'opera A History of Greeck Mathematics di T. Heath, 1921.

Per la matematica moderna l'unità è il primo numero della serie naturale dei numeri interi. Essi si ottengono partendo dall'unità ed aggiungendo successivamente un'altra unità. La stessa cosa non accade per l'aritmetica pitagorica. Infatti una stessa parola, monade, indicava l'unità dell'aritmetica e la monade intesa nel senso che oggi diremmo metafisico; ed il passaggio dalla monade universale alla dualità non è così semplice come il passaggio dall'uno al due mediante l'addizione di due unità.
In aritmetica, anche pitagorica, vi sono tre operazioni dirette: l'addizione, la moltiplicazione e l'innalzamento a potenza, accompagnate dalle tre operazioni inverse. Ora il prodotto dell'unità per sé stessa è ancora l'unità, ed una potenza dell'unità è ancora l'unità; quindi soltanto l'addizione permette il passaggio dall'unità alla dualità. Questo significa che per ottenere il due bisogna ammettere che vi possano essere due unità, ossia avere già il concetto del due, ossia che la monade possa perdere il suo carattere di unicità, che essa possa distinguersi e che vi possa essere una duplice unità od una molteplicità di unità. Filosoficamente si ha la questione del monismo e del dualismo, metafisicamente la questione dell'Essere e della sua rappresentazione, biologicamente la questione della cellula e della sua riproduzione. Ora se si ammette la intrinseca ed essenziale unicità dell'Unità, bisogna ammettere che un'altra unità non può essere che una apparenza; e che il suo apparire è una alterazione dell'unicità proveniente da una distinzione che la Monade opera in sé stessa. La coscienza opera in simil modo una distinzione tra l'io ed il non io. Secondo il Vedanta advaita questa è una illusione, anzi è la grande illusione, e non c'è da fare altro che liberarsene. Non è però una illusione che vi sia questa illusione, anche se essa può essere superata. I pitagorici dicevano che la diade era generata dall'unità che si allontanava o separava da sé stessa, che si scindeva in due: ed indicavano questa differenziazione o polarizzazione con varie parole: dieresi, tolma.
Per la matematica pitagorica l'unità non era un numero, ma era il principio, l'ἀρχή di tutti i numeri, diciamo principio e non inizio. Una volta ammessa l'esistenza di un'altra unità e di più unità, dall'unità derivano poi per addizione il due e tutti i numeri. I pitagorici concepivano i numeri come formati o costituiti o raffigurati da punti variamente disposti. Il punto era definito dai pitagorici l'unità avente posizione, mentre per Euclide il punto è ciò che non ha parti. L'unità era rappresentata dal punto (σημεϊον = segno) od anche, quando venne in uso il sistema alfabetico di numerazione scritta, dalla lettera A od α, che serviva per scrivere l'unità.

Una volta ammessa la possibilità dell'addizione dell'unità ed ottenuto il due, raffigurato dai due punti estremi di un segmento di retta, si può seguitare ad aggiungere delle unità, ed ottenere successivamente tutti i numeri rappresentati da due, tre, quattro… punti allineati. Si ha in tal modo lo sviluppo lineare dei numeri. Tranne il due che si può ottenere soltanto come addizione di due unità, tutti i numeri interi possono essere considerati sia come somma di altri numeri; per esempio il cinque è 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1; ma è anche 5 = 1 + 4 e 5 = 2 + 3. L'uno ed il due non godono di questa proprietà generale dei numeri: e perciò come l'unità anche il due non era un numero per gli antichi pitagorici ma il principio dei numeri pari. Questa concezione si perdette col tempo perché Platone parla del due come pari¹⁾, ed Aristotile ²⁾parla del due come del solo numero primo pari. Il tre a sua volta può essere considerato solo come somma dell'uno e del due: mentre tutti gli altri numeri, oltre ad essere somma di più unità, sono anche somma di parti ambedue diverse dall'unità; alcuni di essi possono essere considerati come somma di due parti eguali tra loro nello stesso modo che il due è somma di due unità e si chiamano i numeri pari per questa loro simiglianza col paio, così per esempio il 4 = 2 + 2, il 6 = 3 + 3 ecc. sono dei numeri pari; mentre gli altri, come il tre ed il cinque che non sono la somma di due parti o due addendi eguali, si chiamano numeri dispari. Dunque la triade 1, 2, 3 gode di proprietà di cui non godono i numeri maggiori del 3.
Nella serie naturale dei numeri, i numeri pari e dispari si succedono alternativamente; i numeri pari hanno a comune col due il carattere cui abbiamo accennato e si possono quindi sempre rappresentare sotto forma di un rettangolo (epipedo) in cui un lato contiene due punti, mentre i numeri dispari non presentano come l'unità questo carattere, e, quando si possono rappresentare sotto forma rettangolare, accade che la base e l'altezza contengono rispettivamente un numero di punti che è a sua volta un numero dispari. Nicomaco riporta anche una definizione più antica: esclusa la diade fondamentale, pari è un numero che si può dividere in due parti eguali o disuguali, parti che sono entrambe pari o dispari, ossia, come noi diremmo, che hanno la stessa parità; mentre il numero dispari si può dividere solo in due parti diseguali, di cui una pari e l'altra dispari, ossia in parti che hanno diversa parità.

Secondo l'Heath ³⁾ questa distinzione tra pari e dispari rimonta senza dubbio a Pitagora, cosa che non stentiamo a credere; ed il Reidemeister ⁴⁾ dice che la teoria del pari e del dispari è pitagorica, che in questa nozione si adombra la scienza logica matematica dei pitagorici e che essa è il fondamento della metafisica pitagorica. Numero impair, dice Virgilio, Deus gaudet.
La tradizione massonica si conforma a questo riconoscimento del carattere sacro o divino dei numeri dispari, come risulta dai numeri che esprimono le età iniziatiche, dal numero delle luci, dei gioielli, dei fratelli componenti una officina ecc. Dovunque si presenta una distinzione, una polarità, si ha una analogia con la coppia del pari e del dispari, e si può stabilire una corrispondenza tra i due poli ed il pari ed il dispari; cosi per i Pitagorici il maschile era dispari ed il femminile pari, il destro era dispari ed il sinistro era pari.…
I numeri, a cominciare dal tre, ammettono oltre alla raffigurazione lineare anche una raffigurazione superficiale, per esempio nel piano. Il tre è il primo numero che ammette oltre alla raffigurazione lineare una raffigurazione piana, mediante i tre vertici di un triangolo (equilatero). Il tre è un triangolo, o numero triangolare; esso è il risultato del mutuo accoppiamento della monade e della diade; il due è l'analisi dell'unità, il tre è la sintesi dell'unità e della diade. Si ha così con la trinità la manifestazione od epifania della monade nel mondo superficiale. Aritmeticamente 1 + 2 = 3.

Proclo ⁵⁾ osservò che il due ha un carattere in certo modo intermedio tra l'unità ed il tre. Non soltanto perché ne è la media aritmetica, ma anche perché è il solo numero per il quale accade che sommandolo con sé stesso o moltiplicandolo per sé stesso, si ottiene il medesimo resultato, mentre per l'unità il prodotto dà di meno della somma e per il tre il prodotto dà di più, ossia, si ha:

1 + 1 = 2 > 1 . 1; 2 + 2 = 4 = 2 . 2; 3 + 3 = 6 < 3 . 3

1)   PLATO, Parmenide, 143 d.
2)   ARISTOTILE, Topiche, 2, 137.
3)   HEATH, A History of Greek Mathematics, I, 70.
4)   E. REIDEMEISTER, Die arithmetic der Griechen, 1939, pag. 21.
5)   PROCLO, Comm. alla 20^a proposizione di Euclide, e cfr. TAYLOR, The Theoretic Arithmetic of Pythagoreans, 2^a ed., Los Angeles 1924, pag. 176.

Modernamente invece è stato osservato che 1, 2, 3 sono i soli numeri interi positivi la cui somma sia eguale al prodotto. Si può anche riconoscere facilmente che 1, 2, 3 è la sola terna di interi consecutivi per la quale accade che la somma dei primi due è eguale al terzo; infatti l'equazione x + (x + 1) = x + 2 ammette per unica soluzione x = 1. Così pure si riconosce subito mediante la raffigurazione geometrica che la somma di più interi consecutivi supera sempre il numero che segue l'ultimo degli addendi, tranne nel caso in cui gli addendi sono due in cui si ha: 1 + 2 = 3. Concludendo la triade, la santa trinità, si può ottenere solo mediante l'addizione della monade e della diade.

Ottenuto così il tre che, considerando la monade come potenzialmente triangolare, è il secondo numero triangolare, si possono ottenere altri numeri triangoli disponendo al di sotto della base il numero tre e si ottiene il numero triangolare 6; e così seguitando disponendo sotto la base quattro punti si ottiene il dieci ecc.

Questo sviluppo geometrico del primo triangolo rispetto ad uno dei tre vertici preso come centro di omotetia, ci dà così successivamente i numeri triangolari; e si chiama gnomone triangolare la base che si aggiunge per passare da un triangolare al triangolare consecutivo. Aritmeticamente, scritta in una prima riga la successione dei numeri interi, se ne deduce la successione dei triangolari, scrivendo l'unità sotto l'unità, poi facendo la somma di uno e di due, eppoi prendendo per elementi della seconda riga i numeri che si ottengono facendo successivamente la somma dei primi numeri interi, oppure facendo, per ottenere un elemento della seconda riga, la somma dell'elemento che lo precede nella stessa riga con quello che lo precede nella stessa colonna:
1  2  3    4    5    6    7    8    9  10   11 …
1  3  6  10  15  21  28  36  45  55  66 …
Così, per definizione, l'n° triangolare è la somma dei primi n numeri interi, ed è quindi eguale all'(n -1)° triangolare aumentato di n.
Se il triangolare tre ha la forma di un triangolo equilatero, procedendo con lo sviluppo omotetico, anche gli altri numeri triangolari hanno forma regolare, e precisamente si conserva nello sviluppo la similitudine della forma. Inoltre, siccome attorno ad un punto si possono disporre sei angoli di 60° (come era noto ai pitagorici), ossia vi sono sei triangoli equilateri congruenti attorno ad un punto, sviluppandoli tutti e sei rispetto a questo loro vertice comune preso come centro di omotetia, si ottiene il riempimento totale ed isotropico del piano mediante triangoli regolari.
Anche il numero quattro, oltre alla raffigurazione lineare, ammette una sola raffigurazione piana:

Esso è perciò un quadrato; è il secondo quadrato, perché l'unità è il quadrato di uno. Lo gnomone del quadrato, ossia la differenza tra il 4 che è il secondo quadrato ed il quadrato precedente è 3, il terzo quadrato, ossia come noi diciamo il quadrato di base 3, si ottiene nella raffigurazione geometrica aggiungendo al di sotto ed a destra uno gnomone a forma di squadra composto di 5 punti; e così via si passa da un quadrato al successivo aggiungendo successivamente i numeri dispari. Si vede così che anche i quadrati crescono conservando la similitudine della forma; e, poiché attorno ad un punto si possono disporre quattro angoli retti congruenti ed in ognuno di essi un quadrato, ne segue che, sviluppando omoteticamente rispetto al vertice comune come centro di omotetia i quattro quadrati, si ottiene il riempimento totale ed isotropico del piano mediante quadrati.
Aritmeticamente basta scrivere in una prima riga i numeri dispari, e nella seconda operare come si è fatto per i numeri triangolari per ottenere i quadrati:
1   3   5     7     9    11    13    15   17 …
1   4   9   16   25   36   49   64   81 …
Ne segue l'importante proprietà: La somma dei primi n numeri dispari è eguale all'n° quadrato, proprietà che permise a Galileo di trovare la formola del moto naturalmente accelerato.
Un quadrato è un numero a forma di rettangolo i cui lati contengono egual numero di punti. Un numero avente forma rettangolare era chiamato eteròmeco se da un lato conteneva un solo punto di più del consecutivo, ed era chiamato promeco se la differenza tra i punti di un lato e quello consecutivo superava uno. Per esempio il 15 è un promeco ed il 20 un eteromeco.

Conducendo di fianco e parallelamente ad una diagonale una linea retta essa divide un numero eteromeco in due parti che sono due triangoli eguali; e siccome il numero dei punti dell'n° eteromeco, costituito da n colonne e da n righe è n (n+ 1) ne segue per l'n° numero triangolare la formola

ricordando la definizione di triangolare si ha:

Se invece si conduce in un numero quadrato la parallela ad una diagonale, il quadrato si suddivide in due triangolari consecutivi; ossia la somma di due triangolari consecutivi è eguale ad un quadrato; e questo permette di dedurre dalla successione dei triangolari quella dei quadrati. Scritta nella prima riga la successione dei triangolari si ottiene nella seconda riga la successione dei quadrati
1   3   6   10   15   21   28   36 …
1   4   9   16   25   36   49   64 …
scrivendo sotto ogni elemento della prima riga la sua somma col precedente.
A differenza del numero tre, il numero quattro ammette anche una raffigurazione geometrica spaziale. Precisamente, conducendo la perpendicolare al piano di un triangolo equilatero per il suo centro, vi è su di essa un punto che ha dai tre vertici del triangolo distanza eguale al lato; i quattro punti sono i vertici di un tetraedro, chiamato piramide dai greci ⁶⁾, ossia di una piramide regolare a base triangolare, che è la rappresentazione nello spazio del numero quattro. Anche in questo caso è possibile lo sviluppo omotetico rispetto ad uno dei vertici, ossia si può disporre al di sotto della base il numero triangolare consecutivo e si ottengono così i numeri tetraedrici. Lo gnomone del tetraedro è costituito dal triangolare che si aggiunge al tetraedro precedente. Il primo numero tetraedrico è l'unità: il secondo è 4 perché 1 + 3 = 4; il terzo è 10 perché 4 + 6 = 10. Partendo da una prima riga tutta composta di unità, e scrivendo nella seconda riga la successione dei numeri naturali, nella terza quella dei triangolari e nella quarta quella dei tetraedrici, si ottiene il seguente quadro:
unità1  1  1  1  1  1  1  1  1 …
numeri lineari1  2  3  4  5  6  7  8  9 …
triangolari1  3  6  10  15  21  28  36  45…
tetraedici1  4  10  20  35  56  84  120  165…
La legge di formazione di questo quadro è la seguente: Ogni elemento del quadro è eguale alla somma di tutti gli elementi della riga precedente a cominciare dal primo sino a quello sovrastante all'elemento consideraro; ad esempio
il 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
il 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5,
il 35 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15; od anche ogni elemento è eguale alla somma di quello che lo precede nella stessa riga e di quel10 che lo sovrasta nella stessa colonna, per esempio
35 = 20 + 15.

6)   La parola greca pyramis è una lieve corruzione dell'egiziano pirem-us che designa l'altezza della piramide (cfr. REVILLOUT E., Revue Egypt., 2e année, 305-309. L'errata etimologia da π ΰ ρ = fuoco spiega perché il tetraedro sia in Platone il simbolo del fuoco. )

Esiste un solo sviluppo lineare dei numeri. Esistono invece infiniti sviluppi superficiali dei numeri ed infiniti sviluppi solidi. Per esempio il numero 5 si può rappresentare nel piano mediante i 5 vertici di un pentagono e nello spazio mediante i cinque vertici di una piramide a base quadrata. Lo sviluppo per i pentagonali si fa prendendo come centro di omotetia uno dei vertici del pentagono, e per il tetraedro a base quadrata prendendo come centro di omotetia il vertice della piramide. Aritmeticamente per ottenere i pentagonali basta partire dalla successione dei termini della serie aritmetica di ragione tre ossia dai numeri: 1, 4, 7, 10, 13, 16 … e farne la somma. La somma dei primi n è eguale all'n° pentagonale, e quindi i pentagonali sono: 1, 5, 12, 22, 35, 51 … I piramidali a base quadrata si ottengono invece facendo la somma dei primi n quadrati consecutivi: 1, 4, 9, 16, 25 … e sono i numeri: 1, 5, 14, 30, 55 … In simile modo si ottengono i numeri esagonali partendo dalla serie aritmetica di ragione 4, o serie degli gnomoni esagonali che sono: 1, 5, 9, 13, 17 …; e gli esagonali sono: 1, 6, 15, 28, 45… Si riconosce facilmente che l'n° numero esagonale non è altro che il (2n - 1)° numero triangolare. Si potrebbe anche mostrare che nello sviluppo omotetico dei pentagonali e degli esagonali si conserva la similitudine della forma, ma non l'isotropia; e perciò, sebbene il piano acconsenta una ripartizione in esagoni regolari, non se ne può ottenere il riempimento totale ed isotropico mediante lo sviluppo omotetico di tre esagonali congruenti attorno ad un vertice comune. Cosi pure si può mostrare che lo spazio acconsente una equipartizione solo mediante i cubi i cui vertici lo riempiono totalmente ed isotropicamente; ma non acconsente una equipartizione in altro modo sebbene il tetraedro ed anche l'ottaedro siano sviluppabili omoteticamente e riempiano totalmente ed isotropicamente l'angoloide entro il quale si sviluppino. Facciamo questa osservazione perché Aristotile, dopo avere detto⁷⁾ correttamente che il piano può essere equipartito solo mediante triangoli regolari, quadrati ed esagoni regolari, aggiunge che lo spazio può essere equipartito mediante cubi e mediante piramidi. Si tratta di un errore in cui è incorso Aristotile; e, siccome i tre numeri poliedrici regolari tetraedrico, cubico ed ottaedrico, sviluppati omoteticamente entro uno dei loro angoloidi, riempiono questo angoloide totalmente ed isotropicamente, l'errore di Aristotile consiste nell'avere confuso lo spazio con lo spazio dell'angoloide; ma se l'errore proviene da una tale confusione si ha una prova indiretta che i pitagorici del tempo si occupavano già dei numeri cubici, tetraedrici ed ottaedrici nonché della questione della equipartizione del piano mediante poligoni regolari e dello spazio mediante poliedri regolari ed in particolare dello spazio contenuto in un angoloide. Oltre a questi numeri piani detti numeri poligonali, ed ai numeri piramidali raffigurati nello spazio da delle piramidi a, base poligonale, i pitagorici considerarono numeri piani e solidi a forma rettangolare, e di parallelepipedo ed a forma di poliedro regolare. La formola che dà l'n° numero poligonale che ha r lati era nota a Diofanto ed è


per esempio per n = 4 ed r = 6 questa formola dà per il quarto numero esagonale P (6 . 4) = 28; i punti che lo raffigurano hanno la seguente disposizione:
La formola che dà l'n° numero piramidale a base r-gonale è

che sotto altra forma compare nel Codex Arcerianus, un codice romano del 450 dell'era volgare ⁸⁾. Per esempio per r = 4 ed n = 5 si trova che il quinto piramidale a base quadrata è F (4 . 5) = 55.

7)   ARISTOT., De coelo, III, 8.
8)   Cfr. CANTOR M., Die Römischen Agrimensoren, Leipzig, 1875, pagg. 93, 127.

Come per delimitare un segmento di retta occorrono due punti, il minimo numero di rette con cui si delimita una porzione di piano è il tre; tra tutti i numeri piani il tre è il minimo; analogamente il minimo numero di piani occorrente per delimitare una porzione dello spazio è quattro; tra tutti i numeri solidi il 4 ossia il tetraedro è il minimo. Secondo Platone (cfr. il Timeo) questo tetraedro o piramide, come egli lo chiama, è l'ultima particella costituente i corpi, ossia l'atomo o molecola della materia. Naturalmente oggi sappiamo che gli atomi o le molecole non hanno questa forma e che non sono affatto indivisibili, ma vale la pena di notare che il corpo che possiede la maggiore saldezza molecolare, ossia il diamante, ha la molecola composta di quattro atomi disposti a forma di tetraedro regolare ⁹⁾.
Aggiungendo l'unità all'unità si è passati dal punto alla linea, individuata da due punti; aggiungendo a questi due punti un altro punto si può passare al piano mediante il triangolo; ed aggiungendo ancora l'unità si può passare allo spazio mediante il tetraedro. Ma restando nei limiti dell'intuizione umana dello spazio tridimensionale non è possibile aggiungere una unità ai quattro vertici del tetraedro prendendo un punto fuori dello spazio tridimensionale e raffigurare il 5 come una piramide dell'iperspazio avente per base il tetraedro. In altre parole dall'unità si passa al due e si ha la linea, dal due si passa al tre e si ha il piano, dal tre si passa al quattro e si ha lo spazio: eppoi bisogna smettere, si è giunti alla fine del procedimento. Ora, secondo l'accezione aristotelica ed anche semplicemente greca della parola perfezione, le cose sono perfette quando sono terminate, completate: il limite, la fine è una perfezione. Nel nostro caso, siccome il quattro è l'ultimo numero che si ottiene passando dal punto alla linea, dalla linea al piano e dal piano alla spazio, perché non si può raffigurare un quinto punto fuori dello spazio definito dai quattro vertici del tetraedro, il quattro è, nel senso generico greco e pitagorico della perfezione, un numero perfetto. L'assieme della monade, della diade, della triade e della tetrade comprende il tutto: il punto, la linea, la superficie ed il mondo concreto materiale solido; e non si può andare oltre. Quindi anche la somma
1 + 2 + 3 + 4 = 10
ossia l'assieme o la quaterna o quaderna dell'unità, della dualità, della trinità o della tetrade, ossia la decade, è perfetta e contiene il tutto.
Ogni assieme o somma di quattro cose è detta con parola pitagorica tetractis; e vi sono varie tetractis; ma questa che abbiamo ora considerato è la tetractis per eccellenza, la tetractis pitagorica per la quale i pitagorici prestavano giuramento. Un frammento di Speusippo osserva che il dieci contiene in sé la varietà lineare, piana e solida di numero, perché 1 è un punto, 2 una linea, 3 un triangolo e 4 una piramide ¹⁰⁾.
Filone ebreo ¹¹⁾, ripetendo concetti pitagorici, dice che quattro sono i limiti delle cose: punto, linea, superficie e solido, e Gemino dice che l'aritmetica è divisa nella teoria dei numeri lineari, nella teoria dei numeri piani e nella teoria dei numeri solidi.

9)   Cfr. WILLIAM BRAGG, L'architettura delle cose, 2a ed. ital., Milano, 1935, pag. 157.
10)   Cfr. HEATH, A History of Greek Mathematics, 75.
11)   FILONE, De Mundi opificio, 10, 16, 34.

La perfezione, ossia il completamento della manifestazione universale, è raggiunta col dieci che è la somma dei numeri sino a quattro. La decade contiene il tutto, come l'unità, che contiene il tutto potenzialmente. Il nome δεκάς è appunto questo per tale proprietà ricettiva δεχάς.
Questa constatazione è il risultato del limite posto allo sviluppo dei numeri dalla tridimensionalità della spazio, e si perverrebbe al riconoscimento di questa stessa proprietà del 4 e del 10 anche se la numerazione parlata invece di essere la numerazione decimale fosse per esempio una numerazione a base dodecimale o a base ternaria. Per altro constatiamo la coincidenza. La ragione per cui la numerazione parlata greca, latina, italiana ecc. è decimale, sta nel fatto che l'uomo possiede dieci dita delle mani, le quali sono di grande aiuto nel contare (contare a mena dito) tanto che nella scrittura latina e greca antica l'unità era rappresentata da un dito identificato in seguito con la lettera I. L'ultimo dito è il decimo, e quindi il 10 è perfetto. Il cinque ha nelle due scritture speciale rappresentazione, in greco mediante l'iniziale della parola pente, in latino mediante la palma, o spanna della mano aperta in seguito identificata con la lettera V, poiché presso i latini la scrittura dei numeri precorre la conoscenza e l'uso dell'alfabeto; ed il 10 è rappresentato in greco dalla lettera Δ iniziale di decade e che ha la forma di un triangolo equilatero mentre in latino è rappresentato dalle due mani aperte ed opposte ossia dal segno in seguito identificato con la lettera X. Questi segni bastano nella scrittura greca e latina dei numeri alla rappresentazione o scrittura dei numeri sino al cento, cui provvede in greco l'iniziale H della parola Hecaton, ed in latino un segno in seguito identificato colla iniziale di centum.

Tanto la tetractis pitagorica che la numerazione parlata pongono in evidenza l'importanza del numero dieci per vie assolutamente indipendenti. E questa non è la sola concordanza tra il 4 ed il 10 perché la lingua greca forma i nomi dei numeri dal dieci al 99 mediante i nomi dei primi dieci numeri, introduce un nome nuovo per indicare il 100, eppoi un nome nuovo per indicare il mille, ed in fine un nuovo ed ultimo nome per indicare la decina di migliaia o miriade. Questa stessa parola μύριοι, diversamente accentata μύρίοι, indica un numero grandissimo indeterminato. Insomma la lingua greca dispone soltanto di quattro nomi, dopo il nove, per designare le prime quattro potenze del dieci e si arresta alla quarta potenza, come la somma dei numeri interi ha termine col quattro nella tetractis.
Una terza constatazione relativa alla decade (e quindi alla tetractis) è la seguente: Dopo l'unità che è potenzialmente poligonale, piramidale e poliedrico di qualunque genere, il primo numero che è simultaneamente lineare, triangolare e tetraedrico, e compare quindi nella irradiazione dell'unità e nella più semplice forma di manifestazione e di concretizzazione dell'unità, è il numero dieci. Esso è il primo numero che compare simultaneamente nelle tre successioni dei numeri lineari, triangolari e tetraedrici:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 …
1  3  6  10  15  21…
1  4  10  20…
Non si conoscono che cinque numeri che godono di questa proprietà; essi sono: 1, 10, 120, 1540, 7140. La determinazione degli altri numeri che sono simultaneamente triangolari e tetraedici dipende dalla risoluzione dell'equazione che si ottiene eguagliando l'x° triangolare all'y° tetraedrico, ossia dalla risoluzione dell'equazione indeterminata di terzo grado con due incognite.

equazione di cui si conoscono le cinque soluzioni:
x 1  4  15  55  119
y 1  3  8  20  34
ma di cui la matematica moderna non sa determinare le altre eventuali soluzioni intere.
Una quarta constatazione è fornita dalla osservazione che la lettera delta è la quarta lettera dell'alfabeto greco ed ha la forma di un triangolo equilatero. La lettera D = delta è la quarta lettera anche nell'alfabeto etrusco, latino e fenicio e nei varii alfabeti greci (in uso nei varii periodi); e, sebbene l'ordine delle lettere di un alfabeto non sia un ordine stabilito da una legge di natura, occorre non trascurare questa osservazione per il valore che potevano annetterle i pitagorici o parte di essi. La decade è dunque il quarto numero triangolare ed il terzo tetraedrico ed è rappresentata nella scrittura dei numeri dalla sua iniziale che è la quarta lettera dell'alfabeto ed ha la forma di un triangolo.

Se si prende il quarto triangolare la sua raffigurazione è


raffigurazione che trovasi in Theone da Smirne ed in Nicomaco da Gerasa. Questa raffigurazione della decade è un simbolo, nel senso etimologico della parola, ossia di riunione di più sensi. Vi è un simbolo che è un triangolo o triangolare; esso è il quarto triangolare, è composto di dieci punti disposti secondo quattro righe contenenti rispettivamente uno, due, tre e quattro punti. «Guarda, dice Luciano, quelli che tu credi quattro sono dieci, ed il triangolo perfetto, ed il nostro giuramento» ¹²⁾.
Una quinta constatazione assai importante, in ispecie e sicuramente per i Pitagorici, si ottiene dalla considerazione della scala musicale. La musica moderna fa uso della scala temperata, la quale è approssimativamente la scala naturale basata sopra il principio dei rapporti semplici; i greci invece facevano uso della scala pitagorica basata sopra il principio di quinta. Vedremo in seguito la genesi di questa scala; per il momento limitiamoci a constatare che queste scale sono tutte e tre costituite da sette note fondamentali disposte nell'ordine ben noto. I greci chiamavano armonia l'ottava.
Le note fondamentali di questa gamma od ottava, delle quali con la legge di quinta si deducono le altre, sono la prima, la quarta, la quinta e l'ottava; cioè le quattro corde del tetracordo di Filolao: la prima, la quarta, o sillaba, la quinta o diapente ed il diapason. Secondo la tradizione, Pitagora mediante l'osservazione e l'esperimento aveva scoperto che i rapporti tra la lunghezza di queste corde e la lunghezza della prima erano espressi dai rapporti numerici 4:3, 3:2, 2:1 cioè dai rapporti tra i numeri della tetractis, che sono non soltanto dei rapporti semplici ma anche i più semplici rapporti possibili. Il tetracordo di Filolao mostra che nel campo dell'armonia compaiono alle fondamenta gli stessi numeri 1, 2, 3, 4 che compaiano nella tetractis. «Questa scoperta, scrive il Delatte ¹³⁾, produsse su tutti gli spiriti, particolarmente sui Pitagorici, un effetto straordinario, che oggi non possiamo più apprezzare. La tetractis donava loro la chiave dei misteri dell'acustica ed essi estesero a tutto il dominio della fisica le conclusioni di questa scoperta. Essa divenne uno dei fondamenti della loro filosofia aritmologica e si comprende che essi abbiano potuto considerare la tetractis come la sorgente e la radice dell'eterna natura».
La formula poetica del giuramento pitagorico ci è stata trasmessa da varii autori; e la sua forma più ordinaria ed esatta è la seguente ¹⁴⁾:

ossia: No, io lo giuro per colui che ha trasmesso alla nostra anima la tetractis nella quale si trovano la sorgente e la radice dell'eterna natura. Una variante di questa formula compare anche nei «Detti aurei».

12)   LUCIANO, Vita. Auct., 4.
13)   A. DELATTE, Etudes sur la litterature pithagoriciénne, pag. 259.
14)   Ibidem, pag. 250.

Il simbolo pitagorico della tetractis, nella sua forma schematica di triangolo equilatero, coincide manifestamente colla forma schematica del delta massonico, ed anche con la forma schematica del delta cristiano simbolo della Trinità. Questa ultima assimilazione vien fatta facilmente, anzi con faciloneria, specialmente schiaffandoci dentro tanto di occhio del Padre eterno. Il carattere cristiano del simbolo massonico non è più tanto appariscente quando; come spesso accade, nel triangolo compare scritto il tetragrammaton, ossia, il nome di Dio in quattro lettere, così designato dai cabalisti con parola greca; e sparisce addirittura quando il triangolo è collocato entro la stella fiammeggiante a cinque punte o pentalfa pitagorico, come nel frontespizio dell'Etoile Flamboyante del Barone De Tschoudy, cui è attribuito il rituale del 14° grado del Rito Scozzese.
Inoltre il delta sacro, che è insieme al sole ed alla luna; uno dei tre lumi sublimi della società dei liberi muratori, come dice il rituale dell'Apprendista, si trova nei lavori di primo grado tra i simboli del sole e della luna dietro il seggio del Venerabile; mentre nei lavori di secondo grado è sostituito dalla Stella fiammeggiante. Le rispettive età iniziatiche dell'apprendista e del compagno corrispondono a questa sostituzione. Ne deriva una connessione tra i due simboli; e, siccome senza ombra di dubbio, la stella a cinque punte è simbolo caratteristico tanto dall'antico sodalizio pitagorico che della massoneria, ne resulta confermata la identificazione del delta massonico con la tetractis pitagorica. Per attribuire un carattere cristiano anche allo stellone a cinque punte non resterebbe che affermare che tale era la forma della stella apparsa, secondo il quarto Vangelo, ai tre re Magi, Melchiorre, Gasparre e Baldassarre; ma il quarto Vangelo su questo punto non si pronunzia; e gli altri Vangeli, i tre sinottici, non fanno la menoma menzione dei tre re magi. E siccome gli antichi documenti attestano la continuità della tradizione massonica che si richiama a Pitagora, la identificazione della massoneria con la geometria e la pretesa dei massoni di essere i soli a conoscere i numeri sacri, ci pare che la identificazione del Delta massonico con la tetractis pitagorica sia confortata da argomenti di maggior peso che non la identificazione col simbolo cristiano.

Tra i simboli muratorii non compare alcun simbolo cristiano, neppure la croce; compaiono invece, ed è naturale, solo simboli di mestiere e simboli geometrici, architettonici e numerici. Se il delta massonico avesse il carattere cristiano esso sarebbe un simbolo isolato, spaesato, di cui non si comprenderebbe la esistenza e la eterogeneità in massoneria.. Insistiamo su questo punto non solamente perché è doveroso per la serietà e la serenità delle indagini critiche non lasciarsi fuorviare da simpatie od antipatie, ma perché l'incomprensione e l'ignoranza in proposito sono antiche ed esiziali, e molti rituali, invece di guidare i fratelli verso la piena intelligenza del simbolismo, contribuiscono in buona o mala fede ad impedire quella interpretazione che è indispensabile per comprendere il senso puramente muratorio del simbolismo.
Con questo non intendiamo affermare né scorgere un contrasto tra la tetractis pitagorica o delta massonico ed il simbolo cristiano della Trinità. Tale opposizione del ternario cristiano al quaternario pitagorico fu opera del fanatismo miope dei cristiani dei primi secoli; ed era ingiustificata perché, come vedremo, i pitagorici furono degli esaltatori della triade, e questa loro consuetudine di noverare e venerare in tutte le cose il numero tre li guidò persino nella classificazione dei numeri.
Riassumendo, il due si può ottenere soltanto mediante l'addizione, e soltanto mediante l'addizione di due unità. Il tre si può ottenere soltanto mediante l'addizione, in cui almeno uno dei termini è l'unità.
Dal quattro in poi tutti i numeri si possono ottenere mediante addizione di termini tutti distinti, dall'unità. La raffigurazione geometrica dei numeri nello spazio tridimensionali ha termine ed è perfetta col numero quattro, e siccome la somma 1 + 2 + 3 + 4 = 10 è anche la nuova unità del sistema di numerazione decimale, ne segue la perfezione del quattro e della decade ed il simbolo della tetractis. Perciò i pitagorici non si occuparono in modo speciale dei numeri maggiori del dieci che si esprimevano nel linguaggio e nella scrittura mediante il dieci ed i numeri precedenti, e per questa ragione, forse, ridussero ai primi nove numeri i numeri maggiori del dieci mediante la considerazione del loro pitmene o fondo, ossia sostituendo ad essi il resto della loro divisione per nove od il nove stesso quando il numero era un multiplo del nove: resto che essi ottenevano facilmente mediante la ben nota regola del resto della divisione per nove. Poiché lo sviluppo dei numeri per addizione ha termine col quattro, occorre considerare ora lo sviluppo o generazione dei numeri mediante la moltiplicazione. Che i pitagorici siano effettivamente ricorsi a questo criterio di distinzione è certo, perché il numero sette era consacrato ed assimilato a Minerva perché come Minerva era vergine e non generato, ossia non era fattore di alcun numero (entro la decade) e non era prodotto di fattori. I numeri si distinguono quindi in numeri che non sono prodotti di altri numeri ossia in numeri primi od asintetici, ed in numeri che sono prodotti o numeri composti o sintetici. Tenendo conto dei soli numeri entro la decade, i numeri si suddividono in quattro classi: la classe dei numeri primi entro la decade che sono fattori di numeri della decade: e sono il due (che veramente non è un numero) ma compare come fattore del 4, del 6, dell'8 e del 10, il tre che è fattore del 6 e del 9; ed il 5 che è fattore del 10. La seconda classe è costituita dai numeri primi minori del 10 che non sono fattori di numeri minori del 10, ed è costituita dal solo numero sette. La terza classe è costituita dai numeri composti, inferiori al dieci, e che sono fattori di numeri minori del dieci, ed è costituita dal solo numero quattro, che è in pari tempo quadrato del due e fattore dell'8; la quarta classe è costituita dai numeri composti minori del dieci che sono prodotti di altri numeri senza essere fattori di numeri entro la decade, essa è costituita dal sei, dall'otto e dal nove, poiché 2 . 3 = 6, 2 . 2 . 2 = 2 . 4 = 8 e 3 . 3 = 9. Non tenendo conto del 10 e tenendo conto del due si hanno quattro numeri primi: 2, 3, 5, 7 di cui uno solo non produce altri numeri, e quattro numeri composti: 4, 6, 8, 9 di cui uno solo è anche fattore.


Vale la pena di osservare come questo criterio pitagorico di distinzione per la classificazione dei numeri entro la decade coincide perfettamente col criterio tradizionale di distinzione cui si attiene il Vedanta per la quadruplice classificazione dei venticinque principii o tattwa, precisamente il primo principio (Prakriti) che non è produzione ma è produttivo, sette principii (Mahat, Ahamkara ed i 5 tanmatra) che sono contemporaneamente produzioni e produttivi, 16 principii (gli 11 indriya, compreso Manas ed i 5 bhuta) che sono produzioni improduttive, ed in fine Purusha che non è né produzione né produttivo. Rimandiamo il lettore in proposito alla esposizione che ne fa René Guénon ne L'uomo ed il suo divenire secondo il Vedanta, Bari, Laterza, 1937. Questo stesso criterio di distinzione inspira, come ha osservato il Colebrooke (Essais sur la Philosophie des Hindous, trad. Pauthier), la divisione della Natura, fatta nel trattato De divisione Naturae di Scoto Erigena, il quale dice: «La divisione della Natura mi sembra dover essere stabilita in quattro differenti specie, di cui la prima è ciò che crea e non è creato; la seconda è ciò che è creato e crea a sua volta: la terza ciò che è creato e non crea, e la quarta infine ciò che non è creato e nemmeno crea». Naturalmente non è il caso di parlare di derivazione; comunque Pitagora, cronologicamente, precede, non solo Scoto Erigena, ma anche Sankaracharya. Resta così stabilito il carattere tradizionale della dottrina pitagorica dei numeri.

CHAPTER II

The quatern of composite or synthetic numbers

Not from any wood, as Pythagoras said,
Mercurius must be carved.
APULEIUS - De Magia.

In the development of numbers starting from the unit and passing through the line segment, triangle, and tetrahedron, we had to stop at the number four because the addition of a new point outside the three-dimensional space is not possible for human intuition. We can continue to consecutively add units, but we can only do so by remaining in the field of linear, plane, and solid numbers; and, considering, for example, linear numbers, there is no criterion for distinguishing the relative properties of the various numbers.
Moreover, instead of generating the numbers by addition, one can then consider and obtain the generation of the numbers through the operation of multiplication. Indeed, the same terminology, traditionally remained unchanged, clearly indicates that the numbers were considered as products of this operation. Following this method, the distinction immediately presents itself in two and four classes of numbers: the class of primes or protoi or asynthetic numbers which cannot be obtained by multiplication, and the class of synthetic, or secondary and compound numbers, which are the product of other numbers called their factors. Since the 2 is not a number, and even numbers are always the product of two by another factor, prime numbers are always odd numbers; and odd numbers that are not promic or squares are prime numbers. In the first decade, not counting the 2, there are only three prime numbers: three, five and seven; that is the sacred numbers of the freemason apprentice, fellow-craft, and master.
The numbers of the decade that can be obtained through multiplication are four: 4, 6, 8 and 9.
Four is the product of two factors equal to two, which is a square; and since squares are obtained by the consecutive addition of gnomons which are nothing other than consecutive odd numbers, and since the squares keep the similarity of form as they grow, so in the eyes of the Pythagoreans they in a certain way preserve the character of odd numbers, even if their base is not odd, because they differ from other rectangular numbers which do not maintain the similarity of the form in the geometric development. For example, the heteromecic numbers are obtained from the 2 by subsequently adding a gnomon in the form of a square, one of which one side contains an extra point


and we have the numbers: 2,   2x3 = 6,   3x4 = 12,   4x5 = 20. …… n (n + 1). These numbers always have a different form, because two heteromecic numbers like n (n + 1) and m (m + 1) cannot have the sides of one proportional to those of the other, that is, it cannot happen that n : m = (n + 1): (m + 1) because it should be m (n + 1) = n (m + 1) and therefore n = m And the same thing happens for the rectangular numbers called promic or oblong, which are products of two factors that differ by any number r different from one such as 8, 15, 24.… m (m + 2); because it can never happen that the number m (m + r) is similar to the number n (n + r) that's to say that m : n = (m + r): (n + r) having to be in this case mr = nr and, therefore m = n. And a number can be promic and heteromecic in various forms all dissimilar between them; for example, 45 = 5 x 9 = 3 x 15; and 16 = 4 x 4 = 2 x 8. Therefore, the square numbers are the only rectangular ones that grow while maintaining the similarity of the form. The number four, after the 1, is the first of these numbers. In this way it escapes the imperfection of even numbers: we know indeed that it is perfect because with it the development of number 1 in space ends, and the decade is obtained.
As for the number six, it is a heteromecic number; but it is also a perfect number, and precisely it is the first perfect number in the modern sense of the term. In fact, perfect numbers are those numbers that are equal to the sum of their divisors (except for the number itself). In fact, the divisors of six are: 1, 2, 3 and we have: 1 + 2 + 3 = 6. From this point of view, the Pythagoreans distinguished three kinds of numbers: perfect numbers, elliptic numbers, and hyperbolic numbers. The perfect numbers were those for which the sum of the divisors was exactly equal to the number itself; elliptic or deficient numbers those for which the sum of the divisors was less than the number itself; and hyperbolic or abundant numbers those for which the sum of the divisors exceeded the number itself. For example, the number 15 is an elliptical number because the sum of the divisors is 1 + 3 + 5 is less than 15, while 12 is a hyperbolic number because the sum of the divisors is 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 which exceeds 12. Of course, perfect numbers are relatively rare, and the ancients only knew four, and precisely the first four, namely: 6, 28, 496, 8128. There are no known odd perfect numbers; the even ones must end with 6 or 8, and are given by Euclid's formula 2^{r - 1} (2^r - 1) if the exponent r is prime and so too is the factor 2^r - 1; and, since a general rule for recognizing prime numbers is not known, the study of perfect numbers presents arduous difficulties and little more than a dozen are known. Six is a perfect number in this modern sense of the mathematical term.
Another property of the number six is this: The sum of its factors is equal to their product, i.e., 1 + 2 + 3 = 1x2x 3 = 6. Indeed, this is the only case in which this happens for three consecutive positive numbers. In fact, denoting the average term with x, it must be
(x - 1) + x + (x + 1) = (x - 1) x (x + 1)
that is 3x = x³ - x, and, dividing it by x, it must be 3 = x² - 1 that is x² = 4 and x = 2. Two is, therefore, he only solution°:
and, therefore, the only triad of consecutive numbers whose sum is equal to the product is constituted by the triad 1, 2, 3 or rather by the monad, the dyad and the triad.
As the number six results from the multiplication of the number two, the feminine principle, by the first odd number [3] that is masculine, it was called gamos and was the Pythagorean number sacred to Aphrodite. We observe in this regard that, according to Matila G. Ghyka, a Romanian author of two very valuable and widespread works of great interest in particular for the study of sacred architecture, the Pythagorean number sacred to Aphrodite would be the 5 and not the six. ¹⁾ Matila G. Ghyka bases this affirmation on a single passage by Nicomachus, who notes an analogy ²⁾ also between the number five and Aphrodite because five is the sum of two and three; but that is a simple analogy recognized only by this late Pythagorean, while the number six is identified with Aphrodite not only by Nicomachus himself, ³⁾ but corresponds to Aphrodite also according to other ancient authors, such as Lydus, Moderatus, and St Clemens. ⁴⁾ Matila G. Ghyka takes no account of this circumstance, indeed he does not even mention it, and affirms that number five was for the Pythagoreans the symbol of generation and marriage; and uses this erroneous statement to attribute a Pythagorean character to his theory, indeed to his central theory, according to which five is the symbol and number of organic life, while six is the symbol and number of inorganic life. He presents this theory of his as a Pythagorean theory that Pythagoras would have overshadowed by taking the five as Aphrodite's number. This is not true; and, whatever the philosophical and scientific value of Ghyka's theory may be, it is a theory of this modern writer and not a Pythagorean theory. The Pythagorean number for Aphrodite is six and not five.
The third number of the decade obtained through multiplication is the number eight. It is a promic number because 8 = 2x4, but in space it is the first cubic number, as the four was the first square in the plane. Now, the cubic numbers have a representation in space analogous to that of the squares in the plane and they too grow while maintaining the similarity of the form. Therefore, the cubes too, whose edge is an even number, and in particular the two, are beyond the general character of the even numbers. ⁵⁾
The fourth and last number of the decade that is obtained through multiplication is the number nine) which is the square of three, that is, of a number that was considered perfect for reasons that we will see later, and which even today is held as the perfect number par excellence) for example by enigmatographers. Nine is the last monadic number, i.e.,, in modern terms it is the last single-digit number; with it the ennead of numbers is concluded as ten is a new unit, and therefore is pythagorically perfect. An ancient writer, the Pseudo-Plutarch, enumerates the reasons for the perfection of the number nine, ⁶⁾ saying: "The novenary is very perfect because it is the first odd square, and it is equally odd because it is divided into three triads which again divide into three units."
Dante, in his Vita Nova, that is, life after initiation, makes a persistent use of this "perfect number nine," ⁷⁾ noting that this number was a friend of Beatrice, and that he was nine years old when he saw Beatrice for the first time, and he goes so far as to identify Beatrice with this number. He explains the reasons, at least partially, that justifies his consideration of the number nine, and why ⁸⁾ "this number was so much a friend of her, that is, of the glorious woman of my mind, which was called Beatrice by many," and he says that "more subtly thinking, and according to infallible truth, this number was she herself, by simile I say, and I mean this thus: the number three is the root of nine, but which without any other number, by itself makes nine, since we clearly see that three by three makes nine." The criterion of perfection for Dante is the classical, Pythagorean criterion, and he himself specifies it by reporting ⁹⁾ what Aristotle says in the seventh book of Physics, regarding perfection: "Each thing is most perfect when it touches and adds its own virtue, and then it is most perfect according to its nature." Of course, he pauses to expose the division of spiritual creatures into three hierarchies and principalities, each composed of three orders, in order to give the chrism of orthodoxy to his conception, but the fact is that the concept of the nine heavens does not belong to the Jewish tradition, and Christianity has adopted in this, as in other things, the pagan and, more especially, the Pythagorean concept. In short, nine is for Dante a power of three, it does not contain other factors than three, it is a direct manifestation of the Trinity, one of its powers, which is the glorious woman or rather Domina or mistress of Dante's mind, and undoubtedly of all the others "Fedeli d'Amore" (Love's faithfuls) who called her by the same name.
To better understand this Dante's numerical symbolism, it would be necessary to expose the interpretation of Dante's writings, and of medieval literature in general, according to Dante Gabriele Rossetti, ¹⁰⁾ Ugo Foscolo, Giovanni Pascoli, and especially Luigi Valli, to whom we can only refer the reader. In Freemasonry, the number nine has special importance in determining the initiatory ages in the various degrees of the Scottish Rite; and it is the basis of every architectural drawing or calculation, because the plotting table [Tracing Board] on which such calculations are carried out is divided into nine boxes, and it was precisely for this reason that it was called tiercel board or tripartite board by the ancient freemasons. In the legend of the third degree, nine brothers go in search of Hiram, three by three exploring the east, the south and the west, to find themselves on the ninth day of the search at a specific place in the north.

1)   MATILA C. GHYKA, L'esthétique des proportions et dans les arts [The aesthetics of proportions and in the arts]; see by the same author, Le Nombre d'Or [the golden number, 1931.
2)   See A. DELATTE, Etudes, pag. 159.
3)   See DELATTE, Etudes, 152, 156.
4)   See DELATTE, Etudes, pag. 196, 202, 212, 216.
5)   Four is also the only number of the decade that is composed and at the same time the factor of a number of the same decade; in fact 2x2 = 4 and 4x2 = 8.
6)   Ps. PLUTARCO, De vita et poesi Homeri, 145.
7)   DANTE, Conv. II, 6 e Vita Nova XXIX.
8)   DANTE, Vita Nova, XXIX.
9)   DANTE, Conv., IV, 16.
10)   Oversight by the Author, who actually intended to refer to the father of the pre-Raphaelite painter, Dante Gabriele Rossetti, the well-known Dante artist Gabriele Rossetti, author of the Mystery of Platonic Love of the Middle Ages, a work that was certainly read by Reghini in his youth, following of the report received by Isabel Cooper-Oackley (Editor's Note).

We will see later, when dealing with ternary numbering, the archaic reasons that made the number three a perfect number in the classical and Aristotelian meaning of the word. The number nine, the power of three, is also perfect for the same reasons; furthermore, nine is perfect because it is the last digit of a number, and because it is the last number of the quaternion of the composite number contained within the decade.
We have thus found a second tetractys, that of the numbers 4, 6, 8, 9. We observe that the sum of the first four numbers; composing the first tetractys was ten; the sum of the numbers making up this second tetractys is 27, which is the cube of three, another perfect number that we will have to deal with. Of course, the first tetractys is the tetractys par excellence. It is identified with the decade, symbolized by the equilateral triangle, i.e., the letter Delta, and was found in the sanctuary of Delphi. In fact, the catechism of the Acousmatics, the Pythagorean traditionalist archaic sect, asks ¹¹⁾: "What is there in the sanctuary of Delphi?" And answers: "The tetractys, because in it there is harmony, in which the Sirens are." We will see later the meaning of this rather curious answer: for the moment let us content ourselves with observing how in the sanctuary of Delphi, from which the maxim derives: Know thyself, there was the same symbol of the tetractys and the Masonic Delta appearing in Freemason temples. Evidently, awareness of self and knowledge of the tetractys have some relationship to each other.
In addition to the basic tetractys, the ancients also considered other tetractys or quaterns or quaternions, and Plutarch distinguishes several of them. ¹²⁾ He calls Pythagorean the one composed by the first four odd numbers and the first four even numbers, that is
(1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (7 + 8) = 36
where 36 is the square of the first perfect number. We observe that 36 is the first triangular that is also a square: and that six is the only triangle whose square is still triangular. It is formed by the sum of two tetractys, one formed by the odd numbers 1 + 3 + 5 + 7 = 16 which is the square of 4, and the other formed by the even numbers 2 + 4 + 6 + 8 which, of course, is equal to twice the decade. Plutarch calls Platonic tetractys that composed with the numbers of the soul of the world whose creation is exposed in the Timaeus; the Platonic quaternion is formed by the sum of two quaternions having both the unit [1] as the first term and are then composed with the first three powers of two and three, i.e., they are: 1, 2, 4, 8 and 1, 3, 9, 27. The first has the sum of 15, the second has the sum of 40: for a total of 55, which is the tenth triangular number.
Having thus seen the generation of compound numbers contained within the decade, it remains to be seen how to arrive at the prime numbers 5 and 7: of which the first appears as a factor of the decade because 2x 5 = 10 while the second is not generated by the multiplication by any number of the decade, and does not generate any number of the decade. For this reason, the seven was assimilated to Minerva, because the goddess Athena, the Minerva of the Latins and of the Etruscans, was a virgin, she had not been generated, but she had jumped out of the brain of Jupiter fully armed. The observation of the thing and the consecration of the number seven to Minerva confirm that the generation of numbers was done in a Pythagorean way by multiplication, that is, in the manner used for the compound numbers.
We must now follow another path. And there are two ways, one independent of the other, which both lead to the numbers five and seven; one starting from the consideration of Philolaus' tetrachord, the other starting from the consideration of polygonal and pyramidal numbers.
According to Archytas, ¹³⁾ a Pythagorean living a little later after Pythagoras, there are three progressions: arithmetic, geometric and harmonic, and Iamblichus stated ¹⁴⁾ that in the school of Pythagoras the three arithmetic, geometric and harmonic means were considered. We must remember that, according to the Pythagoreans, there is an arithmetic proportion between four numbers a, b, c, d   when a - b = c - d; and in the particular case of the continuous proportion, i.e., if the two averages b and c are equal, i.e., if the proportion is a - b = b - c, the average term is called the arithmetic mean or the arithmetic mean of a and c, and is equal to their semi sum, that is

If instead of numbers there are segments a, b, c, d the definition of arithmetic proportion and arithmetic mean is the same. Similarly, there is a geometric proportion between four numbers when a : b = c : d; and in the case of the continuous proportion, that is, if b = c the proportion becomes a : b = b : c, and b is the proportional mean between a and c; and we have b = √a c. If instead of numbers there are segments, the definition of geometric proportion is the same; and the proportional mean segment between two segments a and c is also called the geometric mean. This segment can always be constructed in Pythagorean geometry, even if the given segments are not commensurable, by applying the Pythagorean theorem; and this construction as well as the proof of the Pythagorean theorem are independent of the parallel postulate or Euclid's postulate, as we have shown in another study. ¹⁵⁾
Finally, it is said that the four numbers a, b, c, d are in harmonic proportion when their inverses are in arithmetic proportion, i.e., when

And, particularly, there is continuous harmonic proportion when

The number b is, therefore, the harmonic mean between a and c when the inverse of b is equal to the arithmetic mean of the inverses of a and c. This definition differs from the definition handed down to us by the Pythagorean Tarentine Archytas in its fragment but is equivalent to it, and the same consequences are drawn from the two definitions.
From the definition of harmonic mean, that is, from the relation

is obtained:

which can also be written

and by the fundamental property of proportions we also have

And, therefore, also

the important relationship found in Nicomachus. This proportion allows the construction of the harmonic mean segment between two assigned segments a and c.
According to Iamblichus, ¹⁶⁾ Pythagoras would have learned this important proportion in Babylon and he was the first to bring it to Greece. In this Babylonian proportion the extremes are two numbers or any two segments a and c, and the averages are their arithmetic mean and their harmonic mean respectively. Then, since the rectangle with sides a and c is equivalent to the square with side √ a c, there is also the proportion

in which the three arithmetic, geometric and harmonic means appear. The property expressed by this relation can be stated by saying that the geometric mean between two numbers or segments a and c is also the geometric mean between their arithmetic mean and their harmonic mean. Given the two segments a and c, the Pythagorean geometry teaches us to construct their arithmetic, geometric and harmonic means even if the segments are immeasurable, and all this apart from the theory of parallels and the related assumption. If we are dealing with numbers, we can determine in which cases the three arithmetic, geometric and harmonic means of two integers a and c are integers, but we abstain from this digression.
In the particular case where a = 2 c the Babylonian proportion becomes:

And if a = 1

This quaternion contains the numbers which are the respective measures of the lengths of the four, as well as of the Philolaus tetrachord. It is none other than the lyre of Orpheus, ¹⁷⁾ that is, the instrument with which the recitation and also the singing were accompanied by. If the first string gives the sound of our Do [C], the fourth string, having half the length, gives the double frequency sound, that is the first harmonic of the Do [C], that is the Do [C] of the upper octave, while the sounds emitted by the other two strings are respectively those of Fa [F] and Sol [G]. The first harmonic of the Sol [G] is also the second harmonic of the Do [C], and due to proportionality, also the first harmonic of the second Do coincides with the second harmonic of the Fa. The ear perceives and likes these concordances and chords.

Furthermore, observes Tacchinardi, ¹⁸⁾ "it is notable that the tetrachord contains the most characteristic intervals of the voice in the declamation. In fact, when questioning the voice rises by a fourth; by strengthening it increases one degree more; and finally, concluding, it goes down by a fifth." It should also be noted that ¹⁹⁾ "the Indo-European accent was an accent of height; the tonic vowel was characterized, not by a strengthening of the voice, as in German and English, but by an elevation. The Greek tone consisted of an elevation of the voice; the tonic vowel was a higher-pitched vowel than the unstressed vowels. The interval is given by Dionysius of Halicarnassus as an interval of a fifth." And in Philolaus' tetrachord, the G is the fifth of the C, and the C of the second octave is the fifth of the F.
A tradition reported by Diogenes Laertius tells how Pythagoras, listening to the sounds emitted by the hammers of a blacksmith pounding on the anvil, observed that the height of these sounds depended on the thickness of the hammers, and then, experimenting with equally taut strings drawn from the same string, he found that the sound rose as the length of the string decreased, and that sounds were obtained whose chord the ear perceived when the ratios of the lengths of the strings were expressed by simple numerical ratios. If the tradition reported by Diogenes Laertius is true, this would be the first example of scientific discovery obtained with the orthodox scientific method of observation followed by experiment; and, since the simplest possible numerical ratios are the three ratios: 1 : 2,   2 : 3,   3 : 4, Pythagoras would have experimentally recognized that, by taking a unitary chord and three strings having the length of the three previous ratios, the lyre of Orpheus or tetrachord of Philolaus was obtained. Furthermore, when the strings were arranged in the descending order of their lengths 1,   3 : 4,   2 : 3,   1 : 2, it was immediately ascertained that they form a geometrical ratio, that the second string has for length the arithmetic mean of the lengths of the extreme strings, and that the third string is the harmonic mean. And, if we accept the tradition reported by Iamblichus, it may be that the knowledge of the Babylonian proportion induced Pythagoras to experiment with strings having those lengths, and to ascertain with the ear the harmony of the sounds emitted by them, and their identification with the sounds emitted by the strings of the lyre of Orpheus and the tetrachord of Philolaus. However, one can imagine the admiration that this discovery must have aroused among the Pythagoreans; with the numbers of the tetractys we obtain the tetractys of the strings of the Philolaus tetrachord; and the lengths of these strings are nothing more than the simplest case of the Babylonian proportion.
Lastly, it is worth noting how these measures can also be suggested by the consideration of linear, polygonal and pyramidal numbers, an important object of Pythagorean arithmetic. In fact, if the midpoint is taken in a segment having length h, the segment is divided into two segments each 1 : 2 of h length. If we then consider the fourth triangular number or the tetractys and suppose that the shape is that of an equilateral triangle, it is easy to intuitively recognize that there are points located on the outline of the triangle and a single central point, which the three heights of the triangle meet at this point, that it is equidistant from the three vertices and equidistant from the three sides, and that it divides the three heights into two parts, of which the smaller is half of the greater, and the third part of the entire height h, and the greater is 2 : 3 of h. The rigorous recognition of this property requires the development of Pythagorean geometry, which it would take too long to report; therefore, we limit ourselves to refer the reader to our work on the Pythagorean geometry. ²⁰⁾

11)   See DELATTE, Etudes, 276.
12)   See DELATTE, Etudes, 255.
13)   Fram. 2 reported by MIELI, Le scuole eleatica, jonica e pitagorica [The Eleatic, Ionian and Pythagorean schools], Florence 1916, pag. 251.
14)   Nicomachus, Nicomachi Arithm. introduc. [Introduction to Arithmetic], ed. Teubner, pag. 100.
15)   See A. REGHINI, Per la restituzione della geometria pitagorica [For the return of Pythagorean geometry], Rome 1935.
16)   See G. LORIA, Le scienze esatte ecc. [The exact sciences, etc.], 36.
17)   The lyre and the zither (from which chitara and guitar) which differs slightly, was the instrument of Orpheus, of Amphion, of Apollo. Amphion, with the sound of the lyre, is said to have built the walls of Thebes; Orpheus, with the sound of the lyre exercised an action on animals and plants.
18)   TACCHINARDI, Acustica musicale [Musical acoustics], Milan, Hoepli, 1912, pag. 175.
19)   See A. MEILLET, Aperçu d'une histoire de la langue grecque [Overview of a history of the Greek language]. Paris, 1912, pag. 22; see also p. 296.
20)   A. REGHINI, Per la restituzione della geom. Pit.

We have thus found that the radius of the circumscribed circumference of an equilateral triangle of height h is equal to two thirds of this height. In a similar way and taking advantage of the isotropy of the regular tetrahedron it is recognized that, if the points constituting the fifth tetrahedral number are arranged so that the bases are regular triangles, they can be arranged in five equidistant planes, of which the first passing through the vertex of the tetrahedron, the second containing three points, the third six, the fourth ten points forming the tetractys, and the fifth the triangular base of the tetrahedron. The center of the tetractys also belongs to the tetrahedral number, and it is intuitively recognized (but it can be shown) that the four heights of the tetrahedron are equal, that they meet at a point which belongs to the four tetractys located above the four bases, and that this center of the tetrahedron divides each height into two parts of which the smaller is 1: 4 of the height, while the greater is 3: 4 of the height. Thus, the radius of the sphere circumscribed to the regular tetrahedron is three times the radius of the inscribed sphere and is 3: 4 of the height of the tetrahedron. The property can be stated by saying that, taking a segment h, the tetractys of height h, and the tetrahedron of height h, the entire segment h and its half are the extremes of a geometric proportion of which the other terms are the radius of the circumscribed circumference to the tetractys, and the radius of the sphere circumscribed to the tetrahedron. Thus considering the tetractys of height h and the tetrahedron of the same height, it happens that the radius of the circumference circumscribed to the tetractys is the harmonic mean of the height and its half, and the radius of the sphere circumscribed to the tetrahedron is the arithmetic mean of the height and its half.
Let's now see how we pass from Philolaus' fundamental tetrachord to the Pythagorean scale or range of seven notes.
But before leaving this topic, let's make another observation still in connection with the law of fifth, that is, the ratio 2 : 3. Cicero looking for the tomb of Archimedes in Syracuse was able to find and identify it because above it there was the figure of the cylinder and the equilateral cone circumscribed to the sphere. Archimedes had, in fact, discovered that the total surface of the circumscribed cylinder (6p r²) was the proportional mean between the surface of the sphere (6p r²) and that of the circumscribed equilateral cone (9p r²), that is, having the diameter of the base equal to the apothem; and so too he had shown that the volume of the cylinder (2p r³) was the proportional mean between that of the sphere a = 1

and that of the circumscribed equilateral cone (3p r³). The discovery and the property had to be considered important and worthy of being on the tomb of the great Geometer. It is easy to deduce from this that the four ratios, between the surface of the sphere and the total surface of the circumscribed cylinder, between the volumes of the two solids, between the surface of the cylinder and the total surface of the circumscribed equilateral cone, and between the volumes of the two solids, they are all four equal to the ratio 2 : 3, that is to say, the ratio of the fifth, the ratio C : G fundamental of the tetrachord of Philolaus, the characteristic interval of the elevation in the spoken language so appreciated by Dionysius of Halicarnassus.

CAPITOLO II

La quaterna dei numeri composti o sintetici

Non ex omni ligno, ut Pythagoras
dicebat, debet Mercurius exculpi.
APULEIO - De Magia.

Nello sviluppo dei numeri partendo dall'unità e passando per il segmento di retta, per il triangolo e per il tetraedro, ci siamo dovuti fermare al numero quattro perché l'aggiunta di un nuovo punto fuori dello spazio tridimensionale non è possibile per l'intuizione umana. Possiamo seguitare ad aggiungere delle unità consecutivamente, ma possiamo farlo solo restando nel campo dei numeri lineari, piani e solidi; e, considerando ad esempio i numeri lineari, manca ogni criterio per distinguere le proprietà relative dei varii numeri.
Per altro, invece di generare i numeri mediante l'addizione, si può allora considerare ed ottenere la generazione dei numeri mediante l'operazione della moltiplicazione. Anzi la stessa terminologia, rimasta tradizionalmente immutata, indica chiaramente che i numeri venivano considerati come prodotti da questa operazione. Seguendo questa via si presenta immediatamente la distinzione dei numeri in due e quattro classi: la classe dei numeri primi o protoi od asintetici che non si possono ottenere mediante la moltiplicazione, e la classe dei numeri sintetici, o secondarii e composti che sono il prodotto di altri numeri detti i loro fattori. Siccome il due non è un numero ed i numeri pari sono sempre prodotto del due per un altro fattore, i numeri primi sono sempre dei numeri dispari; ed i numeri dispari che non siano dei promechi o dei quadrati sono dei numeri primi. Nella prima decade, non contando il due, sono contenuti soltanto tre numeri primi: il tre, il cinque ed il sette; ossia i numeri sacri all'apprendista, al compagno ed al maestro libero muratore.
I numeri della decade che si possono ottenere mediante la moltiplicazione sono quattro: il quattro, il sei, l'otto ed il nove.
Il quattro è il prodotto di due fattori eguali a due, ossia è un quadrato; e, siccome i quadrati si ottengono mediante l'aggiunta consecutiva di gnomoni che non sono altro che i numeri dispari consecutivi, e siccome nel crescere i quadrati conservano la similitudine della forma, così agli occhi dei pitagorici essi conservano in certo modo il carattere dei numeri dispari anche se la loro base non è dispari, perché si differenziano dagli altri numeri rettangolari che nello sviluppo geometrico non conservano la similitudine della forma. Per esempio i numeri eteromechi si ottengono dal due aggiungendo successivamente uno gnomone a forma di squadra di cui uno dei lati contiene un punto in più


e si hanno i numeri: 2, 2 . 3 = 6 , 3 . 4 = 12 , 4 . 5 = 20 . …… n (n + 1). Questi numeri hanno sempre forma differente, perché due numeri eteromechi come n (n + 1) ed m (m + 1) non possono avere i lati dell'uno proporzionali a quelli dell'altro, cioè non può accadere che sia n : m = (n + 1) : (m + 1) perché dovrebbe essere m (n + 1) = n (m + 1) e quindi n = m. E la stessa cosa accade per i numeri rettangolari detti promechi od oblunghi che sono prodotti di due fattori che differiscono di un numero r qualunque diverso da uno come l'8, il 15, il 24. … m (m + 2); perché non può mai accadere che il numero m (m + r) sia simile al numero n (n + r) ossia che m : n = (m + r) : (n+ r) dovendo essere in tal caso m r = n r e quindi m = n. Ed un numero può essere promeco ed eteromeco in varie forme tutte tra loro dissimili; per esempio 45 = 5 . 9 = 3 . 15 ; e 16 = 4 . 4 = 2 . 8. Perciò i numeri quadrati sono i soli rettangolari che crescono conservando la similitudine della forma. Il quattro, dopo l'unità, è il primo di tali numeri. In tal modo esso si sottrae alla imperfezione dei numeri pari: sappiamo anzi che esso è perfetto perché con esso ha termine lo sviluppo dell'unità nello spazio e si ottiene la decade.

Quanto al numero sei esso è un numero eteromeco; ma esso è anche un numero perfetto; e precisamente è il primo numero perfetto nel senso anche odierno del termine. Si dicon infatti numeri perfetti quei numeri che sono eguali alla somma dei loro divisori (eccettuato il numero stesso). Infatti i divisori del sei sono: 1, 2, 3 e si ha: 1 + 2 + 3 = 6. Da questo punto di vista i pitagorici distinguevano tre specie di numeri: i numeri perfetti, i numeri ellittici ed i numeri iperbolici. I numeri perfetti erano quelli per i quali la somma dei divisori era esattamente eguale al numero stesso; i numeri ellittici o deficienti quelli per i quali la somma dei divisori era minore del numero stesso; ed i numeri iperbolici od abbondanti quelli per i quali la somma dei divisori superava il numero stesso. Per esempio il 15 è un numero ellittico perché la somma dei divisori è 1 + 3 + 5 che è minore di 15, mentre il 12 è un numero iperbolico perché la somma dei divisori è 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 che supera il 12. Naturalmente i numeri perfetti sono relativamente rari e gli antichi ne conoscevano soltanto quattro, e precisamente i primi quattro ossia: 6, 28, 496, 8128. Non si conoscono numeri perfetti dispari; quelli pari devono terminare per 6 o per 8, e sono dati dalla formola di Euclide 2^{r - 1} (2^r - 1) se l'esponente r è primo e cosi pure è primo il fattore 2^r - 1; e, siccome non si conosce una regola generale per riconoscere i numeri primi, lo studio dei numeri perfetti presenta ardue difficoltà e se ne conosce poco più di una decina. Il sei è numero perfetto in questo senso anche moderno del termine matematico.
Un'altra proprietà dei sei è questa: La somma dei suoi fattori è eguale al loro prodotto, cioè 1 + 2 + 3 = 1 . 2 . 3 = 6. Anzi è questo il solo caso in cui ciò avviene per tre numeri consecutivi positivi. Infatti, indicando con x il termine medio, deve essere
(x - 1) + x + (x + 1) = (x - 1) x (x + 1)
ossia 3 x = x³ - x, e, dividendo per x, deve essere 3 = x² - 1 ossia x² = 4 ed x = 2. Il due è dunque la sola soluzione°:
e quindi la sola terna di numeri consecutivi la cui somma è eguale al prodotto è costituita dalla triade 1, 2, 3 ossia dalla monade, dalla diade e dalla triade.
In quanto il sei resulta dalla moltiplicazione del due, il principio femminile, per il primo numero dispari cioè maschile, esso era chiamato gamos ed era pitagoricamente il numero sacro ad Afrodite. Osserviamo a questo proposito che, secondo Matila G. Ghyka, un romeno autore di due opere assai pregevoli e diffuse e di grande interesse in specie per lo studio dell'architettura sacra, il numero pitagoricamente sacro ad Afrodite sarebbe il 5 e non il sei ¹⁾. Il Matila G. Ghyka basa questa sua affermazione sopra un unico passo di Nicomaco, il quale rileva una analogia ²⁾ anche tra il cinque ed Afrodite perché il cinque è la somma del due e del tre; ma si tratta di una semplice analogia riconosciuta solo da questo tardo pitagorico, mentre il sei è identificato con Afrodite non soltanto dallo stesso Nicomaco ³⁾, ma corrisponde ad Afrodite anche secondo altri autori antichi, come Lido, Moderato e San Clemente ⁴⁾. Il Matila G. Ghyka non tiene alcun conto di questa circostanza, anzi non ne fa neppure cenno, ed afferma che cinque era per i pitagorici il simbolo della generazione e del matrimonio; e di questa sua, affermazione errata si serve per attribuire un carattere pitagorico ad una sua teoria, anzi alla sua teoria centrale, secondo la quale il cinque è il simbolo ed il numero della vita organica mentre il sei è il simbolo ed il numero della vita inorganica. Egli presenta questa sua teoria come una teoria pitagorica che Pitagora avrebbe adombrato prendendo appunto il cinque come numero di Afrodite. Questo non è vero; e, qualunque possa essere il valore filosofico e scientifico della teoria del Ghyka, essa è una teoria di questo scrittore moderno e non una teoria pitagorica. Pitagoricamente il numero di Afrodite è il sei e non il cinque.
Il terzo numero della decade che si ottiene mediante la moltiplicazione è il numero otto. Esso è un numero promeco perché 8 = 2 . 4, ma nello spazio è il primo numero cubico, come il quattro era nel piano il primo quadrato. Ora i numeri cubici hanno nello spazio una raffigurazione analoga a quella dei quadrati nel piano ed anche essi crescono conservando la similitudine della forma. Quindi anche i cubi il cui spigolo è un numero pari ed in particolare il due si sottraggono al carattere generale dei numeri pari ⁵⁾.
Il quarto ed ultimo numero della decade che si ottiene mediante una moltiplicazione è il nove) che è il quadrato di tre, ossia di un numero che era considerato perfetto per ragioni che vedremo in seguito, e che anche oggi è tenuto per antonomasia in conto di numero perfetto) per esempio dagli enigmisti. Il nove è l'ultimo numero monadico, ossia in termini moderni è l'ultimo numero di una sola cifra; con esso si conclude l'enneade dei numeri essendo il dieci una nuova unità, e perciò è pitagoricamente perfetto. Uno scrittore antico, lo Pseudo Plutarco, enumera le ragioni della perfezione del numero nove ⁶⁾, dicendo: «Il novenario è perfettissimo perché è il primo quadrato dispari, ed è imparimente impari perché si divide in tre triadi le quali nuovamente si dividono in tre unità».

Dante nella Vita Nova, ossia vita posteriore alla iniziazione, fa un uso insistente di questo «perfetto numero nove» ⁷⁾, rilevando che questo numero era amico di Beatrice, e che egli era nel nono anno quando vide Beatrice per la prima volta, ed arriva al punto di identificare Beatrice con questo numero. Egli spiega le ragioni, parte almeno, che giustificano questa sua considerazione del numero nove, e perché ⁸⁾ «questo numero fosse in tanto amico di lei cioè della gloriosa donna, della mia mente, la quale fu chiamata da molti Beatrice», e dice che «più sottilmente pensando, e secondo la infallibile veritade, questo numero fue ella medesima, per similitudine dico, e ciò intendo così: il numero tre è la radice del nove, però che sanza numero altro alcuno, per sé medesimo fa nove, siccome vedemo manifestamente che tre via tre fa nove». Il criterio di perfezione per Dante è il criterio classico, pitagorico, ed egli stesso lo specifica riportando ⁹⁾ quanto dice Aristotile nel settimo della Fisica a proposito della perfezione: «Ciascuna cosa è massimamente perfetta quando tocca e aggiugne la sua virtu propria, ed allora è massimamente perfetta secondo sua natura». Naturalmente egli si sofferma ad esporre la divisione delle creature spirituali in tre gerarchie e principati, ciascuno composto di tre ordini, in modo da dare il crisma della ortodossia alla sua concezione, ma sta di fatto che il concetto dei nove cieli non appartiene alla tradizione ebraica ed il cristianesimo ha adottato in questo, come in altre cose, la concezione pagana e più specialmente pitagorica. Insomma il nove è per Dante una potenza del tre, non contiene altri fattori che il tre, è una diretta manifestazione della Trinità, una sua potenza, che è la gloriosa donna ossia domina o signora della mente di Dante e senza dubbio di tutti gli altri «fedeli d'amore» che la chiamavano con lo stesso nome.
A meglio comprendere questo simbolismo numerico dantesco occorrerebbe esporre la interpretazione degli scritti di Dante ed in generale della letteratura medioevale secondo Dante Gabriele Rossetti ¹⁰⁾, Ugo Foscolo, Giovanni Pascoli e segnatamente Luigi Valli, cui non possiamo fare altro che rimandare il lettore. In Massoneria il numero nove ha speciale importanza nella determinazione delle età iniziatiche nei varii gradi del rito scozzese; e sta alla base di ogni disegno o calcolo architettonico perché la tavola da tracciare su cui tali calcoli vanno effettuati è divisa in nove caselle ed era appunto per questa ragione chiamata tiercel board o tavola tripartita dagli antichi liberi muratori. Nella leggenda del terzo grado nove fratelli vanno alla ricerca di Hiram, esplorando tre a tre l'oriente, il mezzogiorno e l'occidente, per ritrovarsi il nono giorno delle ricerche in un punto determinato a settentrione.

1)   MATILA C. GHYKA, L'esthétique des proportions et dans les arts; cfr. dello stesso autore, Le Nombre d'Or, 1931.

2)   Cfr. A. DELATTE, Etudes, pag. 159.
3)   Cfr. DELATTE, Etudes, 152, 156.
4)   Cfr. DELATTE, Etudes, pag. 196, 202, 212, 216.
5)   Quattro è anche l'unico numero della decade che è composto ed in pari tempo fattore di un numero della decade stessa; infatti 2 . 2 = 4 e 4 . 2 = 8.
6)   Ps. PLUTARCO, De vita et poesi Homeri, 145.
7)   DANTE, Conv. II, 6 e Vita Nova XXIX.
8)   DANTE, Vita Nova, XXIX.
9)   DANTE, Conv., IV, 16.
10)   Lapsus dell'A., che in realtà intendeva riferirsi al padre del pittore pre-raffaellita Dante Gabriele Rossetti, il ben noto dantista Gabriele Rossetti autore del Mistero dell'Amor Platonico del Medio Evo, opera peraltro sicuramente letta da Reghini in gioventù, a seguito della segnalazione ricevutane da Isabel Cooper-Oackley (Nota del Curatore).

Vedremo in seguito, occupandoci della numerazione ternaria, le ragioni arcaiche che hanno fatto del tre un numero perfetto nella accezione classica ed aristotelica della parola. Il nove, potenza del tre, è anche esso perfetto per le stesse ragioni; inoltre il nove è perfetto perché ultimo numero di una cifra, e perché è l'ultimo numero della quaterna del numeri composti contenuti entro la decade.

Abbiamo così trovato una seconda tetractis, quella dei numeri 4, 6, 8, 9. Osserviamo che la somma dei primi quattro numeri; componenti la prima tetractis era dieci; la somma dei numeri componenti questa seconda tetractis è 27 cioè il cubo del tre, altro numero perfetto di cui dovremo occuparci. Naturalmente la prima tetractis è la tetractis per eccellenza. Essa si identifica can la decade, simboleggiata dal triangolo equilatero, ossia dalla lettera Delta, e si trovava nel santuario di Delfo. Infatti il catechismo degli Acusmatici, la setta arcaica tradizionalista pitagorica, chiede ¹¹⁾: «Che cosa vi è nel santuario di Delfo?», e risponde: «La tetractis perché in essa è l'armonia, nella quale sono le Sirene». Vedremo in seguito il senso di questa risposta alquanta curiosa: per il momento contentiamoci di osservare come nel santuario di Delfo, da cui trae origine la massima: conosci te stesso, vi era il medesimo simbolo della tetractis e del Delta massonico che figura nel tempio dei liberi muratori. Evidentemente la conoscenza di sé stesso e la conoscenza della tetractis hanno fra loro una qualche relazione.
Oltre alla tetractis fondamentale gli antichi consideravano anche altre tetractis o quaterne o quaderne, e Plutarco ne distingue parecchie ¹²⁾. Egli chiama pitagorica quella composta mediante i primi quattro numeri dispari ed i primi quattro numeri pari, ossia
(1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (7 + 8) = 36
dove il 36 è il quadrato del primo numero perfetto. Osserviamo che il 36 è il primo triangolare che sia anche quadrato: e che il sei è l'unico triangolare il cui quadrato sia ancora triangolare. Essa è formata dalla somma di due tetractis, quella formata dai numeri dispari 1 + 3 + 5 + 7 = 16 che è il quadrato del 4, e quella formata dai numeri pari 2 + 4 + 6 + 8 che naturalmente è eguale al doppio della decade. Plutarco chiama tetractis platonica quella composta con i numeri dell'anima del mondo di cui la creazione è esposta nel Timeo; la quaterna platonica è formata dalla somma di due quaterne che hanno entrambe per primo termine l'unità e sono composte poi con le tre prime potenze del due e del tre, ossia sono: 1, 2, 4, 8 ed 1, 3, 9, 27. La prima ha per somma 15, la seconda ha per somma 40: complessivamente si ha 55 che è il decimo numero triangolare.

Veduta così la generazione dei numeri composti contenuti entro la decade, ci rimane da vedere come si pervenga ai numeri primi 5 e 7: di cui il primo compare come fattore della decade perché 2 . 5 = 10 mentre il secondo non è generato mediante moltiplicazione da nessun numero della decade e non genera alcun numero della decade. Per questa ragione il sette era assimilato a Minerva, perché la dea Atena, la Minerva dei latini e degli etruschi, era vergine, non era stata generata, ma era balzata fuori dal cervello di Giove armata di tutto punto. L'osservazione della cosa e la consacrazione a Minerva del numero sette confermano che la generazione dei numeri avveniva pitagoricamente mediante la moltiplicazione, cioè per la via che abbiamo tenuta per i numeri composti.

Bisogna ora seguire altra via. E vi sono due vie, l'una indipendente dall'altra, che conducono entrambe ai numeri cinque e sette; una partendo dalla considerazione del tetracordo di Filolao, l'altra partendo dalla considerazione dei numeri poligonali e piramidali.
Secondo Archita ¹³⁾, pitagorico di poco posteriore a Pitagora, vi sono tre progressioni: aritmetica, geometrica ed armonica, e Giamblico attesta ¹⁴⁾ che nella scuola di Pitagora si consideravano le tre medie aritmetica, geometrica ed armonica. Ci è necessario ricordare che secondo i pitagorici si ha proporzione aritmetica tra quattro numeri a, b, c, d quando a - b = c - d; e nel caso particolare della proporzione continua, ossia se i due medii b e c sono eguali, ossia se la proporzione è a - b = b - c, il termine medio si chiama il medio aritmetico o la media aritmetica di a e c, ed è eguale alla loro semi somma, cioè


Se invece di numeri si hanno segmenti a, b, c, d la definizione di proporzione aritmetica e di media aritmetica è la stessa. Analogamente si ha proporzione geometrica tra quattro numeri quando a: b = c: d; e nel caso della proporzione continua cioè se b = c la proporzione diviene a : b = b : c, e b è il medio proporzionale tra a e c; e si ha b = √a c. Se invece di numeri si hanno dei segmenti la definizione di proporzione geometrica è la medesima; ed il segmento media proporzionale tra due segmenti a e c è detto anche medio geometrico. Questo segmento si può sempre costruire nella geometria pitagorica, anche se i segmenti dati non sono commensurabili, mediante una applicazione del teorema di Pitagora; e questa costruzione nonché la dimostrazione del teorema di Pitagora sono indipendenti dal postulato delle parallele o postulato di Euclide, come abbiamo mostrato in altro studio ¹⁵⁾.

Si dice in fine che i quattro numeri a, b, c, d sono in proporzione armonica quando i loro inversi sono in proporzione aritmetica cioè quando

ed in particolare si ha proporzione armonica continua quando


Il numero b è quindi il medio armonico tra a e c quando l'inverso di b è eguale alla media aritmetica degli inversi di a e di c. Questa definizione differisce dalla definizione tramandataci dal pitagorico tarentino Archita nel suo frammento ma è equivalente ad essa, e dalle due definizioni si traggono le medesime conseguenze.
Dalla definizione di medio armonico cioè dalla relazione


si ricava

che si può anche scrivere

e per la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha pure

e quindi anche

importante relazione che si trova in Nicomaco. Questa proporzione permette la costruzione del segmento medio armonico tra due segmenti a e c assegnati.
Secondo Giamblico ¹⁶⁾ Pitagora avrebbe appreso questa importante proporzione in Babilonia e per primo la avrebbe trasportata in Grecia. In questa proporzione babilonese gli estremi sono due numeri o due segmenti qualunque a e c, ed i medii sono rispettivamente la loro media aritmetica e la loro media armonica. Siccome poi il rettangolo di lati a e c equivale al quadrato di lato √ a c sussiste anche la proporzione


nella quale figurano le tre medie aritmetica, geometrica ed armonica. La proprietà espressa da questa relazione si può enunciare dicendo che la media geometrica tra due numeri o segmenti a e c è anche media geometrica tra la loro media aritmetica e la loro media armonica. Dati i due segmenti a e c la geometria pitagorica insegna a costruirne le loro medie aritmetica, geometrica ed armonica anche se i segmenti sono incommensurabili, ed il tutto indipendentemente dalla teoria delle parallele e dal relativo postulato. Se si tratta di numeri si può determinare in quali casi le tre medie aritmetica, geometrica ed armonica di due interi a e c sono dei numeri interi, ma ci asteniamo da questa digressione.

Nel caso particolare in cui sia a = 2 c la proporzione babilonese diviene:

e se a = 1

Questa quaterna contiene i numeri che sono le misure rispettive delle lunghezza delle quattro come del tetracordo di Filolao. Esso non è altro che la lira di Orfeo ¹⁷⁾, cioè lo strumento col quale si accompagnava la recitazione ed anche il canto. Se la prima corda emette il suono del nostro do la quarta corda, avendo lunghezza metà, emette il suono di frequenza doppia, ossia la prima armonica del do, ossia il do dell'ottava superiore, mentre i suoni emessi dalle altre due corde sono rispettivamente quelli del fa e del sol. La prima armonica del sol è anche seconda armonica del do, e per la proporzionalità anche la prima armonica del secondo do coincide con la seconda armonica del fa. L'orecchio percepisce e gradisce queste concordanze ed accordi.


Inoltre, osserva il Tacchinardi ¹⁸⁾, «è notevole che il tetracordo contiene gli intervalli più caratteristici della voce nella declamazione. Infatti interrogando la voce sale di una quarta; rinforzando cresce ancora di un grado; ed in fine, concludendo, ridiscende di una quinta». Occorre anche tenere presente che ¹⁹⁾ «l'accento indo-europeo era un accento di altezza; la vocale tonica era caratterizzata, non da un rinforzo della voce, come in tedesco ed in inglese, ma da una elevazione. Il tono greco consisteva in una elevazione della voce, la vocale tonica era una vocale più acuta delle vocali atone. L'intervallo è dato da Dionigi di Alicarnasso come un intervallo di una quinta». E nel tetracordo di Filolao il sol è la quinta del do ed il do della seconda ottava è la quinta del fa.

Una tradizione riportata da Diogene Laerzio racconta come Pitagora ascoltando i suoni emessi dai martelli di un fabbro che batteva sopra l'incudine osservò che l'altezza di questi suoni dipendeva dalla grossezza dei martelli, e poi esperimentando con corde egualmente tese tratte da una stessa corda, trovò che al diminuire della lunghezza della corda il suono si elevava, e che si ottenevano dei suoni di cui l'orecchio percepiva l'accordo quando i rapporti delle lunghezze delle corde erano espressi da rapporti numerici semplici. Se la tradizione riportata da Diogene Laerzio è vera sarebbe questo il primo esempio di scoperta scientifica ottenuta col metodo ortodosso scientifico della osservazione seguita dall'esperimento; e, siccome i più semplici rapporti numerici possibili sono i tre rapporti: 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4, Pitagora avrebbe riconosciuto sperimentalmente che, prendendo una corda unitaria e tre corde aventi per lunghezza quella dei tre precedenti rapporti, si otteneva proprio la lira di Orfeo o tetracordo di Filolao. Inoltre, disposte le corde nell'ordine decrescente delle loro lunghezze 1, 3 : 4, 2 : 3, 1 : 2, era immediata la constatazione che esse formano una proporzione geometrica, che la seconda corda ha per lunghezza la media aritmetica delle lunghezze delle corde estreme, e che la terza corda è la media armonica. E, se si accetta la tradizione riportata da Giamblico, può darsi che la conoscenza della proporzione babilonese abbia indotto Pitagora a sperimentare con corde aventi quelle lunghezze ed a constatare con l'orecchio l'accordo dei suoni da esse emessi e la loro identificazione coi suoni emessi dalle corde della lira di Orfeo e tetracordo di Filolao. Comunque si può immaginare l'ammirazione che questa scoperta deve avere destato nei pitagorici; con i numeri della tetractis si ottiene la tetractis delle corde del tetracordo di Filolao; e le lunghezze di queste corde non sono altro che il caso più semplice della proporzione babilonese.
Vale in fine la pena di osservare come queste misure possono anche essere suggerite dalla considerazione dei numeri lineari, poligonali e piramidali, oggetto importante dell'aritmetica pitagorica. Infatti se in un segmento lungo h si prende il punto medio, il segmento è diviso in due segmenti ciascuno lungo 1 : 2 di h. Se poi si considera il quarto numero triangolare ossia la tetractis e si suppone che la forma sia quella di un triangolo equilatero è facile riconoscere intuitivamente che vi sono punti situati sul contorno del triangolo ed un solo punto centrale, che le tre altezze del triangolo si incontrano in questo punto, che esso è equidistante dai tre vertici ed equidistante dai tre lati, e che esso divide le tre altezze in due parti di cui la minore è la metà della maggiore e la terza parte dell'intiera altezza h, e la maggiore è i 2 : 3 di h. Il riconoscimento rigoroso di questa proprietà richiede lo sviluppo della geometria pitagorica che sarebbe troppo lungo riportare; ci limitiamo perciò a rimandare il lettore al nostro lavoro sopra la geometria pitagorica ²⁰⁾.

11)   Cfr. DELATTE, Etudes, 276.
12)   Cfr. DELATTE, Etudes, 255.
13)   Fram. 2 riportato dal MIELI, Le scuole eleatica, jonica e pitagorica, Firenze 1916, pag. 251.

14)   JAMBLICHI, Nicomachi Arithm. introduc., ed. Teubner, pag. 100.

15)   Cfr. A. REGHINI, Per la restituzione della geometria pitagorica, Roma 1935.
16)   Cfr. G. LORIA, Le scienze esatte ecc., 36.
17)   La lira e la cetra (da cui chitara e chitarra) che ne differisce di poco, era lo strumento di Orfeo, di Anfione, di Apollo. Anfione col suono della lira si racconta abbia costruito le mura di Tebe, Orfeo col suono della lira esercitava una azione sugli animali e sulle piante.

18)   TACCHINARDI, Acustica musicale, Milano, Hoepli, 1912, pag. 175.

19)   Cfr. A. MEILLET, Aperçu d'une histoire de la langue grecque. Paris, 1912, pag. 22; vedi anche pag. 296.

20)   A. REGHINI, Per la restituzione della geom. Pit.

Abbiamo così trovato che il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero di altezza h è eguale ai due terzi di questa altezza. In modo analogo ed usufruendo della isotropia del tetraedro regolare si riconosce che, se i punti costituenti il quinto numero tetraedrico sono disposti in modo che le basi siano dei triangoli regolari, essi si possono disporre in cinque piani equidistanti, di cui il primo passante pel vertice del tetraedro, il secondo contenente tre punti, il terzo sei, il quarto dieci punti formanti la tetractis, ed il quinto la base triangolare del tetraedro. Il centro della tetractis appartiene anche al numero tetraedrico, e si riconosce intuitivamente (ma si può dimostrare) che le quattro altezze del tetraedro sono eguali, che esse si incontrano in un punto che appartiene alle quattro tetractis situate al di sopra delle quattro basi, e che questo centro del tetraedro divide ogni altezza in due parti di cui la minore è 1 : 4 dell'altezza, mentre la maggiore è i 3 : 4 dell'altezza. Cosi il raggio della sfera circoscritta al tetraedro regolare è il triplo del raggio della sfera inscritta ed è i 3 : 4 dell'altezza del tetraedro. La proprietà si può enunciare dicendo che, presi un segmento h, la tetractis di altezza h e il tetraedro di altezza h, l'intero segmento h e la sua metà sono gli estremi di una proporzione geometrica di cui gli altri termini sono il raggio della circonferenza circoscritta alla tetractis ed il raggio della sfera circoscritta al tetraedro. Considerando quindi la tetractis di altezza h ed il tetraedro di eguale altezza, accade che il raggio della circonferenza circoscritta alla tetractis è la media armonica dell'altezza e della sua metà, ed il raggio della sfera circoscritta al tetraedro è la media aritmetica dell'altezza e della sua metà.



Vediamo ora come si passa dal tetracordo fondamentale di Filolao alla scala o gamma pitagorica di sette note.
Ma prima di lasciare questo argomento facciamo ancora una osservazione sempre in connessione alla legge di quinta, ossia al rapporto 2 : 3. Cicerone cercando in Siracusa la tomba di Archimede la poté ritrovare ed identificare perché sopra di essa vi era la figura del cilindro e del cono equilatero circoscritti alla sfera. Archimede aveva infatti scoperto che la superficie totale del cilindro circoscritto (6π r²) era media proporzionale tra la superficie della sfera (6π r²) e quella del cono equilatero circoscritto (9π r²), avente cioè il diametro della base eguale all'apotema; e così pure aveva dimostrato che il volume del cilindro (2π r³) era media proporzionale tra quello della sfera a = 1


e quello del cono equilatero circoscritto (3π r³). La scoperta e la proprietà dovevano essere considerate importanti e meritevoli di figurare sulla tomba del grande geometra. Se ne deduce colla massima facilità che i quattro rapporti, tra la superficie della sfera e quella totale del cilindro circoscritto, tra i volumi dei due solidi, tra la superficie del cilindro e la superficie totale del cono equilatero circoscritto e tra i volumi dei due solidi, sono tutti e quattro eguali al l'apporto 2 : 3, cioè al rapporto di quinta, il rapporto do : sol fondamentale del tetracordo di Filolao, l'intervallo caratteristico della elevazione nella lingua parlata cosi apprezzato da Dionigi di Alicarnasso.

CHAPTER III

The triad of odd prime numbers within the decade

What are these numbers alluding to?
To the sacred numbers proposed for meditation
to the Apprentices, Fellow-Crafts and Masters.
Catechism of the 3^rd degree.

We start from the tetrachord of Philolaus C, F, G, C whose strings have the lengths 1,   3 : 4,   2 : 3,   1 : 2 respectively such that

and in which the second term is the arithmetic mean of the extremes, and the third is the harmonic mean of the extremes, while the fourth is half of the first.
The last two terms can be considered as the first two terms of a new proportion in which the fourth term is, as in the case of the previous ratio, half of the first or is 1 : 3, and the third term x is appropriately calculated. Therefore it is


that is
sol   do   x   sol
the new tetrachord [G   C   D   G]
The length of the third string can be calculated in various ways, as an unknown third of a proportion, as a harmonic mean of the extremes …
Thus we find x = 4 : 9; and, since this string is less than 1 : 2, it is external to the tetrachord, and instead takes its lower harmonic contained in the first tetrachord which will have double length, i.e., 8 : 9. A new chord is thus obtained, included within the extremes strings of the fundamental tetrachord, chord that we designate with D, and we have the equal chain ratios

and the new tetrachord
G   C   D   G
Operating again as before, that is, taking as first terms of a new ratio, or tetrachord, the last two terms of the proportion, or previous tetrachord, and taking half of the first as the first for the fourth term, we obtain


and we obtain for x the value x = 16 : 27 which is greater than 1 : 2. The chord having this length is, therefore, included within the extreme notes of the fundamental tetrachord, and it is what we call A. We then have a third tetrachord D   G   A   E
and the ratio

Proceeding in the same way we have the proportion

from which we get x = 32 : 81; and since this fraction is less than a half, one takes the chord that is its lower harmonic, that is, which has the length 64 : 81. This chord corresponds to the E [E] of the Pythagorean scale (although the E of the natural scale has a length of 4 : 5) slightly different. We therefore have the fourth tetrachord
A   D   E   A
that is

Similarly, considering the new proportion E A x E
that is

we obtain x = 128 : 243 which exceeds 1 : 2, and therefore this chord, which is our si [B], is included within the extreme notes of the fundamental tetrachord. We therefore have the fifth tetrachord E  A  B  E.
If we now consider the tetrachord B  E  x  B, that is

we find for x the value x = 128 : 729, of which it would be necessary to take the lower harmonic of the lower harmonic that is the string of length 512: 729 to obtain a string included within the Philolaus tetrachord; but the interval between this chord and that of F = 3 : 4 is too small for the ear to distinguish the two sounds, and, therefore, to this chord is substituted the F and we have the sixth tetrachord
B   E   F   B
Lastly, considering the tetrachord F  B  x  F that is the ratio

we obtain x = 1 : 2 and we then have the seventh tetrachord
F   B   C   F
With this seventh tetrachord the cycle closes, because if we continue to operate as we have done so far, we would find the G again, and so on.
Therefore, starting from the three notes of Philolaus tetrachord C, F, G and always operating with the same law, we have found four other notes and no more. For this reason, the Pythagorean range consists of seven notes, which are written according to the decreasing order of the lengths of the strings:
C   D   E   F   G   A   B   C
where the octave is the upper harmonic of the first, and is the first of the upper octave. As is known it is assumed by international convention as A [la] of the third octave, the string that has the frequency of 435 vibrations per second, and it is then easy to calculate the frequency of the other strings.
Now, the third note of Philolaus' tetrachord, that is the G, is the fifth of the octave; and with the procedure just described to extend the tetrachord to the scale of the seven notes from the G we have obtained the third note of the second tetrachord (which begins with the G) which is the fifth with respect to the new octave which begins with the G; and thus, following the development with this law of fifth, all the seven notes are determined. From the first three notes of Philolaus' tetrachord, whose lengths are determined on the basis of the numbers of the tetractys and the Babylonian proportion, the seven notes are determined by the law of fifth. They are the first three, five, seven odd numbers contained within the decade, corresponding to the initiatory ages of blue Freemasonry, and due to the periodicity of the range the seventh string is also the last one and the perfection of the number seven derives from it.
The seven chords, written in order so that each chord is followed by its fifth, follow each other in the order
C   G   D   A   E   B   F   C;
and, if a circumference is divided into seven equal parts, and in correspondence with the division points the seven notes are written in this order, and then the points three by three are counted starting from C, the seven notes are orderly obtained in the order of the musical scale; vice versa, writing the seven notes in the order of the musical scale at the seven points of division of the circumference, and counting the points five by five starting from C, the seven notes in the fifth order are orderly obtained.

In the Pythagorean scale, the intervals or ratios of the notes of the octave to the fundamental unit note are expressed in an orderly manner by

and it is easy to recognize that, due to the way in which we preceded the extension of the tetrachord, all these ratios contain only the powers of 2 and 3 in the numerator and denominator. The maximum power of two is 128 = 2⁷ and the maximum power of the three is 243 = 3⁵. The same thing happens considering the ratios between any two notes of the octave. So that while in the tetrachord appear only the ratios of the numbers 1, 2, 3, 4 of the tetractys, in the heptachord there are only the ratios of the powers of the numbers of the tetractys, and precisely the first nine powers of two and the first six powers of three, in addition to the unit, that is, the numbers
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729
whose total sum is 2116 = 2 x 23².
Also in this way we obtain in the extension of the tetrachord the 5 and 7, because the two appear there at the seventh [power] and not beyond, and the three appears at the fifth and not beyond.
The natural scale differs from the Pythagorean one only because the length of the chords determined with the law of fifth is replaced by approximate values expressed by simpler ratios, and we have:

In the Pythagorean scale, the five "intervals" or tones between C and D, between D and E, between F and G, between G and A, and between A and B are exactly equal, and in the natural scale they are sensibly equal; and in both scales these intervals are greater than the two remaining intervals between E and F and between B and C. To remedy this drawback, the Pythagoreans inserted five other notes between the major intervals (which correspond to the black keys of the piano) in order to obtain twelve notes, each of which differs from the previous one by a significantly constant interval equal to a semitone. In the temperatescale, introduced by Bach, these intervals are all absolutely equal and the lengths of the twelve strings constitute a geometric progression, but the intervals are no longer expressed by simple ratios, that is, by rational numbers, but by irrational numbers. In the case of stringed instruments, in which the length of the strings is fixed by the fingers and the ear of the player, the physicist Blaserna states that the great virtuosos of the violin tend to prefer the Pythagorean scale to the natural one; but it is somewhat difficult to establish the accuracy of this statement, because only an extremely sensitive ear can perceive the difference. Meanwhile, we note that the development of the tetrachord by fifth has led us to the number seven and, in connection, also to the number twelve.
Lastly, we note as a curiosity that, if in correspondence with the seven dividing points of the circumference, we write the names of the five planets known to the ancients and that of the Sun and the Moon in the order of their distance from the earth, that is: Moon, Mercury, Venus, Sun, Mars, Jupiter, Saturn, and we proceed as we did for the chords of the range going from the first point (Sun) to the fifth (Moon), and from this to the fifth (Mars) and so on, we obtain the days of the week in their order: Sunday (Sun-day), Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday (Satur-day). Removed the denomination of Sunday, which is Christian, and that of Saturday, which is Hebrew, these are the ancient pagan names of the days of the week still in use today in almost all languages with some substitutions and exceptions, such as Russian and Portuguese. Beginning the week with Sunday, the fifth day is sacred to Jupiter, and the sixth is the day of Venus, and we find the consecration of the six to Aphrodite.
We observe, however, that the Greek calendar did not know the week and that only some late Pythagoreans and Christians may have resorted to these considerations or equivalent considerations to establish the consecration of the days of the week and the correspondence between the planets and the days of the week. Finally, we note that the week of our calendar is a conventional division, and that the planets are not seven at all, so that we cannot establish the correspondences between the seven notes, the seven planets, the seven days of the week, etc. The only septenary that has a natural basis is that of the Pythagorean musical scale; and Newton's distinction between the seven colors of the iris, evidently by analogy between optics and acoustics, is conventional, because from one color of the iris one passes to another through a thousand shades and not through a clear jump as from one musical note to another. A septenary law appears instead in Mendelejeff's table of chemical elements.
Finally, we note that the numbers three, five and seven can also be obtained very simply from the numbers of the tetractys numbers, considering the ratios 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4 which express the lengths of the three last strings of the Philolaus tetrachord, and adding their numerator and denominator. In this way we obtain:
1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7.
In the Pythagorean literature, at least in what little has come down to us, nothing is found that confirms or excludes the path we have set out to arrive at the number five and number seven, starting from the tetrachord, although this path has analogies with that held by the Pythagoreans to divide the circumference into five and ten equal parts.
A second way to reach the number five is instead suggested by a Plutarch's consideration. Plutarch's reference is found in De Iside et Osiride, ¹⁾ and reconnects to the "Egyptian" right-angled triangle, the simplest of right-angled triangles in integers 3, 4, 5. Geometrically, the Pythagorean theorem, which holds for every right triangle, affirms that in a right triangle the sum of the squares constructed above the catheti equals the square constructed above the hypotenuse; arithmetically, when the sides of the right triangle are integers, it happens that the sum of the squares of these integers is equal to the square of the hypotenuse. In the case of the Egyptian triangle, in which the catheti are 3 and 4, and the hypotenuse is 5, Plutarch exposes an analogical interpretation of the Pythagorean theorem, to the effect that the five would be the result or fruit of the spiritual action of the three vertically set and symbolizing the male above the horizontal base of the 4, symbolizing the female. In this way the five would come not from linear integers but from polygonal numbers, and precisely from square numbers.

1)   PLUTARCH, De Iside et Osiride, ed. Didot, 457.*

The triad of consecutive numbers 3, 4, 5 has, therefore, the property that the sum of the squares of the first two is equal to the square of the third. Indeed, it is easy to recognize that this is the only set of consecutive integers that enjoys this property; in fact by indicating with x - 1, x and x + 1 the three consecutive numbers of the equation (x - 1)² + x² = (x + 1)²
that is x² - 4x = 0 admits only the solutions x = 0 and x = 4. If instead of squares we consider three consecutive triangulars or three consecutive pentagonals or three consecutive polygons of the same r kind, and we search for when the sum of the first two polygons happens that be equal to the third, it is found that this happens only when the polygons are squares, and precisely in the only case of the third, fourth and fifth squares.

We remind in fact that the polygonal x° of the r kind is expressed by the formula

and we consider the indeterminate equation in the unknown r and x
P (r , x - 1) + P (r , x) = P (r , x + 1).
It admits no other solution than the solution r = 4, x = 4.

In fact, by replacing the symbols with their expressions, this equation becomes:

which, by developing and reducing becomes:
(r - 2) x² - 4 (r - 2) x + r - 4 = 0
and by applying the well-known resolutive formula of the quadratic equation we obtain

that is

where the discriminant is equal to 5 for r = 3, it is equal to 4 for r = 4 and is always between 3 and 4 for any other value of r. The only integer and positive rational value of x is obtained by r = 4, and is x = 4. Therefore, as in the case of linear numbers, the only triad of consecutive linear numbers for which it happens that the sum of the first two is equal to the third is constituted by the triad 1, 2, 3; likewise, in the case of polygonal numbers, only the trad of consecutive polygonal numbers of the same kind for which it happens that the sum of the first two is equal to the third, and is constituted by the third, fourth, and fifth squares, that's to say the sides of the Egyptian triangle. The Egyptian triangle presents itself in this respect as a hypostasis of the fundamental triad 1, 2, 3. With the triad of the numbers 3, 4, 5 takes place in the surface manifestation or epiphany what happens in the linear irradiation for the triad 1, 2, 3. The number five takes the third place and replaces the three, as the pentagram or flaming star takes the place of the Delta or luminous triangle passing from the Apprentice lodge to the Fellow-craft one.
The three numbers of this triad 3, 4, 5, are the numbers of the sides of the Egyptian triangle. But the following properties can be demonstrated more generally: In a right-angled triangle made of coprime integers it always occurs: 1) one cathetus is even and the other two are odd. 2) The even cathetus is always a multiple of four. 3) The hypotenuse is always the sum of two squares, one even and the other odd, and therefore is of the form 4 n + 1 x 4) The hypotenuse is never a multiple of three. 5) One of the catheti is always a multiple of three. 6) One of the catheti is always a multiple of five. 7) The perimeter is even, and the area is a multiple of six.
These simple and interesting properties of right-angled triangles in integers can be demonstrated in various ways, but since it is not easy to find these proofs together, we will give a proof that the less demanding and mistrustful reader can skip.
We first give the general formulas for right-angled triangles in prime whole numbers. Indicating with x, y the catheti, and with z the hypotenuse we have:
y² = z² - x² = (z - x) (z + x)
and the two factors of the second member must both be squares or contain a common factor α. In this second case, their sum 2 z and their difference 2 x must have this factor α in common, and since x and z are by hypothesis prime among themselves, so 2 x and 2 z cannot have any other factor in common than the 1 or the 2.
It must, therefore, be:
z + x = α m² z - x = α n² con α = 1 , 2
And therefore

whence
y = α m n
and by suppressing the common factor α and multiplying these last three equalities by two we obtain for x, y, z the formulas

y = 2 m n z = m² + n² x = m² - n²
where m and n are numbers of different parity, that is, one even and the other odd, otherwise the three sides would be even and therefore not prime among them.
The even cathetus y is, therefore, a multiple of 4, the hypotenuse and the other cathetus are odd, and therefore the perimeter is even and the area is even, because it is given by the half product of the catheti.

Examples:
m = 2 , n = 1 ; x = 4 , y = 3 , z = 5
m = 3 , n = 2 ; x = 12 , y = 5 , z = 13
The general formula that gives the hypotenuse z = m² + n² shows that it is always equal to the sum of two squares, one even and the other odd, and therefore it is always of the form 4 p + 1. The odd cathetus, if m is even and n odd, is of the form 4 p + 1, because for m = 2 h + 1 and n = 2 k we have: x = m² - n² = 4 h² + 4 h + 1 - 4 k², while, if the reverse happens, it is of the form 4 q - 1. It can be shown vice versa (Fermat) that there always exists a right-angled triangle in integers which has as hypotenuse a prime number of the form 4 n + 1, and more right-angled triangles in integers, if the hypotenuse is a product of primes of this form.
Let's demonstrate that one of the sides is always a multiple of 5.
In fact, if none of the catheti is a multiple of five, they have the forms
x = 5 h ± 1   or   x = 5 h ± 2
y = 5 k ± 1   or   y = 5 k ± 2
but they cannot both be of the same shape, because, as it is easy to calculate, the square of the hypotenuse should end in 2, 3, 7, 8, which is impossible, and then the sum of their squares, that is, the square of the hypotenuse ends in five and, therefore, the hypotenuse itself ends in five, that is, it is a multiple of five.
Let's demonstrate that the hypotenuse cannot be a multiple of three.
Indeed, absurdly, if the hypotenuse were a multiple of three, the catheti could not be so, and would therefore be of the form x = 3 h ± 1, y = 3 k ± 1, and then the sum of their squares would be a multiple of three increased by two, and could not be equal to the square of the hypotenuse. The hypotenuse is therefore of the form 3 h ± 1.
Let's demonstrate that one of the catheti is a multiple of three.
In fact, if one of the catheti, for example x, is not a multiple of three, we would have:
y² = z² - x² = (z + x) (z - x)
and being
z = 3 h ± 1 ed x = 2 k ± 1
the result is that in all four possible cases one of the two factors to the second member is a multiple of three and, therefore, the other cathetus is a multiple of three.
To summarize: The hypotenuse and one cathetus are odd, the other is a multiple of four; one of the catheti is a multiple of three and the hypotenuse is not; one of the three sides is a multiple of five; the hypotenuse is of the form 4 n + 1 and is the sum of two squares; the perimeter and area are even numbers.
If the hypotenuse is not a multiple of five, it can be that one of the catheti is a multiple of 3 and 5, and the other of 4, for example in the triangle (8, 15, 17); or that one of the catheti is a multiple of 3 and 4 and the other of 5, for example in the triangle (5, 12, 13); or, lastly, that one of the catheti is a multiple of 3 or 4 or of 5, for example in the triangle (60, 11, 61). If the hypotenuse is a multiple of five, it may be that one of the catheti is a multiple of 3 and the other of 4, as in the Egyptian triangle (3, 4, 5) considered by Plutarch; or that one of the catheti is a multiple of both 3 and 4, as for example for the triangles (33, 56, 65), (63, l6, 65), (44, 117, 125). Other cases in which only one cathetus is multiple of 3, 4, or 5 are (119, 120, 169), (120, 391, 409) …
In the case of the Egyptian triangle (3, 4, 5), the radius of the inscribed circle is 1, the diameter is 2, the catheti and the hypotenuse are 3, 4, 5, the area is 6, the sum of the catheti is 7, the sum of a cathetus and the hypotenuse 8 and 9 and the perimeter is 12. The Egyptian triangle was used by the Egyptians to draw a right angle. Taking a cord divided into three parts of respective lengths 3, 4, 5, and fixing the distant points 5 on the ground, stretching the other two parts and joining the ends, we obtain the Egyptian triangle and therefore the right angle. The square, which is the characteristic tool of the Fellow-craft freemason, and is used for squaring the rough stone, that is the particular work of the craftsman, is thus connected to the number five, which always appears on one of the sides of a right triangle and the numbers 3 and 4 which always appear in one of the two catheti.
The question we have solved for polygonal numbers also occurs for pyramidal numbers, that is, for the most important numbers of space considered by the Pythagoreans. It is a question of examining whether there is a triad of three consecutive pyramidal numbers of the same kind, such as that the sum of the first two is equal to the third. That is, we need to solve the equation:
F (x . y - 1) + F (x . y) = F (x . y + 1)
namely

an equation which, after the development and reductions becomes:
(y³ - 6 (y² - y) x = 2 (y³ - 15 (y² + 7 y + 6
whose solutions are given by

Giving the y the values 1, 2, 3, 4… the following pairs of solutions are obtained:

and we see that the only integer solution is given by the pair x = 10, y = 6. The problem, therefore, admits the only solution
F (10, 5) + F (10, 6) = F (10, 7)
that is
175 + 301 = 476
We, therefore, have the property: The only triad of consecutive pyramidal numbers of the same kind, such that the sum of the first two is equal to the third, is made up of the fifth, sixth and seventh pyramidals with a decagonal base.
Just as the triad of numbers (3, 4, 5) solved the problem in the plane by means of the right-angled triangle that had those three numbers for sides, so the triad of numbers (5, 6, 7) solves the analogous problem in space by means of the pyramidal fifth, sixth, and seventh with a decagonal base. And like the triad (1, 2, 3) of the linear numbers, which solves the problem of three consecutive integers in which the sum of the first two is equal to the third, gives the number three; and the triad (3, 4, 5), which solves the problem in the field of polygonal numbers, gives the 5; thus the triad (5, 6, 7) that solves the problem in the field of pyramidal numbers gives the number 7 as a result of the action of five over six to use Plutarch's language and anagogy. We also observe that the three pyramidals with a decagonal base that solve the problem, namely the numbers 175, 301 and 476, are three multiples of seven. The sum of the three triads 1, 2, 3;   3, 4, 5 and 5, 6, 7 is equal to 36. Finally, we observe that the sum of the number of the diagonals of the pentagon and the hexagon is equal to the number of the diagonals of the heptagon, i.e., 5 + 9 = 14; and this is the only case in which this fact occurs for three consecutive polygons, i.e., also the problem of determining three polygons having three consecutive integers as the number of sides admits a single solution given by the triad (5, 6, 7).
The first three odd prime numbers, i.e., the 3, 5, 7, represent the only solution of the same problem for linear numbers, for polygons of the same kind, and for pyramids of the same kind. It is also worth noting that the solution is for the polygons of the fourth kind, that's to say with the squares and for the pyramidals it has with the pyramidal numbers of the tenth kind, that's to say with the pyramidal numbers with a decagonal base. Four and ten, the two numbers that Luciano identifies in the mystery of the tetractys.
Three is the number of the sides of the luminous delta, and is the number of the apprentice or novice; five is the number of the flaming star and of the fellow-craft freemason; seven is the number of the wisdom of the master mason or master builder.
The foregoing does not naturally appear in Pythagorean literature, with the exception of Plutarch's reference to the Egyptian triangle. On the contrary, we believe that so far no one has demonstrated the above property relating to the triad of consecutive polygonal numbers of the same kind and the analogous property relating to consecutive pyramidal numbers of the same kind. It is not at all our intention to affirm that this development and extension of the Pythagorean Theorem for a triad of consecutive numbers to the case of polygonal and pyramidal numbers has already been done by the ancient Pythagoreans, but we do not want to exclude this possibility without further ado. But by sticking to the spirit of Pythagorean arithmetic and following its procedures, we have arrived at the results we have presented, and the related properties actually exist. We have done nothing but bring them to light and submit them to the consideration of the reader to whom we leave the task of evaluating their importance, and to draw the consequences.
We add that it could be shown that the analogous problem for hyperpyramidal numbers in hyperspaces admits no solution. From the modern point of view there are four prime numbers within the decade: 2, 3, 5, 7; and we will find this tetractys again by dealing with regular polyhedra.
Furthermore, within the decade there are four prime numbers with ten and they are: 1, 3, 7, 9; and indicating with the Gaussian symbol φ (n) the number of prime numbers with n and less than n (the units included) we have: φ (10) = 4, the relation between 4 and 10.

CAPITOLO III

La terna dei numeri primi dispari entro la decade

A che cosa alludono questi numeri?
Ai numeri sacri proposti alla meditazione
degli Apprendisti, dei Compagni e dei Maestri.
Catechismo del 3° grado.

Partiamo dal tetracordo di Filolao do, fa, sol, do le cui corde hanno rispettivamente le lunghezza 1, 3 : 4, 2 : 3, 1 : 2 tali che

ed in cui il secondo termine è la media aritmetica degli estremi ed il terzo è la media armonica degli estremi, mentre il quarto è la metà del primo.
Gli ultimi due termini si possono considerare come i primi due termini di una nuova proporzione in cui il quarto termine sia, come nel caso della proporzione precedente, la metà del primo ovvero sia 1 : 3 ed il terzo termine x vada calcolato opportunamente. Sia dunque

ossia
sol   do   x   sol
il nuovo tetracordo.
La lunghezza della terza corda si può calcolare in varie maniere, come terzo incognito di una proporzione, come media armonica degli estremi…
Si trova in tal modo x = 4 : 9; e, siccome questa corda viene minore di 1 : 2 essa è esterna al tetracordo, e se ne prende invece la sua armonica inferiore contenuta nel primo tetracordo che avrà lunghezza doppia ossia 8 : 9. Si ottiene così una nuova corda, compresa entro le corde estreme del tetracordo fondamentale, corda che noi designiamo con re, e si ha la catena di rapporti eguali

ed il nuovo tetracordo
sol   do   re   sol
Operando ancora come prima, ossia, prendendo come primi termini di una nuova proporzione o tetracordo gli ultimi due termini della proporzione ,o tetracordo precedente e prendendo come prima per quarto termine la metà del primo, si ottiene

e si ricava per la x il valore x = 16 : 27 che supera 1 : 2. La corda che ha questa lunghezza è quindi compresa entro le corde estreme del tetracordo fondamentale, ed è quella che noi chiamiamo la. Abbiamo quindi un terzo tetracordo re   sol   la   re
e la proporzione

Procedendo analogamente si ha la proporzione

da cui si ricava x = 32 : 81; e siccome questa frazione è minore di un mezzo si prende la corda che ne è l'armonica inferiore ossia che ha la lunghezza 64 : 81. Questa corda corrisponde al mi della scala pitagorica (sebbene il mi della scala naturale abbia una lunghezza 4 : 5) leggermente differente). Si ha dunque il quarto tetracordo
la   re   mi   la
ossia

Considerando analogamente la nuova proporzione mi   la   x   mi
ossia

si ottiene x = 128 : 243 che supera 1 : 2, e quindi questa corda che è il nostro si [B] è compresa entro le corde estreme del tetracordo fondamentale. Si ha quindi il quinto tetracordo mi la si mi.
Se ora si considera il tetracordo si   mi   x   si ossia

si trova per la x il valore x = 128 : 729, di cui occorrerebbe prendere l'armonica inferiore dell'armonica inferiore ossia la corda di lunghezza 512 : 729 per ottenere una corda compresa entro il tetracordo di Filolao; ma l'intervallo tra questa corda e quella del fa = 3 : 4 è troppo piccolo perché l'orecchio possa distinguere i due suoni, e perciò a questa corda si sostituisce il fa e si ha il sesto tetracordo
si   mi   fa   si
In fine considerando il tetracordo fa si x fa cioè la proporzione

si ottiene x = 1 : 2 e si ha quindi il settimo tetracordo
fa   si   do   fa
Con questo settimo tetracordo il ciclo si chiude, perché seguitando ad operare come abbiamo fatto sin ora si ritroverebbe il sol, e via di seguito.
Partendo adunque dalle tre note del tetracordo di Filolao do, fa, sol ed operando sempre con la stessa legge abbiamo trovato altre quattro note e non più. La gamma pitagorica per questa ragione è costituita da sette note, le quali scritte secondo l'ordine decrescente delle lunghezze delle corde sono:
do   re   mi   fa   sol   la   si   do
dove l'ottava è l'armonica superiore della prima ed è la prima dell'ottava superiore. Come è noto, si assume per convenzione internazionale come la della terza ottava, la corda che ha la frequenza di 435 vibrazioni al minuto secondo, ed è allora facile calcolare la frequenza delle altre corde.
Ora la terza corda del tetracordo di Filolao, cioè il sol, è la quinta dell'ottava; e col procedimento ora esposto per estendere il tetracordo alla scala delle sette corde dal sol abbiamo ottenuto la terza corda del secondo tetracordo (che comincia col sol) la quale è la quinta rispetta alla nuova ottava che principia col sol; e così seguitando lo sviluppo con questa legge di quinta si determinano tutte le sette note. Dalle prime tre corde del tetracordo di Filolao, le cui lunghezze sono determinate in base ai numeri della tetractis ed alla proporzione babilonese, mediante la legge di quinta si determinano le sette corde. Sono i numeri primi tre, cinque, sette dispari contenuti entro la decade, corrispondenti alle età iniziatiche della massoneria azzurra, e per la periodicità della gamma la settima corda è anche l'ultima e ne deriva la perfezione del numero sette.

Le sette corde, scritte ordinatamente in modo che ogni corda sia seguita dalla sua quinta, si succedono nell'ordine
do   sol   re   la   mi   si   fa   do;
e, se si divide una circonferenza in sette parti eguali ed in corrispondenza dei punti di divisione si scrivono le sette note in questo ordine e poi si contano i punti di tre in tre a partire dal do, si ottengono ordinatamente le sette note nell'ordine della scala musicale; viceversa scritte le sette note nell'ordine della scala musicale in corrispondenza dei sette punti di divisione della circonferenza e contando i punti di cinque in cinque a partire dal do, si ottengono ordinatamente le sette note nell'ordine di quinta.

Nella scala pitagorica gli intervalli o rapporti delle note dell'ottava alla nota unitaria fondamentale sono espressi ordinatamente da

ed è facile riconoscere che per il modo con cui si è preceduto alla estensione del tetracordo tutti questi rapporti contengono al numeratore ed al denominatore solo delle potenze del due e del tre. La massima potenza del due è il 128 = 2⁷ e la massima potenza del tre è il 243 = 3⁵. La stessa cosa accade considerando i rapporti tra due note qualunque dell'ottava. Cosicché mentre nel tetracordo compaiono solo i rapporti dei numeri 1, 2, 3, 4 della tetractis, nell'eptacordo compaiono solo i rapporti delle potenze dei numeri della tetractis, e precisamente le prime nove potenze del due e le prime sei potenze del tre, oltre all'unità, ossia i numeri
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729
la cui somma complessiva è 2116 = 23².
Anche per questa via si ottiene nella estensione del tetracordo il 5 ed il 7, perché il due vi compare alla settima e non oltre ed il tre vi compare alla quinta e non oltre.

La scala naturale differisce da quella pitagorica solo perché alla lunghezza delle corde determinate con la legge di quinta si sostituiscono dei valori approssimati espressi da rapporti più semplici e si ha:

Nella scala pitagorica i cinque «intervalli» o toni tra il do ed il re, tra il il re ed il mi, tra il fa ed il sol, tra il sol ed il la e tra il la ed il si sono esattamente eguali, e nella scala naturale sono sensibilmente eguali; ed in entrambe le scale questi intervalli sono maggiori dei due restanti intervalli tra il mi ed il fa e tra il si ed il do. Per ovviare a questo inconveniente i pitagorici inserirono tra gli intervalli maggiori altre cinque corde (che corrispondono ai tasti neri del pianoforte) in modo da ottenere dodici corde di cui ciascuna differisce dalla precedente di un intervallo sensibilmente costante ed eguale a un semitono. Nella scala temperata, introdotta da Bach, questi intervalli sono tutti assolutamente eguali e le lunghezze delle dodici corde costituiscono una progressione geometrica, ma gli intervalli non sono più espressi da rapporti semplici ossia da numeri razionali ma da numeri irrazionali. Nel caso degli strumenti ad arco, in cui la lunghezza delle corde è fissata dalle dita e dall'orecchio del suonatore, il fisico Blaserna afferma che i grandi virtuosi del violino hanno la tendenza a preferire la scala pitagorica a quella naturale; ma è un po' difficile stabilire la esattezza di questa affermazione perché solo un orecchio estremamente sensibile può percepire la differenza. Constatiamo frattanto che lo sviluppo per quinte del tetracordo ci ha condotto al numero sette ed, in connessione, anche al numero dodici.
Osserviamo in fine come curiosità che, se in corrispondenza dei sette punti di divisione della circonferenza, scriviamo i nomi dei cinque pianeti noti agli antichi e quello del Sole e della Luna nell'ordine della loro distanza dalla terra cioè: Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte, Giove, Saturno, e procediamo come abbiam fatto per le corde della gamma andando dal primo punto (Sole) al quinto (Luna), e da questo al quinto (Marte) e cosi via, si ottengono i giorni della settimana nel loro ordine: Domenica (Sun-day), Lunedi, Martedi, Mercoledi, Giovedi, Venerdi, Sabato (Satur-day). Tolta la denominazione della Domenica che è cristiana e quella del Sabato che è ebraica, sono questi gli antichi nomi pagani dei giorni della settimana ancor oggi in uso in quasi tutte le lingue con qualche sostituzione ed eccezione, come il russo ed il portoghese. Cominciando la settimana con la Domenica il quinto giorno è sacro a Giove ed il sesto è il giorno di Venere, e ritroviamo la consacrazione del sei ad Afrodite.
Osserviamo però che il calendario greco non conosceva la settimana e che solo dei tardi pitagorici e dei cristiani possono aver fatto ricorso a queste considerazioni od a considerazioni equivalenti per stabilire la consacrazione dei giorni della settimana e la corrispondenza tra i pianeti ed i giorni della settimana. Notiamo in fine che la settimana del nostro calendario è una divisione convenzionale, e che i pianeti non sono affatto sette, di modo che non si può stabilire le corrispondenze tra le sette note, i sette pianeti, i sette giorni della settimana ecc. Il solo settenario che abbia base naturale è quello della scala musicale pitagorica; e la distinzione dei sette colori dell'iride fatta da Newton, evidentemente per analogia tra ottica ed acustica, è convenzionale; perché da un colore dell'iride si passa ad un altro attraverso mille sfumature e non attraverso ad un salto netto come da una nota musicale ad un'altra. Una legge settenaria compare invece nella tavola degli elementi chimici del Mendelejeff.
Notiamo per ultimo che i numeri tre, cinque e sette si possono ottenere anche e molto semplicemente dai numeri della tetractis, considerando le frazioni 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4 che esprimono le lunghezze delle tre ultime corde del tetracordo di Filolao, e sommandone numeratore e denominatore. Si ottiene in tal modo:
1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7.
Nella letteratura pitagorica, almeno in quel poco che è pervenuto sino a noi, non si trova nulla che confermi od escluda la via che abbiamo esposto per pervenire al numero cinque ed al numero sette partendo dal tetracordo, sebbene questa via presenti delle analogie con quella tenuta dai pitagorici per dividere la circonferenza in cinque e dieci parti uguali.
Una seconda via per pervenire al numero cinque è suggerita invece da una considerazione di Plutarco. L'accenno di Plutarco si trova nel De Iside et Osiride ¹⁾, e si riconnette al triangolo rettangolo «egizio», il più semplice dei triangoli rettangoli in numeri interi 3, 4, 5. Geometricamente il teorema di Pitagora, che vale per ogni triangolo rettangolo, afferma che in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sopra i cateti equivale al quadrato costruito sopra l'ipotenusa; aritmeticamente, quando i lati del triangolo rettangolo sono dei numeri interi, accade che la somma dei quadrati di questi interi è eguale al quadrato che ha per lato l'ipotenusa. Nel caso del triangolo egizio in cui i cateti sono il tre ed il quattro ed il cinque è l'ipotenusa, Plutarco espone una interpretazione analogica del teorema di Pitagora secondo la quale il cinque sarebbe il risultato o frutto dell'azione spirituale del tre disposto verticalmente e che simboleggia il maschio sopra la base orizzontale del quattro che simboleggia la femmina. In tal modo il cinque proverrebbe non dai numeri interi lineari ma dai numeri poligonali e precisamente dai numeri quadrati.

1)   PLUTARCO, De Iside et Osiride, ed. Didot, 457.

La terna dei numeri consecutivi 3, 4, 5 gode dunque della proprietà che la somma dei quadrati dei primi due è eguale al quadrato del terzo. Anzi è facile riconoscere che questa è la sola terna di interi consecutivi che gode di questa proprietà; infatti indicando con x - 1, x e x + 1 tre numeri consecutivi l'equazione (x - 1)² + x² = (x + 1)²
ossia x² - 4x = 0 ammette le sole soluzioni x = 0 ed x = 4. Se poi invece dei quadrati si considerano tre triangolari consecutivi o tre pentagonali consecutivi o tre poligonali consecutivi di uno stesso genere r, e si cerca quando accade che la somma dei primi due poligonali è eguale al terzo, si trova che questo fatto accade solamente quando i poligonali sono dei quadrati, e precisamente nel solo caso del terzo, quarto e quinto quadrato.
Ricordiamo infatti che l'x° poligonale di genere r è espresso dalla formola

e consideriamo l'equazione indeterminata nelle incognite r ed x
P (r , x - 1) + P (r , x) = P (r , x + 1).
Essa non ammette altra soluzione che la soluzione r = 4, x = 4.
Infatti, sostituendo ai simboli le loro espressioni, tale equazione diviene:

che sviluppando e riducendo diviene:
(r - 2) x² - 4 (r - 2) x + r - 4 = 0
ed applicando la ben nota formola risolutiva dell'equazione di secondo grado si ottiene

Ossia

dove il discriminante è eguale a 5 per r = 3, è eguale a 4 per r = 4 ed è sempre compreso tra 3 e 4 per ogni altro valore di r. L'unico valore razionale intero e positivo della x si ha per r = 4 ed è x = 4. Dunque, come nel caso dei numeri lineari la sola terna di numeri lineari consecutivi per la quale accade che la somma dei primi due è eguale al terzo è costituita dalla terna 1, 2, 3, così nel caso dei numeri poligonali la sola terna di numeri consecutivi poligonali dello stesso genere per i quali accade che la somma dei primi due è eguale al terzo è costituita dal terzo, quarto e quinto quadrato ossia dai lati del triangolo egizio. Il triangolo egizio si presenta sotto questo rispetto come una ipostasi della triade fondamentale 1, 2, 3. Con la terna dei numeri 3, 4, 5 avviene nella manifestazione superficiale od epifania quello che avviene nella irradiazione lineare per la terna 1, 2, 3. Il numero cinque prende il terzo posto e sostituisce il tre, come il pentagramma o stella fiammeggiante prende il posto del Delta o triangolo luminoso passando dalla camera di primo grado a quella di secondo.

I tre numeri di questa terna 3, 4, 5 sono i numeri dei lati del triangolo egizio. Ma si può dimostrare più in generale le seguenti proprietà: In un triangolo rettangolo in numeri interi primi tra loro accade sempre: 1) un cateto è pari e gli altri due lati sono dispari. 2) Il cateto pari è sempre multiplo del quattro. 3) L'ipotenusa è sempre somma di due quadrati, uno pari e l'altro dispari, e quindi è della forma 4 n + 1. 4) L'ipotenusa non è mai multiplo del tre. 5) Una dei cateti è sempre multiplo del tre. 6) Uno dei cateti è sempre multiplo del cinque. 7) Il perimetro è pari e l'area multiplo del sei.
Queste semplici ed interessanti proprietà dei triangoli rettangoli in numeri interi si possono dimostrare in varii modi, ma siccome non è facile trovar riunite queste dimostrazioni ne daremo una dimostrazione che il lettore meno esigente e diffidente potrà saltare.
Diamo anzi tutto le formole generali per i triangoli rettangoli in numeri interi primi tra loro. Indicando con x, y i cateti e con z l'ipotenusa si ha:
y² = z² - x² = (z - x) (z + x)
ed i due fattori del secondo membro devono essere entrambi dei quadrati oppure contenere un fattore comune α. In questo secondo caso la loro somma 2 z e la loro differenza 2 x devono avere a comune questo fattore α, e siccome x e z sono per ipotesi primi tra loro, cosi 2 x e 2 z non possono avere a comune altro fattore che l'uno od il due.
Dovrà dunque essere:
z + x = α m² z - x = α n² con α = 1 , 2
e perciò

da cui
y = α m n
e sopprimendo il fattore comune α e moltiplicando per due queste tre ultime eguaglianze si ottengono per la x, y, z le formole
y = 2 m n z = m² + n² x = m² - n²
dove m ed n sono numeri di diversa parità, cioè uno pari e l'altro dispari, altrimenti i tre lati sarebbero pari e quindi non primi tra loro.
Il cateto pari y resulta perciò multiplo del 4, l'ipotenusa e l'altro cateto sono dispari, e quindi il perimetro è pari e l'area è pari perché è data dal semi prodotto dei cateti.

Esempii:
m = 2 , n = 1 ; x = 4 , y = 3 , z = 5
m = 3 , n = 2 ; x = 12 , y = 5 , z = 13
La formola generale che dà l'ipotenusa z = m² + n² mostra che essa è sempre eguale alla somma di due quadrati, l'uno pari e l'altro dispari, e perciò è sempre della forma 4 p + 1. Il cateto dispari, se m è pari ed n dispari, è della forma 4 p+1, perché per m =2 h+ 1 ed n = 2 k si ha: x = m² - n² = 4 h² + 4 h + 1 - 4 k², mentre se accade il viceversa è della forma 4 q - 1. Si può mostrare viceversa (Fermat) che esiste sempre un triangolo rettangolo in numeri interi che ha per ipotenusa un numero primo della forma 4 n + 1, e più triangoli rettangoli in numeri interi se l'ipotenusa è un prodotto di primi di questa forma.
Dimostriamo che uno dei lati è sempre multiplo del 5.
Infatti se nessuno dei cateti è multiplo del cinque essi hanno le forme
x = 5 h ± 1   oppure   x = 5 h ± 2
y = 5 k ± 1   oppure   y = 5 k ± 2
ma essi non possono essere entrambi della stessa forma, perché, come è facile calcolare, il quadrato dell'ipotenusa dovrebbe terminare per 2, 3, 7, 8, cosa impossibile, ed allora la somma dei loro quadrati ossia il quadrato dell'ipotenusa termina per cinque, e quindi l'ipotenusa stessa termina per cinque ossia è un multiplo di cinque.
Dimostriamo che l'ipotenusa non può essere multiplo del tre.
Infatti per assurdo se l'ipotenusa fosse multipla del tre i cateti non potrebbero esserlo, e sarebbero quindi della forma x = 3 h ± 1, y = 3 k ± 1, ed allora la somma dei loro quadrati sarebbe un multiplo del tre aumentato di due e non potrebbe essere eguale al quadrato dell'ipotenusa. L'ipotenusa è quindi della forma 3 h ± 1.
Dimostriamo che uno dei cateti è multiplo del tre.

Infatti se uno dei cateti per esempio x non è multiplo del tre, si avrebbe:
y² = z² - x² = (z + x) (z - x)
ed essendo
z = 3 h ± 1 ed x = 2 k ± 1
accade che in tutti e quattro i possibili casi uno dei due fattori al secondo membro resulta multiplo del tre, e quindi l'altro cateto è multiplo del tre.
Riassumendo: L'ipotenusa ed un cateto sono dispari, l'altro è multiplo del quattro; uno dei cateti è multiplo del tre e l'ipotenusa non lo è; uno dei tre lati è multiplo del cinque; l'ipotenusa è della forma 4 n + 1 ed è somma di due quadrati; il perimetro e l'area sono pari.

Se l'ipotenusa non è multipla del cinque può darsi che uno dei cateti sia multiplo del 3 e del 5 e l'altro del 4, per esempio nel triangolo (8, 15, 17); oppure che uno dei cateti sia multiplo del 3 e del 4 e l'altro del 5 per esempio nel triangolo (5, 12, 13); oppure in fine che uno dei cateti sia multiplo tanto del 3 che del 4 e del 5 per esempio nel triangolo (60, 11, 61). Se l'ipotenusa è multipla del cinque può darsi che uno dei cateti sia multiplo del 3 e l'altro del 4 come nel triangolo egizio (3, 4, 5) considerato da Plutarco; oppure che uno dei cateti sia multiplo tanto del 3 che del 4, come per esempio per i triangoli (33, 56, 65), (63, l6, 65), (44, 117, 125). Altri casi in cui un solo cateto è multiplo del 3, 4, 5 sono (119, 120, 169), (120, 391, 409) …
Nel caso del triangolo egizio (3, 4, 5) il raggio del cerchio inscritto è 1, il diametro è 2, i cateti e l'ipotenusa sono 3, 4, 5, l'area è 6, la somma dei cateti è 7, la somma di un cateto e dell'ipotenusa 8 e 9 ed il perimetro è 12. Il triangolo egizio era adoperato dagli egiziani per disegnare un angolo retto. Presa una cordicella suddivisa in tre parti di lunghezze rispettive 3, 4, 5, e fissati sul terreno i punti distanti 5, tendendo le altre due parti e riunendone i capi, si ottiene il triangolo egizio e quindi l'angolo retto. La squadra, che è l'utensile caratteristico del compagno libero muratore e serve alla squadratura della pietra grezza, cioè al lavoro particolare del compagno, è così connessa al numero cinque, che compare sempre in uno dei lati di un triangolo rettangolo ed ai numeri 3 e 4 che compaiono sempre in uno dei due cateti.

La questione che abbiamo risolto per i numeri poligonali si presenta anche per i numeri piramidali, ossia per i più importanti numeri dello spazio considerati dai pitagorici. Si tratta di esaminare se esiste una terna di numeri piramidali consecutivi dello stesso genere tali che la somma dei primi due sia eguale al terzo. Occorre cioè risolvere l'equazione:

F (x . y - 1) + F (x . y) = F (x . y + 1)
ossia

equazione che dopo lo sviluppo e le riduzioni diviene:

(y³ - 6 (y² - y) x = 2 (y³ - 15 (y² + 7 y + 6
le cui soluzioni sono date da

Dando alla y i valori 1, 2, 3, 4… si ottengono le seguenti coppie di soluzioni:

e si vede che l'unica soluzione intera è data dalla coppia x = 10, y = 6. Il problema ammette dunque l'unica soluzione

F (10, 5) + F (10, 6) = F (10, 7)
ossia
175 + 301 = 476
si ha quindi la proprietà: La sola terna di numeri piramidali consecutivi di uno stesso genere, tali che la somma dei primi due è eguale al terzo, è costituita dal quinto, dal sesto e dal settimo piramidali a base decagonale.
Come la terna dei numeri (3, 4, 5) risolveva il problema nel piano mediante il triangolo rettangolo che aveva quei tre numeri per lati, così la terna dei numeri (5, 6, 7) risolve il problema analogo nello spazio mediante il quinto, sesto e settimo piramidale a base decagonale. E come la terna (1, 2, 3) dei numeri lineari, che risolve il problema dei tre interi consecutivi in cui la somma dei primi due è eguale al terzo, dà il numero tre; e la terna (3, 4, 5), che risolve il problema nel campo dei numeri poligonali, dà il 7; così la terna (5, 6, 7) che risolve il problema nel campo dei piramidali dà il numero 7 come resultato dell'azione del cinque sul sei per adoperare il linguaggio e l'anagogia di Plutarco. Osserviamo inoltre che i tre piramidali a base decagonale che risolvono il problema, e cioè i numeri 175, 301 e 476, sono tre multipli del sette. La somma delle tre terne 1, 2, 3; 3, 4, 5 e 5, 6, 7 è eguale a 36. Osserviamo in fine che la somma del numero delle diagonali del pentagono e dell'esagono è eguale al numero delle diagonali dell'eptagono, cioè 5 + 9 = 14; ed è questo l'unico caso in cui questo fatto si verifica per tre poligoni consecutivi, ossia anche il problema di determinare tre poligoni aventi per numero dei lati tre interi consecutivi ammette una unica soluzione data dalla terna (5, 6, 7).


I primi tre numeri primi dispari cioè il 3, 5, 7 rappresentano l'unica soluzione dello stesso problema per i numeri lineari, per i poligonali di uno stesso genere e per i piramidali di uno stesso genere. Vale la pena di osservare inoltre che la soluzione si ha per i poligonali del quarto genere, ossia con i quadrati e per i piramidali ha con i piramidali del decimo genere ossia con i numeri piramidali a base decagonale. Quattro e dieci, i due numeri che Luciano identifica nel mistero della tetractis.
Il tre è il numero dei lati del delta luminoso ed è il numero dell'apprendista o novizio, il cinque è il numero della stella fiammeggiante e del compagno libero muratore; il sette è il numero della sapienza del maestro muratore o capomastro.
Quanto precede non compare naturalmente nella letteratura pitagorica ad eccezione dell'accenno di Plutarco relativo al triangolo egizio. Crediamo anzi che sinora nessuno abbia dimostrato la proprietà sopra esposta relativa alla terna dei poligonali consecutivi di uno stesso genere e l'analoga proprietà relativa ai piramidali consecutivi dello stesso genere. Non è affatto nostra intenzione affermare che questo sviluppo ed estensione del teorema di Pitagora per una terna di numeri consecutivi al caso dei poligonali e dei piramidali sia già stato fatto dagli antichi pitagorici ma non vogliamo neppure escludere senza altro tale possibilità. Però attenendoci allo spirito della aritmetica pitagorica e seguendone i procedimenti siamo giunti ai risultati che abbiamo esposto, e le relative proprietà esistono effettivamente. Non abbiamo fatta altro che portarle alla luce e sottoporle alla considerazione del lettore cui lasciamo il compito di valutarne l'importanza e di trarne le conseguenze.

Aggiungiamo che si potrebbe dimostrare che l'analogo problema per i numeri iperpiramidali negli iperspazii non ammette soluzione. Dal punto di vista moderno vi sono entro la decade quattro numeri primi: 2, 3, 5, 7; e ritroveremo questa tetractis occupandoci dei poliedri regolari.
Inoltre vi sono entro la decade quattro numeri primi con il dieci e sono: 1, 3, 7, 9; ed indicando col simbolo di Gauss φ (n) il numero dei numeri primi con n e minori di n (l'unità inclusa) si ha: φ (10) = 4, relazione tra il 4 ed il 10.

CHAPTER IV

The Pythagorean pentalpha and the flaming star

Who ignores geometry shall not enter my school,
Inscription above the entrance to Plato's School.

We have arrived at the number five starting from the tetrachord of Philolaus or by the consideration of the Egyptian triangle. Another way, similar to the first previous two, which led the Pythagoreans to the evaluation the number five, is that which starts from the consideration of the golden part, or divine section, of a straight line segment, and leads to the study of the pentalpha or pentagram, the characteristic symbol of the Pythagorean brotherhood, that is to say the blazing star, a characteristic symbol of the Masonic fraternity.
The rigorous study from the geometric and arithmetic point of view of this topic would require a long development, which we have already done in our previous work. ¹⁾ Therefore, we will generally omit the proofs, referring the reader to our work, in which we arrive at the results and to the property, of which we will use, in a Pythagorean way, i.e., without resorting to Euclid's postulate.

1)   A. REGHINI, Per la restituzione delle geom. Pit [For the restitution of Pythagorean geometry].

One of the most important discoveries of the Pythagoreans is that of incommensurable magnitudes and, consequently, of irrational numbers. The simplest case is that of the incommensurability of the diagonal and the side of a square, and Aristotle reports the proof that the Pythagoreans gave. It is a consequence of the Pythagorean Theorem. In fact, if absurdly the diagonal and the side of the square admitted a common measure, that is, if the diagonal contained m times a certain segment and the side contained it n times, the square constructed on the side could be divided into n² small squares, all equal, and having each side this common segment, and the square constructed on the diagonal could be subdivided into m²m2 small squares equal to them: and being, according to the Pythagorean Theorem, the sum of the squares constructed on the catheti equivalent to the square constructed on the hypotenuse, the number of the small squares 2 n² contained within the squares of the catheti should be equal to the number of squares m² of the hypotenuse, that is, it should be
2 n² = m². Now then, since n and m are two integers, the two numbers of the previous equality should contain the same prime factors because a number can be decomposed in a unique way into a product of prime factors; and this is not possible because m should contain the two and therefore m² would contain the two an even number of times, and then n should also contain the two, n² would contain it an even number of times, and 2 n² would contain it an odd number of times.
In particular, if the side of the square is 1, the square of the diagonal is 2, and the diagonal is equal to the irrational number √2. Then, by dividing the circumference into four equal parts and neatly joining the four points of division and the inscribed square is obtained, it can also be said that the side of the square inscribed in the circumference of unit the radius has as its measure the irrational number √2. This segment, incommensurable with the unitary segment, is geometrically determined with the utmost simplicity. In a similar way, considering the right-angled triangle in which the hypotenuse is double than the minor cathetus, we would find that the greater cathetus has as its measure the irrational number √3, and considering the right-angled triangle which has a cathetus double of the other, we would find that hypotenuse has for measure √5. And, since it is easy to prove that the side of the regular hexagon inscribed in a circumference is equal to the radius of the circumference, it follows that the side of the inscribed equilateral triangle is equal to the segment which has √3 for measure. The two irrational numbers √2 and √3 are respectively the measure of the side of the square and of the side of the regular triangle inscribed in the circumference, and are two segments incommensurable with the unitary segment, whose determination is geometrically easy.
The number √5 is connected instead, although in a less simple way, with the division of the circumference into ten and five equal parts, and with the measurement of the side of the inscribed pentagon and the side of the inscribed regular decagon. It is called the golden part of a segment, or even divine section, that part of the segment, such as that of the square that has this side equivalent to the rectangle whose sides are the entire segment and the remaining part. The geometric determination of the golden part of a segment can be obtained by means of two constructions; and with the theory of proportions, the golden part of a segment can also be defined as the geometric or proportional mean between the entire segment and the remaining part. It can then be shown that, in the isosceles triangle which has the vertex angle equal to half the angle at the base, the base is the golden part of the side; and, since this angle at the vertex has an amplitude of 36°, it follows that, dividing the circumference into ten equal parts, the side of the inscribed regular decagon is the golden part of the radius; vice versa, the arc whose chord is the golden part of the radius has the width of 36° and is the tenth part of the entire circumference. It follows the usual determination of the golden part of the radius O A of a circumference, and the division of the circumference into ten equal parts.

We take the radius OB perpendicular to the radius OA through the center O and, taking the midpoint C of this radius OB, we describe the circle with center C and radius CO: the diameter AC meets this circumference in two points D, E and it happens that the radius OA is mean proportional between the whole secant AE and its external part A D. By dividing this proportion it can be deduced that the external part AD = AM is the golden part of the radius A O. Due to the uniqueness of the golden part, the isosceles triangle with side OA and base AD = AM has a vertex angle of 36° and therefore AM is the side of the inscribed regular decagon; and therefore returning the segment A M as a chord ten times starting from point A, the circumference is divided into ten equal parts; and therefore also in five [parts], taking alternately the points of division. ²⁾

2)   The regular pentagon, and thus also the decagon and the pentalpha, can also be built without a compass starting from a strip with parallel sides. Just tie it and pull it as you do for a tie knot. It can be easily recognized and shown that it folds up according to three equal segments A B, C D, E A and the two segments D E and C B are also equal to the other three. The strip comes out from the parts of the sides D E and C B of the pentagon, and there is the figure of a bishop's miter (the figure of the bishop in the game of chess) or also of the apron of the fellowcraft. The notched ribbon, or chain of union, which is wrapped and knotted around the columns of the temple, which are ten by removing the two columns at the entrance to the temple, forms ten of these pentagonal nodes, like the ten matching regular pentagons circumscribed to a regular decagon.

If the radius O A is equal to 1, the radius O C is 1 : 2, the hypotenuse A O of the right-angled triangle, A O C is

and the golden part A D has for measure

Hence, the side of the regular decagon inscribed in the circle with a radius 1 is the golden part of the radius, and has for measure

If instead of joining the point A of the division of the circumference into five equal parts with the following point C, the point A is joined with the third division point E, and this with the fifth I and so on, we obtain the starry pentagram, so called because it is composed of five lines, also called pentalpha because it contains five times the letter A formed, for example, by the two strings AE and AG and by the segment MR of the string C I. The term pentalpha is found in the Arithmetic of father Kircher (1665), but the term decal, evidently formed in similarity with the first, is already found in Plutarch. However, this is not what interests us.
Since I C is evidently parallel to G E, the quadrilateral C E G R is a parallelogram, indeed it is a rhombus, because E C and E G are equal as sides of the regular inscribed pentagon; and it is easy to recognize that the isosceles triangle A E G has the vertex angle of 36°, and, therefore, that E G = E C = E M is the golden part of the A E side of the pentalpha. We will call l₅ the side E G of the regular pentagon and s₅ the side A E of the pentalpha; and we can say that: first, - the side l₅ of the pentagon is the golden part of the side s₅ of the pentalpha; 2nd, that the side s₅ = A E of the pentalpha is divided into two points M, N by two other sides of the pentalpha so that the part A N = E M is the golden part of the whole side s₅.

Then, since the isosceles triangle CEM has a vertex angle of 36°, the base CM is the golden part of the EC side, and since the five points of the starry pentagram are obviously all equal, it follows that AM = EN is the golden part of EM = A N. Therefore, determined on a segment its golden part, the remaining part is the golden part of the golden part etc., that is AE: AN = AN: EN = EN: NP …
The sides of the pentalpha determine a regular pentagon M N P Q R with side M N = l'₅ whose vertices are also vertices of another pentalpha whose side s'₅ is equal to A M, and we have the proportion
s₅ : l₅ = s'₅ : l'₅
in which each term is the golden part of the previous one.
We therefore, have:
s₅ : l₅ = l₅ : s'₅ = s'₅ : l'₅
The second pentalpha, in turn, determines a third inscribed pentagon having the side l"₅ and a third inscribed pentalpha with side s"₅, etc. and we have the chain of equal relations
s₅ : l₅ = s'₅ : l'₅ = s"₅ : 1"₅
in which each term is the golden part of the previous one.
We observe en passant that if we consider the successive arcs equal respectively to one tenth, two tenths, three tenths and four tenths of the circumference, and whose sum is equal to the entire circumference, their chords AB, UD, DG, GA form a quadrilateral whose sides are respectively the l₁₀ side of the inscribed decagon, the l₅ side of the inscribed pentagon, the s₁₀ side of the inscribed decal, and the s₅ side of the inscribed pentalpha, and whose diagonal BG is a diameter and divides the quadrilateral into two right-angled triangles, and we therefore have:
l²5 + l²10 + s²5 + s²10 = 8r²
that is, these four sides form a tetractys whose sum is equal to double the square of the diameter.
We now observe that if with a, b, c, d we indicate four segments such that each is the golden part of the previous one, we have:
a = b + c and b = c + d
a + d = b + c + b - c = 2 b
Therefore the second term of the succession of the four segments is the arithmetic mean of the extremes.
We then have the definition of the golden part
b² = a c c² = b d
and therefore b² c² = a b c d ed in fine b c = a d and the four segments form a proportion.
On the other hand, indicating with M the harmonic mean of the extremes a, d it is such that
a d = a + d   M
2
and therefore also
b c = b M
and therefore c = M; that is, the third term of the sequence is the harmonic mean of the extremes.
We can, therefore, state the property: If four segments are successive segments of one sequence such that each segment is the golden part of the previous one, they form a proportion, and the second segment is the arithmetic mean of the extremes, and the third is the harmonic mean of the extremes.
This proportion between four segments is also a special case of the Babylonian proportion, as was the proportion formed by the four strings of Philolaus' tetrachord. For the two quaternaries it also happens that the second term is the arithmetic mean of the extremes, and the third is the harmonic mean. In the case of Philolaus' tetrachord, the law of determination was that the first term was double the fourth: in this case the law of formation is that each term is the golden part of the previous one.
In conclusion: the side s₅ of the Pythagorean pentalpha is subdivided by two other sides of the same pentalpha into two intermediate points M and N such that A E: A N = A M: M N, which are respectively equal to

s₅, l₅, s'₅ , l'₅ that is, to   s₅,

In this proportion, each segment is the golden part of the previous one, and it happens as in the proportion of the four strings of the tetrachord that the second segment is the arithmetic mean of the extremes, and the third the harmonic mean of the extremes. Furthermore, just as the Pythagorean range is obtained with the law of fifth from the tetrachord of Philolaus, so each term of the chain of equal relations is obtained by taking the golden part of the previous term, that is, by dividing a circle into ten and five equal parts.
With this law of fifth, the tetrachord and octave are indefinitely prolonged in subsequent octaves, and the chain of equal relationships between the side of a pentalpha and that of the respective pentagon and the side of the consecutive pentagon and pentagon are prolonged. In sum, the pentalpha has a law of harmony imprinted in the natural subdivision of its sides because, like the sol [G] string which is the harmonic mean of the fundamental note and its harmonic, so the side of the pentagon is the harmonic mean between the entire side of the pentalpha and the part of it between two other sides of the pentalpha.
On the other hand, the last of the five Pythagorean and Platonic regular polyhedra, the regular dodecahedron, has twelve faces which are regular pentagons; and, by calling the apothem of this polyhedron with a, i.e., with 2 a the height of the dodecahedron or the distance between two parallel faces, it can be shown that the planes parallel to the two parallel bases, intermediate between them and passing respectively through the five vertices of the dodecahedron close to this base, divide the height 2 a of the dodecahedron into two points M and N such that, indicating with AB the height

A____________M______N____________B

Fig. 11

the segment AN = BM is the golden part of AD, the segment AM = BN is the golden part of AN, and the intermediate segment MN is the golden part of the segment A M. These four segments form a tetractys analogous to that formed by the four segments of the side of the pentalpha inscribed in the pentagonal face of the dodecahedron. To use a term of magic, it can be said that both the dodecahedron and its face bear the signature of the same harmony; the harmony of the pentalpha coincides with the harmony of the dodecahedron.
On the other hand, it can be shown that the golden part of the height 2'a is equal to the s₁₀ side of the decalfa [decagram] inscribed in the pentagonal face of the dodecahedron (decalfa that is obtained by joining the ten points of division of the circumference into ten equal parts of four in four), it can also be shown that the radius of the circumscribed circumference is the golden part of the side s₁₀ of the inscribed decagon and, lastly, we know that the side l₁₀ of the inscribed decagon is the golden part of the radius r. So that the tetractys of the four segments marked on the height of the dodecahedron is made up of the four segments: 2 a, s₁₀, r, l₁₀ which, therefore, constitute the geometric proportion

2 a : s₁₀ = r : l₁₀

in which each term is the golden part of the previous one; and, therefore, the second term is the arithmetic mean of the extremes, while the third term, i.e., the radius r, is the harmonic mean of the extremes. The dodecahedron therefore enjoys the property: The radius of the circumscribed circumference to the face of the dodecahedron is the harmonic mean between the height of the dodecahedron and the side of the regular decagon inscribed in the face.
This third Babylonian proportion between the tetractys of the four above-mentioned elements of the dodecahedron is also connected with the number of sides of the pentagonal face and with the number 12 of the faces of the polyhedron; as in the case of the tetrachord, the Babylonian proportion was connected with the law of fifth, with the five black keys of the piano, and with the twelve black and white keys of the octave. If we imagine to lead the twelve parallel planes to the twelve faces of the dodecahedron and passing through the next five vertices, they determine another regular dodecahedron inside the dodecahedron for which the same properties exist, and so on indefinitely.
Since in Pythagoreanism the seven liberal sciences were closely connected with each other and closely connected with the various arts, it can be expected that in the various arts there is a trace of the importance that the Pythagoreans attached to the golden part and the harmonic mean. In fact, the canon of Polykleitos' statuary is connected to the consideration of the harmonic mean, ³⁾ while instead the golden part has a great importance in pre-Periclean architecture. ⁴⁾

3)   See L. ROBIN, La pensée grecque [Greek thought], pag. 273.
4)   See M. CANTOR, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [Lectures on the history of mathematics], 2^a ed., I, 178.

Matila G. Ghyka calls the golden part the "Nombre d'Or" [golden number]; and this is the title of his main work dedicated to the study of sacred architecture of all times. Music, sculpture and architecture, all arts, conform to the law of universal harmony based on the properties of sacred numbers.
To fully understand the importance and meaning of what we found about the dodecahedron in the eyes of the Pythagoreans, we must remember that for them, and for Plato, the dodecahedron was the symbol of the universe, and that the five regular polyhedra, that is the cosmic figures, they were the symbol of the four elements and the universe. If we want to see why, there is only to read Plato's Timaeus, the Pythagorean dialogue par excellence.
The regular tetrahedron, with its four triangular faces, four vertices and six edges, was the symbol of fire: and it may be that this correspondence was determined by the shape of the solid, whose vertex recalls the tip of the flame that rises above the base, and has been confirmed by the incorrect etymology of the word pyramid used by the Greeks, instead of tetrahedron, from the Greek πΰρ [fire]. Each face is divided by the three diameters of the circumscribed circumference led to the vertices of the face into six equal right-angled triangles, and, considering the tetrahedra, which have the center of the regular tetrahedron as their common vertex, and the 24 equal triangles in which the surface is divided, the tetrahedron consists of 24 equivalent tetrahedra. Similarly, the octahedron has eight faces which are equilateral triangles, six vertices and 12 edges, so the surface of the octahedron is divided into 48 equal right-angled triangles, and correspondingly the polyhedron consists of 48 equivalent tetrahedra. Similarly, the icosahedron consists of twenty faces which are equilateral triangles, twelve vertices, and thirty edges: and its surface is divided into 120 equal right-angled triangles, and the icosahedron consists of 120 tetrahedra which have them as a base and have as common vertex the center of the polyhedron. Each regular polyhedron has a polar polyhedron for which the numbers of faces and vertices are exchanged, while the number of edges remains unchanged. The tetrahedron is self-polar; the polar polyhedron of the octahedron is the cube that has six square faces, eight vertices, and 12 edges. Philolaus saw in the cube the image of harmony, because the number of its vertices is the harmonic mean of the numbers of the faces and edges, which, of course, is also true for the octahedron. Each face of the cube is divided, by the diameter of the circumscribed circumference passing through the vertices, into four equal isosceles right-angled triangles; therefore, the surface of the cube is divided into 24 equal right-angled triangles, and the cube or hexahedron consists of 24 equivalent tetrahedra whose vertex is the center of the cube. After having attributed to each of these four polyhedra the correspondence with the elements fire, air, water and earth, Plato silences Timaeus whom he only let says: "There still remains a form of composition which is the fifth, of which God had made use for the design of the universe." We observe that Plato and the Pythagoreans knew that the regular polyhedra are only five, and five only, as is shown in a simple way; and we observe that also in this way of the cosmic figures one arrives at the number five.
As for the sudden and unexpected silence of Plato which truncates the exposition of the subject, it also attracted the attention of Robin, ⁵⁾ who limited himself to saying: "Au sujet du cinquième polyèdre regulier, le dodécaedre… Platon est très mysterieux" [About the fifth regular polyhedron, the dodecahedron … Plato is very mysterious] and he does not even attempt to investigate the reasons for Plato's sudden silence.

5)   ROBIN, La pensée grecque, p. 273.

Now then, the dodecahedron is the polar polyhedron of the icosahedron and, therefore, has twelve faces which are regular pentagons, it has twenty vertices and thirty edges. Applying the previous subdivision procedure to it, we find that the diameters of the circumscribed circumference of a face passing through the vertices divide it into ten equal right-angled triangles, but if the pentalpha is inscribed on the face, the whole pentagon is subdivided by the sides of the pentalpha and by the diameters passing through the vertices of the pentalpha in thirty right-angled triangles, which this time are not isosceles, are not even the very beautiful right-angled triangles dear to Timaeus (i.e., with the double hypotenuse of the minor cathetus), nor are they all the same or equivalent. On the other hand, the surface of the dodecahedron is thus divided into 360 triangles and, correspondingly, the dodecahedron decomposes into 360 tetrahedra which have them as their base and have the center of the polyhedron as their vertex. Now, 360 is the number of divisions of the twelve signs of the zodiac and is the number of days in the Egyptian year.
This is fully confirmed by what two ancient writers say. Alcinous, ⁶⁾ after having explained the nature of the first four polyhedra, says that the fifth has twelve faces like the zodiac has twelve signs, and adds that each face is composed of five triangles (with the center of the face for common vertex) of which each is composed of six others (determined by a diameter and two sides of the pentalpha). In total 360 triangles. Plutarch, in turn, ⁷⁾ after noting that each of the twelve pentagonal faces of the dodecahedron consists of thirty scalene right-angled triangles, adds that this shows that the dodecahedron represents both the zodiac and the year, because it is divided into the same number of parts of them. Plutarch clearly alludes to the Egyptian year consisting of 12 months each of thirty days, in which the five epagomenal days are not part of the [Egyptian] year.

6)   ALCINOUS, De doctrina Platonis [The teaching of Plato], Parigi, 1567, cap. II; cfr. anche l'opera di H. MARTIN, Etudes sur le Timée de Platon, Paris, 1841, II, 246.
7)   PLUTARCH, Questioni platoniche [Platonic issues], V, l.

To understand the importance of these mathematical observations in the eyes of the Pythagoreans and Plato, we must remember: 1st - that for them the triangle is the superficial atom (i.e., the last indivisible part) because it is the polygon having the necessary number of sides sufficient to delimit a portion of the plane, and that, correspondingly, the tetrahedron or pyramid is the solid atom because it is the polyhedron having the necessary and sufficient number of faces to delimit a portion of space.   2nd - That for the very definition of polygonal number, every polygonal number is always the sum of triangular numbers, and, for the definition of pyramidal number, every pyramidal number is the sum of tetrahedral numbers. So it was found that even the five cosmic figures, and in particular the symbol of the universe, were composed of tetrahedra, the entire universe was reduced to a sum of tetrahedral atoms.
The number twelve is the number of the faces of the dodecahedron and, consequently, is the number of the vertices of the polar polyhedron or of the icosahedron. Twelve is also the number of edges of the cube and of the polar polyhedron, that is, of the octahedron. If we consider the number twelve as constituted by the twelve vertices of a dodecahedron and we develop this dodecahedral number within one of the angles by taking its vertex as the center of omotetia, we obtain the subsequent dodecahedral numbers in the usual Pythagorean way. The formulas of the regular polyhedral numbers (with the exception of the tetrahedral number) were first determined by Descartes, and are found in one of his manuscripts which remained unpublished for over a century; in particular the n° dodecahedral number is given by the formula
Do (n) =   n (3 n - 1) (3 n - 2)
2
but the dodecahedral n° number can also be obtained thanks to a relationship between the pentagonal number and its gnomon. In fact, the pentagonal gnomons are the numbers of the arithmetic series 1, 4, 7, 10 … so that we have:
pentagonal gnomons     1 4 7 10 13 16 … (3 n - 2) …

pentagonal numbers     1 5 12 22 35 51 … n (3 n - 1)
2
and it happens that by adding to a pentagonal its gnomon we obtain the next pentagonal, and by multiplying a pentagonal by the previous gnomon, we obtain the corresponding dodecahedral number. Thus the succession of dodecahedral numbers is:
dodecahedral   1   20   84   220   816 … ;
the relationship between the pentagons and the dodecahedrons, which arithmetically corresponds to the relationship between the number of sides of the pentagonal faces and the number of faces of the dodecahedron. Also, in the extension of the tetrachord to the octave we have seen a connection appear between five and twelve. Similarly, the Egyptian triangle of hypotenuse 5 has the perimeter given by 12.
The number twelve on its own has traditionally already been a sacred and universal character. In addition to being the number of months of the year and the signs of the zodiac, twelve was in Greece, Etruria and Rome the number of the allowed gods, twelve the number of members of some priestly colleges in archaic Rome, twelve the number of rods of the Etruscan and Roman Fasces; and many surviving Celtic dodecahedrons attest the importance that the ancients attached to this number and to the dodecahedron. Facts and reasons that support the choice of the dodecahedron as a symbol of the universe.
The dodecahedron is inscribed in the sphere as in the Pythagorean cosmology the cosmos is enveloped by the band, the periékon; and as the cosmos contains within itself and consists of the four elements fire, air, earth, water, so the four regular polyhedra, which are its symbol, can be inscribed within the dodecahedron. It can in fact be shown how the hexahedron or cube can be inscribed in the sphere and in the dodecahedron; it can be easily shown how the icosahedron, having as vertex the centers of the twelve faces of the dodecahedron, is a regular inscribed icosahedron; and similarly for the octahedron having as vertices the centers of the six faces of a cube, and, finally, how we obtain from the cube a regular tetrahedron taking as vertices a vertex of the cube and the vertices of the cube opposite to it in the three faces of the cube therein congruent. The tetrad of the four elements is contained in the cosmos, and this in the band as the four regular polyhedra are contained in the fifth, and this in the circumscribed sphere.
Let's now take a break and take a look at the path we have traveled. First of all we have arrived at the tetractys (1, 2, 3, 4), tetractys equivalent to the Decad, and represented by the Delta existing in the sanctuary of Delphi, navel of the world. This tetractys contains in itself the other tetractys, that of Philolaus (1,   3 : 4,   2 : 3,   1 : 2), in which the same elements appear as in the first; and, extending the tetrachord of Philolaus, we found the law of fifth, and we arrived at numbers 5, 7, 12. The octave, or harmony as the Greeks said, is therefore potentially contained in the tetractys of Philolaus and, therefore, also in the tetractys depicted by the Delta. Furthermore, we geometrically arrived at the number five in two ways: through the Egyptian right-angled triangle which has 5 as its hypotenuse, and through the right-angled triangle of catheti 1 and 2, which has 5 as the square of the hypotenuse. ⁸⁾
This second path led us to the consideration of the golden part, to the division of the circumference into ten and five equal parts, to the pentalpha, the dodecahedron, and to the harmonic mean of the extreme segments of the two tetractys formed with the elements of these two figures. We have seen that the catechism of the Acousmatics places in the sanctuary of Delphi "the tetractys in which is the harmony in which the Sirens are." To understand the meaning of this answer from the Pythagorean catechism of the Acousmatics and why they showed so much interest in the subject, it remains only to see what the Sirens represent, connected in this way with harmony. This symbolism, observes Delatte, ⁹⁾ is completely foreign to the ordinary conception of the Sirens and must be explained by their identification with the harmony of the spheres and with the important function recognized to sacred music in the Pythagorean school. For Pythagoras, ¹⁰⁾ are the Sirens who personify this harmony. The same thing happens for Plato. ¹¹⁾ By imitating this sacred music with celestial music, the Pythagoreans ¹²⁾ hoped to assimilate their soul to divine wisdom and return after death among the blessed. ¹³⁾ Thus, Plutarch sees in Ulysses the philosopher who listens to this harmony to initiate himself into wisdom. Plato, ¹⁴⁾ dealing with the myth of Hero, says that the harmony of the spheres is produced by their revolutionary movement. Plato allegorically explains this harmony by supposing that a siren placed on each of these spheres makes her voice to be heard, and that the whole of these voices, which are in accord with each other, produces the harmony of the world. According to Iamblichus, ¹⁵⁾ the greatest revelation that Apollo-Pythagoras gave to the world is that of the harmony of the spheres and of the sapient music that is inspired by it. Iamblichus follows an ancient Pythagorean belief, according to which Pythagoras, the Pythian master, was an incarnation of Apollo, to whom the sanctuary of Delphi was sacred. The tetractys, writes Delatte, ¹⁶⁾ seems to owe to two causes the veneration that it was the object of among the Pythagoreans; from the scientific point of view it explained the laws of celestial and human music, and since harmony was the great law of the universe, ¹⁷⁾tetractys can be considered as the source and root of nature, as the oath over the tetractys; on the other hand, it allowed the Pythagoreans to imitate the harmony of the spheres with wise music and thus to approach divine perfection. The cathartic function of music made of tetractys a particularly precious doctrine for the contribution it made to moral and religious improvement. Thus, it is explained, according to Delatte, that the tetractys was one of the fundamental theories of the arithmological and religious philosophy of the Pythagoreans.
The arithmetic-geometric development of the sacred numbers that we have exposed goes from the consideration of the Delta or sacred triangle to that of the dodecahedron. Euclid's elements, in Euclid's text, begin without preamble with the consideration of the equilateral triangle and, according to Proclus' attestation, ¹⁸⁾ Euclid set the construction of the Platonic figures (regular polyhedra) as the final purpose of his Elements. Perhaps from the time of Pythagoras to that of Euclid, the beginning and end of geometry remained traditionally unchanged, and Euclid's function was to introduce his hasty postulate, thus reworking the proofs, and replacing, for example, his proof of Pythagoras' theorem to that of Pythagoras himself, which was certainly another.

8)   The consideration of cosmic figures or regular polyhedra also leads to the number five.
9)   DELATTE, Etudes…, 134.
10)   See DELATTE, Etudes…, 133.
11)   PLATO, Republic. X, 617
12)   DELATTE, Etudes…, 113.
13)   See IAMBLICHUS, Vita Pythagorae [Life of Pythagoras], 86; CICERO, Republic., V, 2; FAVOR., In somnium Scipionis [Dream of Scipio]; PLUTARCH, Quaestiones Convivales., 9, 14, 6, 2.
14)   PLATO, Rep. X, 617 and DELATTE, Etudes…, 260.
15)   See DELATTE, Etudes…, 65.
16)   DELATTE, Etudes…, 264.
17)   See ARISTOTLE, Metaf. I.
18)   PROCLUS to LORIA, Le scienze esatte [The exact sciences] …, 189.

According to what remains of the Pythagorean geometry, and according to the restoration that we have made of it about ten years ago, the Pythagorean geometry was a more general geometry than the Euclidean and Archimedean geometry, as it was independent of Euclid's postulate of parallels, and rhe postulate of Eudoxus-Archimedes. The starting and ending points were probably the same in the two geometries. In Euclid, however, the intent is purely geometric; while in Pythagoras, even if the development was purely geometric, the intent was certainly not, because the characteristic of Pythagorean philosophy was the ever-present connection of the various sciences with each other and, in particular, of geometry with arithmetic, music and astronomy. For the Pythagoreans and for Plato, geometry was a sacred, esoteric, secret science, just as for the freemasons geometry is the direct art of building and the science of "sacred numbers" known only to them; while Euclidean geometry, breaking all contacts and becoming an end in itself, degenerated into a magnificent profane science. The admirable synthesis of all the sciences and all the arts divined by the genius of Pythagoras disappeared, and the specialization began.
We have highlighted some traces of the profound link that united music with cosmology and arithmetic; but we believe that the scarcity and rarity of the traces is to be attributed precisely to the importance of the doctrine which was to constitute one of the secret teachings of the Pythagorean school; and a clue and, at the same time, an explanation is provided by the sudden reservation of Timaeus, in Plato's dialogue of the same name, as soon as he comes to speak of the dodecahedron. To reveal this secret would have been a blasphemy; and the Pythagorean legend wanted that sometimes such impiety was avenged by the daimonion, as had happened in the case of the Pythagorean Hippasus who, according to the legend, had died in a shipwreck for having published the inscription of the dodecahedron in the sphere. Plato had said enough: to say more would have been, if not imprudent, scandalous, and Plato reminds us μή εΐναι πρός πάντας πάντα ῥητά. [Not all things should be told to all]
As for the number seven, we have been able to reach it only by extending the tetrachord to the gamma and by considering the pyramidal numbers with a decagonal base. There is no right-angled triangle that has seven as its hypotenuse, or has seven as the square of the hypotenuse, and the same thing happens for the number eleven.
Seven is the only number of the decade that is motherless and virgin, άμήτωρ and παρθένος: and for this reason, as we have already said, it was compared and consecrated to Minerva, daughter of Jupiter but not of Juno, because she was born springing fully armed from the brain of Jupiter. Both Pallas Athena and the number seven have the prerogative of virginity and immaculate conception.
If we think that Minerva was known to be the goddess of Wisdom, the meaning of this symbol is quite clear: the divine wisdom does not belong to the world of generation; it is transcendent, Olympic, and humanly inconceivable. We also add that the magical tradition often links the gift of prophetic ability and clairvoyance to virginity: the Greek language, like the Italian language, designates with the same word κόρη the virgin and the pupil of the eye; and Cagliostro, who used the "pupils" as clairvoyants, called them pupils for this reason, and called them doves for their whiteness.

Even Clement of Alexandria ¹⁹⁾ notes that the number seven is a virgin and motherless, and the Christian writer Aristobulus identifies the septenary with spiritual light. Delatte observes in this regard that this theory is not, as one might believe, a Hebrew innovation, because it already appears in Philolaus, as evidenced by a passage from the Theologoumena: and it was taken up in the hymn to the number (Pythagorean-Orphic) according to Aristobulus. Aristobulus therefore had done nothing, according to his habit, other than to adapt this concept which suited him to the needs of Jewish apologetics. Seven was the number of the legendary sages of pre-Pythagorean Greece: and seven the number of the Pythagorean sciences, of the liberal arts, divided, perhaps by Boethius, into the sciences of the trivium and the quadrivium

19)   See DELATTE, Etudes..., 231 ff.

Catholicism, unlike the other Christian sects derived from Judaism, has recently added the dogma of the immaculate conception to that of the virginity of Mary: and attaches to these dogmas so much importance that it must be addressed in order to support them in the difficulties inherent in the well-known fact that the Gospel speaks several times of the brothers and sisters of Jesus. The difficulty is overcome by affirming that in the Gospel, and only in the Gospel, the word άδελφός does not mean brother — but cousin. Simple and convenient. The Pythagoreans and the classics, speaking of the Immaculate conception and virginity of the number seven and of Pallas Athena, did not need to support themselves with the acrobatics of hermeneutics: and even to us these fables of paganism do not seem as absurd as the paladins of hagiography
The derivation, or at least the reference, of this Catholic dogma to the ancient Pythagorean symbolism seems obvious to us, as it is certain that Aristobulus and Saint Clement drew from a Pythagorean source. And we do not want to pause to examine to what extent the figure of Mary, rather than reminding that of Minerva, recalls the figure of Isis, as shown by iconographic considerations. Instead, we want to mention the feats accomplished by certain Christian writers at the expense of Pythagorean mystical arithmetic. For example, Louis Claude de Saint-Martin, a Christian writer of the time of the French Revolution, called le philosophe inconnu [the unknown philosopher] and also le théosophe d'Amboise [the Theosophist of Amboise], indulges in his writings, and in particular in the posthumous work Des Nombres [about numbers], in his system of Christian mysticism of numbers; and raving devoutly, he does not hesitate to attach alleged errors to the Pythagoreans in order to be able to blame them as an exaltation of his own faith "beautiful, immortal, beneficial, to the accustomed triumphs." Saint-Martin states for example ²⁰⁾ that "Phythagore et ses disciples se sont trompés quand ils ont dit que 7 était sans père et sans mère [Phythagoras and his disciples were wrong when they said that 7 was fatherless and motherless], and justifies this sentence with the beautiful reason that "le nombre 4 est le père et la mère de l'homme qui, en effet selon la Genèse, fut créé mâle et femelle par cette puissance septénaire contenant 4 et 3." [the number 4 is the father and the mother of man who, in fact according to Genesis, was created male and female by this septenary power containing 4 and 3]. Now, Pythagoras and his disciples have never said anything like this, and the unknown philosopher makes all a confusion between what the Gospel tells about Melchizedek, who was fatherless and motherless, and the fact that seven was for the Pythagoreans a sacred number to Minerva because, like Minerva, she was a virgin and was not generated. And after similar confusion and ignorance of the Gospel as well, Saint-Martin did not hesitate to correct the supposed blunders of the Pythagoreans!

20)   LOUIS-CLAUDE DE SAINT-MARTIN, Des Nombres, Paris, 1801, pag. 48.

The number five or pentalpha is the symbol of harmony, and therefore also the symbol of the Pythagorean brotherhood, as the flaming star is the symbol of the Masonic brotherhood cemented by brotherly love. The Pythagoreans wrote the letters composing the word ύγίεια, i.e., health, at the vertices of the pentalpha, because the harmony of all the elements and all the functions of the body manifests itself as health, and the harmony of all the spiritual elements makes possible health or salvation, understood both in the eschatological sense of Orphism, and in the Pythagorean sense of palingenesis. The number seven is the symbol of wisdom.
The comparison between the sacred numbers of the Pythagoreans and the sacred numbers of Freemasonry cannot be made degree by degree because the separation of the Masonic ritual into the two distinct degrees of apprentice and fellow-craft is relatively recent, and the degree of master, with the relative ritual and catechism, is little more than two centuries old. In any case, it seems that the changes consisted of a simple distribution and some innovation, but that care was always taken to preserve the symbolic and ritualistic heritage of the order. Moreover, the distinction of the three degrees also falls within the spirit of traditional symbolism and is connected to the first of the sacred numbers. It can be roughly said that three is the number of the apprentice or novice, five is the number of the craftsman, and seven is the number of the master or worshipful master or grand master.
It is necessary, however, to accept with a certain discernment the variations, the additions and, especially, the explanations and comments of the relatively modern rituals and catechisms, in which elements that are not traditional have infiltrated, and which instead are often arbitrary and personal. For example, the orientalist Goblet d'Alviella, who was Sovereign Grand Commander of the Supreme Council of the ancient and accepted Scottish Rite of Belgium, has indianized the rituals of the higher degrees: and, since he was completely ignorant of hermeticism, he also real errors to his orientalist interpretation. Ragon, a writer of the last century, once known as the auteur sacré [sacred author] of Freemasonry, did his best in interpreting and commenting on rituals, but he filled them with moralistic definitions and considerations that don't have much to do with the Masonic esotericism and which by now smell stale: Wirth's three books are excellent, despite the personal propensity that he manifests for the hermetic interpretations and for the French school of occultism of E. Levi, Guaita, Papus, based on the Jewish cabala and tarot cards. The best is to stick to the old simple, gaunt, skeletal rituals. There are some English prior to 1730, French prior to 1750, and Italians prior to 1780, ²¹⁾ which are not derived from French Freemasonry.

21)   See PERICLE MARUZZI, Opere per una biblioteca massonica [Works for a Masonic library], Roma, 1921.

The two words lodge and mason are not words imported from English or French into Italian. They were in use in Italy since the fourteenth century; those of the Comacine masters [Fraternity] were called loggias, and Florence is full of ancient loggias like that of the Lanzi; the presumed derivation of the word lodge: from the word logos, which in Greek means verb or word, is without foundation and serves only to justify the veneration for the verse of St. John: in principio erat Verbum [In the beginning was the Word]. In architecture, loggia is a technical term that designates an open building, supported by columns or pillars, often built in the upper part of the buildings, for example the theater loggione [gallery], and is, therefore, an appropriate term to designate the Masonic temple supported by twelve columns, which has the sky as rhe vault.
Three are there are sublime lights in the Lodge, namely the Sun, the Moon, and the luminous Delta; three lights, i.e., the Worshipful Master and the two Overseers; three pillars, three windows, three moveable jewels, i.e., the square, the level, and the plumb rule; three immovable jewels, namely the rough ashlar; the pointed cubic stone [perfect ashlar], and the tracing board or drawing board, or tiercel board; and three ornaments, namely the mosaic pavement, the blazing star, and the undulating ribbon. Triple is the symbolic journey of the profane to be admitted to receive the light, triple the gavel knocks, the kiss, the tyling touch, triple the enigma proposed to the profane, and three the steps of the apprentice.
The task of the apprentice or novice is to rough-hewing, give shape, and smooth the rough stone; the task of the fellow-craft freemason is to come to see and understand the flaming star. To discover it, he must ascend five steps; he has the task of forming the cubic stone and squaring it so that it is suitable for the construction of the temple. He is distinguished by his knowledge of the blazing star, and, since the letter G appears in the interior of the pentagram in the rituals after 1737, it is also said that the fellow-craft's task is to know the letter G and its meaning as well. All rituals, let's all say, take care to remind that the letter G is the initial of Geometry, and the Scottish ones observe that it is the initial of God; other rituals and catechisms say that it is the initial of gnosis, generation, etc. The only coherent explanation is the first; and the five steps that the companion must ascend correspond to the fact that geometry is the fifth of the Pythagorean sciences, and, in our interpretation, to the fact that to reach the harmony symbolized by the flaming star it is necessary to extend the tetrachord or tetractys symbolized by the Delta with the law of fifth.

In the Lodge and framework of a Fellow-craft Lodge, the flaming star replaces the Delta between the Sun and the Moon [in the east above the Master's chair]; there are five lights instead of three: the tiling, the gavel knocks, the age and the steps are based on five instead of three.
There are seven steps to climb to ascend to the East, and seven are the steps to ascend to the Middle Chamber. Their number is that of the seven liberal sciences; the apprentice is required to know the first three, those of the trivium, purely human sciences; the fellow-craft must also know arithmetic and geometry; the master mason must manifestly also know the last two, music and the sphere [, that is the harmony of the seven notes and the harmony of the spheres [astronomy].
Lastly, seven are the knots of the undulating ribbon that wraps the columns of the temple.

CAPITOLO IV

Il pentalfa pitagorico e la stella fiammeggiante

Non entri nella mia scuola chi ignora la geometria,
Iscrizione sull'Ingresso della Scuola di Platone.

Siamo pervenuti al numero cinque partendo dal tetracordo di Filolao o dalla considerazione del triangolo egizio. Un'altra via, affine alla prima delle due precedenti, che ha condotto i pitagorici alla valutazione del numero cinque, è quella che parte dalla considerazione della parte aurea o sezione divina di un segmento di retta, e conduce allo studio del pentalfa o pentagramma, simbolo caratteristico del sodalizio pitagorico, ossia alla stella fiammeggiante simbolo caratteristico della fratellanza massonica.
Lo studio rigoroso dal punto di vista geometrico ed aritmetico di questo argomento richiederebbe un lungo sviluppo che abbiamo già fatto in un nostro precedente lavoro ¹⁾ Perciò ometteremo in generale le dimostrazioni rimandando il lettore a questo nostro lavoro, in cui si perviene ai risultati ed alla proprietà, di cui faremo uso, pitagoricamente, ossia senza ricorrere al postulato di Euclide.

1)   A. REGHINI, Per la restituzione delle geom.pit.

Una delle più importanti scoperte dei pitagorici è quella delle grandezze incommensurabili e conseguentemente dei numeri irrazionali. Il caso più semplice è quello della incommensurabilità della diagonale e del lato di un quadrato, ed Aristotile riporta la dimostrazione che ne davano i pitagorici. Essa è una conseguenza del teorema di Pitagora. Infatti se per assurdo la diagonale ed il lato del quadrato ammettessero una comune misura, se cioè la diagonale contenesse m volte un certo segmento ed il lato lo contenesse n volte, il quadrato costruito sul lato si potrebbe suddividere n² quadratini tutti eguali ed aventi per lato questo comune segmento, ed il quadrato costruito sulla diagonale si potrebbe suddividere in m² quadratini eguali ad essi: ed essendo pel teorema di Pitagora la somma dei quadrati costruiti sopra i cateti equivalente al quadrato costruito sopra l'ipotenusa bisognerebbe che il numero dei quadratini 2 n² contenuti entro i quadrati dei cateti fosse eguale al numero dei quadratini m² dell'ipotenusa, cioè dovrebbe essere 2 n² = m². Ora essendo n ed m due numeri interi, i due numeri della precedente eguaglianza dovrebbero contenere gli stessi fattori primi perché un numero si può decomporre in un unico modo in un prodotto di fattori primi; e questo non è possibile perché m dovrebbe contenere il due e quindi m² conterrebbe il due un numero pari di volte ed allora anche n dovrebbe contenere il due, n² lo conterrebbe un numero pari di volte e 2 n² lo conterrebbe un numero dispari di volte.
In particolare se il lato del quadrato è uno, il quadrato della diagonale è due e la diagonale è eguale al numero irrazionale √2. Siccome poi, dividendo la circonferenza in quattro parti eguali e riunendo ordinatamente i quattro punti di divisione, si ottiene il quadrato inscritto, si può anche dire che il lato del quadrato inscritto nella circonferenza di raggio unitario ha per misura il numero irrazionale √2. Questo segmento incommensurabile col segmento unitario si determina geometricamente colla massima semplicità. In simil modo considerando il triangolo rettangolo in cui l'ipotenusa è doppia del cateto minore si troverebbe che il cateto maggiore ha per misura il numero irrazionale √3, e considerando il triangolo rettangolo che ha un cateto doppio dell'altro si troverebbe che l'ipotenusa ha per misura √5. E, siccome è facile dimostrare che il lato dell'esagono regolare inscritto in una circonferenza è eguale al raggio della circonferenza, ne segue che il lato del triangolo equilatero inscritto è eguale al segmento che ha per misura √3. I due numeri irrazionali √2 e √3 sono rispettivamente la misura del lato del quadrato e del lato del triangolo regolari inscritti nella circonferenza, e sono due segmenti incommensurabili col segmento unitario di cui è facile la determinazione per via geometrica.


Il numero √5 è connesso invece, sebbene in modo meno semplice, con la divisione della circonferenza in dieci e cinque parti eguali, e con la misura del lato del pentagono inscritto e del lato del decagono regolare inscritto. Si chiama parte aurea di un segmento od anche sezione divina quella parte del segmento tale che il quadrato che ha questo lato equivale al rettangolo che ha per lati l'intiero segmento e la parte rimanente. La determinazione per via geometrica della parte aurea di un segmento si può ottenere mediante due costruzioni; e con la teoria delle proporzioni la parte aurea di un segmento si può anche definire come la media geometrica o proporzionale tra l'intiero segmento e la parte rimanente. Si può allora dimostrare che nel triangolo isoscele che ha l'angolo al vertice eguale alla metà dell'angolo alla base, la base è la parte aurea del lato; e, siccome tale angolo al vertice ha l'ampiezza di 36°, ne segue che, divisa la circonferenza in dieci parti eguali, il lato del decagono regolare inscritto è la parte aurea del raggio; viceversa l'arco che ha per corda la parte aurea del raggio ha l'ampiezza di 36° gradi ed è la decima parte dell'intiera circonferenza. Ne segue la consueta determinazione della parte aurea del raggio O A di una circonferenza e la divisione della circonferenza in dieci parti eguali.

Si conduce pel centro O il raggio O B perpendicolare al raggio O A e, preso il punto medio C di questo raggio O B, si descrive il cerchio di centro C e raggio C O: il diametro A C incontra questa circonferenza in due punti D, E ed accade che il raggio O A è medio proporzionale tra l'intiera secante A E e la sua parte esterna A D. Dividendo questa proporzione se ne deduce che la parte esterna A D = A M è la parte aurea del raggio A O. Per l'unicità della parte aurea il triangolo isoscele di lato O A e base A D = A M ha l'angolo al vertice di 36° e quindi A M è il lato del decagono regolare inscritto; e perciò riportando il segmento A M come corda dieci volte a partire dal punto A si divide la circonferenza in dieci parti eguali; e quindi anche in cinque prendendo alternativamente i punti di divisione ²⁾.

2)   Il pentagono regolare, e quindi anche il decagono ed il pentalfa, si possono costruire anche senza compasso partendo da una striscia a lati paralleli. Basta annodarla e tirare come si fa per il nodo della cravatta. Si può riconoscere e dimostrare facilmente che essa si ripiega secondo tre segmenti eguali A B, C D, E A ed i due segmenti D E e C B resultano anche essi uguali agli altri tre. La striscia esce dalle parti dei lati D E e C B del pentagono e si ha la figura di una mitra vescovile (la figura dell'alfiere [bishop] in inglese nel giuoco degli scacchi) od anche del grembiule del compagno. Il nastro dentellato o catena di unione che è avvolto ed annodato attorno alle colonne del tempio, le quali sono dieci togliendone le due colonne all'entrata del tempio, forma dieci di questi nodi pentagonali, come i dieci pentagoni regolari combacianti circoscritti ad un decagono regolare.

Se il raggio O A è eguale ad uno, il raggio O C è 1 : 2, l'ipotenusa A O del triangolo rettangolo A O C è

e la parte aurea A D ha per misura

Quindi il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio uno è la parte aurea del raggio ed ha per misura

Se invece di riunire il punto A di divisione della circonferenza in cinque parti eguali con il punto seguente C si riunisce il punto A col terzo punto di divisione E e questo col quinto I e così via si ottiene il pentagramma stellato così chiamato perché composto di cinque linee, detto anche pentalfa perché contiene cinque volte la lettera A formata ad esempio dalle due corde A E ed A G e dal segmento M R della corda C I. Il termine pentalfa si trova nell'aritmetica del padre Kircher (1665), ma il termine decalca, evidentemente formato a simiglianza del primo, si trova già in Plutarco. Comunque non è questo che ci interessa.
Siccome manifestamente I C è parallela a G E il quadrilatero C E G R è un parallelogrammo, anzi è un rombo, perché E C ed E G sono eguali come lati del pentagono regolare inscritto; ed è agevole riconoscere che il triangolo isoscele A E G ha l'angolo al vertice di 36°, e quindi che E G = E C = E M è la parte aurea del lato A E del pentalfa. Chiameremo l₅ il lato E G del pentagono regolare ed s₅ il lato A E del pentalfa; e possiamo dire che: 1° - il lato l₅ del pentagono è la parte aurea del lato s5 del pentalfa; 2° che il lato s5 = A E del pentalfa è diviso in due punti M, N da altri due lati del pentalfa in modo che la parte A N = E M è la parte aurea di tutto il lato s₅.

Siccome poi il triangolo isoscele C E M ha l'angolo al vertice di 36°, la base C M è la parte aurea del lato E C, e siccome le cinque punte del pentagramma stellato sono manifestamente tutte eguali ne segue che A M = E N è la parte aurea di E M = A N. Perciò determinata sopra un segmento la sua parte aurea, la parte rimanente è la parte aurea della parte aurea ecc., cioè A E : A N = A N: E N = E N : N P…
I lati del pentalfa determinano un pentagono regolare M N P Q R di lato M N = l'₅ i cui vertici sono anche vertici di un altro pentalfa il cui lato s'₅ è eguale ad A M, e si ha la proporzione
s₅ : l₅ = s'₅ : l'₅
in cui ogni termine è la parte aurea del precedente.
Si ha cioè:
s₅ : l₅ = l₅ : s'₅ = s'₅ : l'₅
Il secondo pentalfa determina a sua volta un terzo pentagono inscritto di lato l"₅ ed un terzo pentalfa inscritto di lato s"₅ ecc. e si ha la catena di rapporti eguali
s₅ : l₅ = s'₅ : l'₅ = s"₅ : 1"₅
nella quale ogni termine è la parte aurea del precedente.
Osserviamo en passant che se si considerano gli archi successivi eguali rispettivamente ad un decimo, due decimi, tre decimi e quattro decimi della circonferenza e la cui somma è eguale all'intiera circonferenza, le loro corde A B, U D, D G, G A formano un quadrilatero i cui lati sono rispettivamente il lato l₁₀ del decagono inscritto, il lato l₅ del pentagono inscritto, il lato s₁₀ del decalfa inscritto ed il lato s₅ del pentalfa inscritto e la cui diagonale B G è un diametro e divide il quadrilatero in due triangoli rettangoli, e si ha quindi:

l²5 + l²10 + s²5 + s²10 = 8r²
questi quattro lati formano cioè una tetractis la cui somma è eguale al doppio del quadrato del diametro.
Osserviamo ora che se con a, b, c, d indichiamo quattro segmenti tali che ciascuno sia la parte aurea del precedente si ha:
a = b + c e b = c + d
a + d = b + c + b - c = 2 b
Perciò il secondo termine della successione dei quattro segmenti è la media aritmetica degli estremi.
Si ha poi per la definizione di parte aurea
b² = a c c² = b d
e quindi b² c² = a b c d ed in fine b c = a d ed i quattro segmenti formano una proporzione.
D'altra parte indicando con M la media armonica degli estremi a, d essa è tale che
a d = a + d   M
2
e quindi anche
b c = b M
e quindi c = M; ossia il terzo termine della successione è la media armonica degli estremi.
Possiamo dunque enunciare la proprietà: Se quattro segmenti sono segmenti successivi di una successione tale che ogni segmento è la parte aurea del precedente essi formano una proporzione ed il secondo segmento è la media aritmetica degli estremi ed il terzo è la media armonica degli estremi.

Anche questa proporzione tra quattro segmenti è un caso particolare della proporzione babilonese come lo era la proporzione formata dalle quattro corde del tetracordo di Filolao. Per le due quaterne accade egualmente che il secondo termine è la media aritmetica degli estremi ed il terzo la media armonica. Nel caso del tetracordo di Filolao la legge di determinazione era che il primo termine fosse il doppio del quarto: in questo caso la legge di formazione è che ogni termine sia la parte aurea del precedente.
Concludendo: il lato s₅ del pentalfa pitagorico è suddiviso da altri due lati del pentalfa stesso in due punti intermedi M ed N tali che A E : A N = A M : M N che sono rispettivamente eguali ad

s₅, l₅, s'₅ , l'₅ ossia ad   s₅,

In questa proporzione ogni segmento è la parte aurea del precedente, ed accade come nella proporzione delle quattro corde del tetracordo che il secondo segmento è la media aritmetica degli estremi ed il terzo la media armonica degli estremi. Inoltre, come la gamma pitagorica si ottiene con la legge di quinta dal tetracordo di Filolao, così ogni termine della catena dei rapporti eguali si ottiene prendendo la parte aurea del termine precedente, ossia mediante la divisione di una circonferenza in dieci e cinque parti eguali.
Con questa legge di quinta si prolunga indefinitamente il tetracordo e l'ottava nelle ottave successive e si prolunga la catena dei rapporti eguali tra il lato di un pentalfa e quello del rispettivo pentagono ed il lato del pentalfa e del pentagono consecutivi. In somma il pentalfa reca impressa nella suddivisione naturale dei suoi lati una legge di armonia perché a somiglianza della corda del sol che è la media armonica della corda fondamentale e della sua armonica, così il lato del pentagono è la media armonica tra l'intiero lato del pentalfa e la parte di esso compresa tra altri due lati del pentalfa.

D'altra parte l'ultimo dei cinque poliedri regolari pitagorici e platonici, il dodecaedro regolare, ha dodici faccie che sono dei pentagoni regolari; e, chiamando con a l'apotema di questo poliedro, ossia con 2 a l'altezza del dodecaedro o la distanza tra due faccie parallele, si può dimostrare che i piani paralleli alle due basi parallele, intermedii tra esse e passanti rispettivamente per i cinque vertici del dodecaedro prossimi a tale base, dividono l'altezza 2 a del dodecaedro in due punti M ed N tali che, indicando con A B l'altezza

A____________M______N____________B

Fig. 11

il segmento A N = B M è la parte aurea di A D, il segmento A M = B N è la parte aurea di A N ed il segmento intermedio M N è la parte aurea del segmento A M. Questi quattro segmenti formano una tetractis analoga a quella formata dai quattro segmenti del lato del pentalfa inscritto nella faccia pentagonale del dodecaedro. Per adoperare un termine della magia si può dire che tanto il dodecaedro quanto la sua faccia portano la segnatura di una stessa armonia; l'armonia del pentalfa coincide con l'armonia del dodecaedro.

D'altra parte si può dimostrare che la parte aurea dell'altezza 2'a è eguale al lato s₁₀ del decalfa inscritto nella, faccia pentagonale del dodecaedro (decalfa che si ottiene riunendo i dieci punti di divisione della circonferenza in dieci parti eguali di quattro in quattro), si può pure dimostrare che il raggio della circonferenza circoscritta è la parte aurea del lato s₁₀ del decalfa inscritto, ed in fine sappiamo che il lato l₁₀ del decagono inscritto è la parte aurea del raggio r. Dimodoché la tetractis dei quattro segmenti segnati sull'altezza del dodecaedro è costituita dai quattro segmenti:
2 a, s₁₀, r, l₁₀ i quali adunque costituiscono la proporzione geometrica

2 a : s₁₀ = r : l₁₀

in cui, ogni termine è la parte aurea del precedente; e quindi il secondo termine è la media aritmetica degli estremi mentre il terzo termine ossia il raggio r è la media armonica degli estremi. Il dodecaedro gode dunque della proprietà: Il raggio della circonferenza circoscritta alla faccia del dodecaedro è la media armonica tra l'altezza del dodecaedro ed il lato del decagono regolare inscritto nella faccia.

Questa terza proporzione babilonese tra la tetractis dei quattro elementi su indicati del dodecaedro è connessa anche essa con il numero dei lati della faccia pentagonale e con il numero 12 delle faccie del poliedro; come nel caso del tetracordo la proporzione babilonese era connessa con la legge di quinta, coi cinque tasti neri del pianoforte e con i dodici tasti bianchi e neri dell'ottava. Se si immagina di condurre i dodici piani paralleli alle dodici faccie del dodecaedro e passanti per i cinque vertici prossimi, essi determinano nell'interno del dodecaedro un altro dodecaedro regolare per il quale sussistono le stesse proprietà e cosi via indefinitamente.

Siccome nel pitagoreismo le sette scienze liberali erano strettamente connesse tra loro e strettamente connesse con le varie arti, si può prevedere che nelle varie arti si trovi la traccia dell'importanza che i pitagorici annettevano alla parte aurea ed alla media armonica. Difatti il canone della statuaria di Polycleto si connette alla considerazione della media armonica ³⁾, mentre invece la parte aurea ha una grande importanza nell'architettura pre-periclea ⁴⁾.

3)   Cfr. L. ROBIN, La pensée grecque, pag. 273.
4)   Cfr. M. CANTOR, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2^a ed., I, 178.

Il Matila G. Ghyka chiama la parte aurea le «Nombre d'Or»; ed è questo il titolo della sua opera principale dedicata allo studio dell'architettura sacra di tutti i tempi. La musica, la scultura e l'architettura, le arti tutte, si conformano alla legge dell'armonia universale basata sopra le proprietà dei numeri sacri.
Per comprendere appieno quale importanza e significato dovesse avere agli occhi dei pitagorici quanto abbiamo trovato a proposito del dodecaedro bisogna ricordare che per essi e per Platone il dodecaedro era il simbolo dell'universo, e che i cinque poliedri regolari, ossia le figure cosmiche, erano il simbolo dei quattro elementi e dell'universo. Se vogliamo vederne il perché non vi è che da leggere il Timeo di Platone, il dialogo pitagorico per eccellenza.
Il tetraedro regolare con le sue quattro faccie triangolari, quattro vertici e sei spigoli, era il simbolo del fuoco: e può darsi che questa corrispondenza sia stata determinata dalla conformazione del solido il cui vertice ricorda la punta della fiamma, che si eleva sopra la base e sia stata avvalorata dalla errata etimologia della parola piramide usata dai greci invece di tetraedro dal greco πΰρ fuoco. Ogni faccia è suddivisa dai tre diametri della circonferenza circoscritta condotti per i vertici della faccia in sei triangoli rettangoli eguali tra loro, e, considerando i tetraedri che hanno per vertice comune il centro del tetraedro regolare e per base i 24 triangoli eguali in cui è divisa la superficie, il tetraedro consta di 24 tetraedri equivalenti. In simil modo l'ottaedro ha otto faccie che sono dei triangoli equilateri, sei vertici e 12 spigoli, quindi la superficie dell'ottaedro è suddivisa in 48 triangoli rettangoli eguali, e corrispondentemente il poliedro consta di 48 tetraedri equivalenti. Analogamente l'icosaedro consta di venti faccie che sono triangoli equilateri dodici vertici e trenta spigoli: e la sua superficie è suddivisa in 120 triangoli rettangoli eguali e l'icosaedro consta di 120 tetraedri che li hanno per base ed hanno per vertice comune il centro del poliedro. Ogni poliedro regolare ha un poliedro polare per il quale i numeri delle faccie e dei vertici si scambiano mentre il numero degli spigoli resta invariato. Il tetraedro è autopolare; il poliedro polare dell'ottaedro è il cubo che ha sei faccie quadrate, otto vertici e 12 spigoli.
Filolao vedeva nel cubo l'immagine dell'armonia perché il numero dei suoi vertici è la media armonica dei numeri delle faccie e degli spigoli, cosa che naturalmente accade anche per l'ottaedro. Ogni faccia del cubo è suddivisa dai diametri della circonferenza circoscritta passanti per i vertici in quattro triangoli rettangoli isosceli eguali; quindi la superficie del cubo è suddivisa in 24 triangoli rettangoli eguali ed il cubo od esaedro consta di 24 tetraedri equivalenti il cui vertice è il centro del cubo. Dopo avere attribuito a ciascuno di questi quattro poliedri la corrispondenza con l'elemento fuoco, aria, acqua e terra, Platone fa tacere Timeo cui fa dire soltanto: «Rimane così ancora una forma di composizione che è la quinta, di quello si fu giovato Iddio per lo disegno dell'universo». Osserviamo che Platone ed i pitagorici sapevano che i poliedri regolari sono cinque e cinque soltanto, come si dimostra in modo semplice; ed osserviamo che anche per questa via delle figure cosmiche si perviene al numero cinque.

Quanto all'improvviso ed inaspettato silenzio di Platone che tronca l'esposizione dell'argomento, esso ha dato nell'occhio anche al Robin ⁵⁾, il quale si limita a dire: «Au sujet du cinquième polyèdre regulier, le dodécaedre… Platon est très mysterieux» e non tenta neppure di indagare le ragioni del subito silenzio di Platone.

5)   ROBIN, La pensée grecque, p. 273.

Ora il dodecaedro è il poliedro polare dell'icosaedro ed ha pertanto dodici faccie che sono dei pentagoni regolari, ha venti vertici e trenta spigoli. Applicando ad esso il procedimento di suddivisione precedente si trova che i diametri della circonferenza circoscritta ad una faccia passanti per i vertici la suddividono in dieci triangoli rettangoli eguali, ma se nella faccia si inscrive il pentalfa tutto il pentagono viene suddiviso dai lati del pentalfa e dai diametri passanti per i vertici del pentalfa in trenta triangoli rettangoli, i quali questa volta non sono isosceli, non sono neppure i triangoli rettangoli bellissimi cari a Timeo (cioè con l'ipotenusa doppia del cateto minore) e non sono neppure tutti eguali né equivalenti. In compenso la superficie del dodecaedro si suddivide in tal modo in 360 triangoli, e corrispondentemente il dodecaedro si decompone in 360 tetraedri che li hanno per base ed hanno per vertice il centro del poliedro. Ora 360 è il numero delle divisioni dei dodici segni dello zodiaco, ed è il numero dei giorni dell'anno egizio.


La cosa è pienamente confermata da quanto dicono due antichi scrittori. Alcinoo ⁶⁾, dopo avere spiegato la natura dei primi quattro poliedri, dice che il quinto ha dodici facce come lo zodiaco ha dodici segni, ed aggiunge che ogni faccia è composta di cinque triangoli (col centro della faccia per vertice comune) di cui ciascuno è composto di altri sei (determinati da un diametro e da due lati del pentalfa). In totale 360 triangoli. Plutarco a sua volta ⁷⁾, dopo avere constatato che ognuna delle dodici faccie pentagonali del dodecaedro consta di trenta triangoli rettangoli scaleni, aggiunge che questo mostra che il dodecaedro rappresenta tanto lo zodiaco che l'anno perché si suddivide nel medesimo numero di parti di essi. Plutarco allude manifestamente all'anno egizio composto di 12 mesi ciascuno di trenta giorni, nel quale i cinque giorni epagomeni non fanno parte dell'anno.

6)   ALCINOO, De doctrina Platonis, Parigi, 1567, cap. II; cfr. anche l'opera di H. MARTIN, Etudes sur le Timée de Platon, Paris, 1841, II, 246.
7)   PLUTARCO, Questioni platoniche, V, l.

A ben comprendere l'importanza agli occhi dei pitagorici e di Platone di queste osservazioni matematiche occorre ricordare: 1° - che per essi il triangolo è l'atomo (ossia la parte ultima indivisibile) superficiale perché è il poligono avente il numero di lati necessario e sufficiente a delimitare una porzione di piano, e che corrispondentemente il tetraedro o piramide è l'atomo solido perché è il poliedro avente il numero di faccie necessario e sufficiente a delimitare una porzione di spazio. 2° - Che per la definizione stessa di numero poligonale, ogni numero poligonale è sempre somma di triangolari e per la definizione di numero piramidale ogni numero piramidale è somma di numeri tetraedrici. Sicché si veniva a constatare che anche le cinque figure cosmiche ed in particolare il simbolo dell'universo erano composti di tetraedri, l'intiero universo si riduceva ad una somma di atomi tetraedrici.

Il numero dodici è il numero delle faccie del dodecaedro e conseguentemente è il numero dei vertici del poliedro polare ossia dell'icosaedro. Dodici è anche il numero degli spigoli del cubo e del poliedro polare ossia dell'ottaedro. Se consideriamo il numero dodici come costituito dai dodici vertici di un dodecaedro e sviluppiamo questo numero dodecaedrico entro uno degli angoloidi prendendone il vertice come centro di omotetia si ottengono nel solito modo pitagorico i successivi numeri dodecaedrici. Le formole dei numeri poliedrici regolari (ad eccezione del numero tetraedrico) sono state determinate la prima volta da Cartesio, e si trovano in un suo manoscritto rimasto inedito per oltre un secolo; in particolare l'n° numero dodecaedrico è dato dalla formola

Do (n) =   n (3 n - 1) (3 n - 2)
2
ma l'n° numero dodecaedrico si può anche ottenere grazie ad una relazione tra l'n° numero pentagonale ed il suo gnomone. Infatti gli gnomoni pentagonali sono i numeri della serie aritmetica 1, 4, 7, 10 … di modo che si ha:
gnomoni pentagonali     1 4 7 10 13 16 … (3 n - 2) …

numeri pentagonali 1 5 12 22 35 51 … n (3 n - 1)
2
ed accade che aggiungendo ad un pentagonale il suo gnomone si ottiene il pentagonale successivo, e moltiplicando un pentagonale per lo gnomone precedente si ottiene il corrispondente numero dodecaedrico. Così la successione dei numeri dodecaedrici è:
dodecaedrici 1   20   84   220   816 … ;
relazione tra i pentagonali ed i dodecaedrici che corrisponde aritmeticamente alla relazione tra il numero dei lati delle faccie pentagonali ed il numero delle faccie del dodecaedro. Anche nella estensione del tetracordo all'ottava abbiamo veduto comparire una connessione tra il cinque ed il dodici. Così pure il triangolo egizio di ipotenusa 5 ha il perimetro dato dal 12.

Il numero dodici per conto suo ha già tradizionalmente un carattere sacro ed universale. Oltre ad essere il numero dei mesi dell'anno e dei segni dello zodiaco, dodici era in Grecia, Etruria e Roma il numero degli Dei consenti, dodici il numero dei componenti alcuni collegi sacerdotali nella Roma arcaica, dodici il numero delle verghe del fascio etrusco e romano; e molti dodecaedri celtici pervenutici attestano l'importanza che gli antichi annettevano a questo numero ed al dodecaedro. Fatti e ragioni che avvalorano la scelta del dodecaedro come simbolo dell'universo.

Il dodecaedro è inscritto nella sfera come nella cosmologia pitagorica il cosmo è avvolto dalla fascia, il periékon; e come il cosmo contiene in sé e consta dei quattro elementi fuoco, aria, terra, acqua, così i quattro poliedri regolari che ne sono il simbolo si possono inscrivere entro il dodecaedro. Si può infatti mostrare come si possa inscrivere l'esaedro o cubo nella sfera e nel dodecaedro; si può mostrare facilmente come l'icosaedro avente per vertici i centri delle dodici faccie del dodecaedro sia un icosaedro regolare inscritto; ed analogamente per l'ottaedro avente per vertici i centri delle sei faccie di un cubo, ed in fine come si ottenga dal cubo un tetraedro regolare prendendo come vertici un vertice del cubo ed i vertici del cubo ad esso opposti nelle tre faccie del cubo ivi congruenti. La tetrade dei quattro elementi è contenuta nel cosmo e questo nella fascia come i quattro poliedri regolari sono contenuti nel quinto e questo nella sfera circoscritta.

Facciamo ora una sosta e diamo un'occhiata al cammino percorso. Siamo pervenuti anzi tutto alla tetractis (1, 2, 3, 4), tetractis equivalente alla Decade, e raffigurata dal Delta esistente nel santuario di Delfo, ombelico del mondo. Questa tetractis contiene in sé stessa l'altra tetractis, quella di Filolao (1, 3 : 4, 2 : 3, 1 : 2), nella quale compaiono gli stessi elementi che compaiono nella prima; ed, estendendo il tetracordo di Filolao, abbiamo trovato la legge di quinta e siamo pervenuti ai numeri 5, 7, 12. L'ottava, o l'armonia come dicevano i Greci, è quindi contenuta potenzialmente nella tetractis di Filolao e quindi anche nella tetractis raffigurata dal Delta. Inoltre siamo pervenuti al numero cinque per via geometrica in due modi: mediante il triangolo rettangolo egizio che ha il 5 per ipotenusa e mediante il triangolo rettangolo di cateti uno e due che ha il 5 per quadrato dell'ipotenusa ⁸⁾.
Questa seconda via ci ha condotto alla considerazione della parte aurea, alla divisione della circonferenza in dieci e cinque parti eguali, al pentalfa, al dodecaedro, ed alla media armonica dei segmenti estremi delle due tetractis formate con gli elementi di queste due figure. Abbiamo veduto che il catechismo degli Acusmatici pone nel santuario di Delfo «la tetractis in cui è l'armonia in cui sono le Sirene». Per comprendere il senso di questa risposta del catechismo pitagorico degli Acusmatici ed il perché essi mostrassero tanto interesse per l'argomento ci resta solo da vedere che cosa rappresentino le Sirene connesse in questo modo con l'armonia. Questo simbolismo, osserva il Delatte ⁹⁾, è completamente estraneo alla concezione ordinaria delle Sirene e deve spiegarsi con la loro identificazione con l'armonia delle sfere e con la funzione importante riconosciuta alla musica sacra nella scuola pitagorica. Per Pitagora ¹⁰⁾ sono le Sirene che personificano questa armonia. La stessa cosa accade per Platone ¹¹⁾. Imitando con la musica sacra questa musica celeste i pitagorici ¹²⁾ speravano assimilare la loro anima alla sapienza divina e tornare dopo la morte tra i beati ¹³⁾. Così Plutarco vede in Ulisse il filosofo che ascolta questa armonia per iniziarsi alla sapienza. Platone ¹⁴⁾, occupandosi del mito di Ero, dice che l'armonia delle sfere è prodotta dal loro movimento di rivoluzione. Platone spiega allegoricamente questa armonia supponendo che una sirena collocata su ciascuna di queste sfere fa intendere la sua voce, e che l'insieme di queste voci che si accordano tra loro produce l'armonia del mondo. Secondo Giamblico ¹⁵⁾ la più grande rivelazione che Apollo-Pitagora ha fatto al mondo è quella dell'armonia delle sfere e della musica sapiente che se ne inspira. Giamblico segue una antica credenza pitagorica, secondo la quale Pitagora, il maestro Pitio, era una incarnazione di Apollo, cui era sacro il santuario di Delfo.
La tetractis, scrive il Delatte ¹⁶⁾, sembra dovere a due cause la venerazione di cui era oggetto presso i pitagorici; dal punto di vista scientifico essa spiegava le leggi della musica celeste ed umana, e siccome l'armonia era la grande legge dell'universo ¹⁷⁾, la tetractis può essere considerata come la sorgente e la radice della natura, come afferma il giuramento per la tetractis; d'altra parte essa permetteva ai pitagorici di imitare con la musica sapiente l'armonia delle sfere e di approssimarsi così alla perfezione divina. La funzione catartica della musica fece della tetractis una dottrina particolarmente preziosa per il contributo che essa apportava al perfezionamento morale e religioso. Così si spiega secondo il Delatte che la tetractis fu una delle teorie fondamentali della filosofia aritmologica e religiosa dei pitagorici.

Lo sviluppo aritmetico-geometrico dei numeri sacri che abbiamo esposto va dalla considerazione del Delta o triangolo sacro a quella del dodecaedro. Gli elementi di Euclide, nel testo di Euclide, hanno inizio senza preamboli con la considerazione del triangolo equilatero e, secondo la attestazione di Proclo ¹⁸⁾, Euclide pose per scopo finale dei suoi Elementi la costruzione delle figure platoniche (poliedri regolari). Forse dal tempo di Pitagora a quello di Euclide l'inizio ed il fine della geometria rimasero tradizionalmente immutati, e la funzione di Euclide fu quella di introdurre il suo spicciativo postulato, rimaneggiando in tal modo le dimostrazioni e sostituendo per esempio la sua dimostrazione del teorema di Pitagora a quella dello stesso Pitagora che era certamente un'altra.

8)   Anche la considerazione delle figure cosmiche o poliedri regolari conduce al numero cinque.
9)   DELATTE, Etudes…, 134.
10)   Cfr. DELATTE, Etudes…, 133.
11)   PLATONE, Rep. X, 617
12)   DELATTE, Etudes…, 113.
13)   Cfr. GIAMBLICO, Vita Pythagorae, 86; CICERONE, Rep., V, 2; FAVOR., In somnium Scipionis; PLUTARCO, Quaestiones Conv., 9, 14, 6, 2.
14)   PLATONE, Rep. X, 617 e DELATTE, Etudes…, 260.
15)   Cfr. DELATTE, Etudes…, 65.
16)   DELATTE, Etudes…, 264.
17)   Cfr. ARISTOTILE, Metaf. I.
18)   PROCLO ap. LORIA, Le scienze esatte…, 189.

Secondo quanto resta della geometria pitagorica e secondo la restituzione che ne abbiamo fatta una diecina di anni sono, la geometria pitagorica era una geometria più generale della geometria euclidea e di quella Archimedea in quanto che era indipendente dal postulato di Euclide delle parallele e dal postulato di Eudosso-Archimede. Il punto di partenza e quello di arrivo erano probabilmente gli stessi nelle due geometrie. In Euclide però l'intento è puramente geometrico; mentre in Pitagora, anche se lo svolgimento era puramente geometrico, l'intento non lo era certamente, perché la caratteristica della filosofia pitagorica era la connessione sempre presente delle varie scienze tra loro ed in particolare della geometria con l'aritmetica, la musica e l'astronomia. Per i Pitagorici e per Platone la geometria era, una scienza sacra, esoterica, segreta, come per i liberi muratori la geometria è l'arte regia della edificazione e la scienza dei «numeri sacri» noti solo ad essi; mentre, la geometria euclidea, spezzando tutti i contatti e divenendo fine a sé stessa, degenerò in una magnifica scienza profana. La mirabile sintesi di tutte le scienze e di tutte le arti divinata dal genio di Pitagora scomparve, e cominciò la specializzazione.
Abbiamo messo in luce qualche traccia del legame profondo che univa là musica con la cosmologia e con l'aritmetica; ma riteniamo che la scarsità e la rarità delle traccie sia da attribuire proprio alla importanza della dottrina che doveva costituire uno degli insegnamenti segreti della scuola pitagorica; ed un indizio e nel medesimo tempo una spiegazione la fornisce la subita riserva di Timeo nel dialogo platonico omonimo appena giunge a parlare del dodecaedro. Rivelare questo segreto sarebbe stata una empietà; e la leggenda pitagorica voleva che talora una tale empietà fosse vendicata dal daimonion, come era accaduto nel caso del pitagorico Ippaso che, secondo la leggenda, era morto in un naufragio per avere pubblicato proprio la inscrizione del dodecaedro nella sfera. Platone aveva detto abbastanza: dire di più sarebbe stato, se non imprudente, scandaloso, e Platone ci ricorda μή εΐναι πρός πάντας πάντα ῥητά.

Quanto al numero sette siamo potuti pervenire ad esso soltanto con la estensione del tetracordo alla gamma e mediante la considerazione dei numeri piramidali a base decagonale. Non esiste un triangolo rettangolo che abbia per ipotenusa sette né che abbia sette come quadrato dell'ipotenusa, e la stessa cosa succede per il numero undici.
Il sette è l'unico numero della decade che è senza madre e vergine, άμήτωρ e παρθένος: e per questa ragione, come abbiamo, già detto, era paragonato e consacrato a Minerva, figlia di Giove ma non di Giunone, perché nata balzando armata di tutto punto dal cervello di Giove. Pallade Atena ed il numero sette hanno entrambi la prerogativa della verginità e della immacolata concezione.
Se pensiamo che Minerva era notoriamente la dea della Sapienza il senso di questo simbolo si delinea abbastanza chiaro: la sapienza divina non appartiene al mondo della generazione; essa è trascendente, olimpica, umanamente inconcepibile. Aggiungiamo inoltre che la tradizione magica lega sovente il dono della veggenza e della chiaroveggenza alla verginità: la lingua greca come la lingua italiana designa con una stessa parola κόρη la vergine e la pupilla dell'occhio; e Cagliostro che adoperava le «pupille» come chiaroveggenti le chiamava pupille per questa ragione e le chiamava colombe per il loro candore.
Anche Clemente alessandrino ¹⁹⁾ osserva che il numero sette è vergine e senza madre, e lo scrittore cristiano Aristobulo identifica il settenario con la luce spirituale. Osserva in proposito il Delatte che questa teoria non è, come si potrebbe credere, una innovazione ebraica perché essa figura già in Filolao, come è testimoniato da un passo dei Theologumena: ed era stata ripresa nell'inno al numero (pitagorico-orfico) secondo attesta Aristobulo. Aristobulo dunque non aveva fatto altro, secondo la sua abitudine, che adattare questo concetto che gli faceva comodo ai bisogni dell'apologetica ebraica. Sette era del resto il numero dei savii leggendarii della Grecia pre-pitagorica: e sette il numero delle scienze pitagoriche, delle arti liberali, ripartite, forse da Boezio, nelle scienze del trivio e del quadrivio.

19)   Cfr. DELATTE, Etudes..., 231 e seg.

Il cattolicismo, a differenza delle altre sette cristiane derivate dall'ebraismo, ha recentemente aggiunto il dogma della immacolata concezione il quello della verginità di Maria: ed annette a questi dogmi tanta importanza da affrontare per sostenerli le difficoltà inerenti al fatto ben noto che il Vangelo parla a più riprese dei fratelli e delle sorelle di Gesù. La difficoltà viene superata affermando che nel Vangelo e solo nel Vangelo la parola άδελφός non significa fratello ma cugino. Semplicissimo e comodo. I pitagorici ed i classici, parlando della immacolata concezione e della verginità del numero sette e di Pallade Atena, non avevano bisogno di sostenersi con gli acrobatismi dell'ermeneutica: ed anche a noi queste favole del paganesimo non sembrano così assurde come prenderebbero i paladini dell'agiografia.
A noi sembra manifesta la derivazione od almeno il riferimento di questo dogma cattolico all'antico simbolismo pitagorico, come è certo che Aristobulo e San Clemente hanno attinto a fonte pitagorica. E non vogliamo soffermarci ad esaminare sino a qual punto la figura di Maria, più che ricordare quella di Minerva, ricordi la figura di Iside, come risulta da considerazioni iconografiche.
Vogliamo invece accennare alle prodezze compiute da certi scrittori cristiani a spese dell'aritmetica mistica pitagorica.
Per esempio Louis Claude de Saint-Martin, uno scrittore cristiano del tempo della rivoluzione francese, detto le philosophe inconnu ed anche le théosophe d'Amboise, si sbizzarrisce nei suoi scritti e segnatamente nell'opera postuma Des Nombres in un suo sistema di mistica cristiana dei numeri; e farneticando devotamente non si perita di affibbiare ai pitagorici supposti errori per poterli loro rinfacciare ad esaltazione della propria fede «bella, immortal, benefica, ai trionfi avvezza».

Il Saint-Martin afferma per esempio ²⁰⁾ che «Phythagore et ses disciples se sont trompés quand ils ont dit que 7 était sans père et sans mère e giustifica tale sua sentenza con la bella ragione che «le nombre 4 est le père et la mère de l'homme qui, en effet selon la Genèse, fut créé mâle et femelle par cette puissance septénaire contenant 4 et 3».



Ora Pitagora ed i suoi discepoli non hanno mai detto nulla di simile, ed il filosofo sconosciuto fa tutta una confusione tra quello che narra il Vangelo a proposito di Melchisedec che era senza padre e senza madre ed il fatto che il sette era per i pitagorici un numero sacro a Minerva perché, come Minerva, era vergine e non era generato. E dopo simile confusione ed ignoranza anche del Vangelo, il Saint-Martin non si perita dal correggere i supposti spropositi dei pitagorici!

20)   LOUIS-CLAUDE DE SAINT-MARTIN, Des Nombres, Paris, 1801, pag. 48.

Il numero cinque o pentalfa è il simbolo dell'armonia, e quindi anche il simbolo della fratellanza pitagorica come la stella fiammeggiante è il simbolo della fratellanza massonica cementata dal brotherly love. I pitagorici scrivevano in corrispondenza dei vertici del pentalfa le lettere componenti la parola ύγίεια, ossia salute, perché l'armonia di tutti gli elementi e di tutte le funzioni del corpo si manifesta come salute e l'armonia di tutti gli elementi spirituali rende possibile la salute o salvezza, intesa sia nel senso escatologico dell'orfismo sia nel senso pitagorico della palingenesi. Il numero sette è il simbolo della sapienza.
Il confronto tra i numeri sacri dei pitagorici ed i numeri sacri della massoneria non si può fare grado per grado perché la separazione del rituale massonico nei due gradi distinti di apprendista e di compagno è relativamente recente ed il grado di maestro col relativo rituale e catechismo ha poco più di due secoli. Ad ogni modo sembra che i cambiamenti siano consistiti in una semplice distribuzione ed in qualche innovazione, ma che si sia sempre avuto cura di conservare il patrimonio simbolico e ritualistico dell'ordine. Del resto anche la distinzione dei tre gradi rientra nello spirito del simbolismo tradizionale e si connette al primo dei numeri sacri. Si può dire grosso modo che il tre è il numero dell'apprendista o novizio, il cinque è il numero del compagno ed il sette è il numero del maestro o maestro venerabile o capo mastro.

Però occorre accettare con un certo discernimento le varianti, le aggiunte e specialmente le spiegazioni ed i commenti dei rituali e dei catechismi relativamente moderni, in cui si sono infiltrati elementi che non sono tradizionali e che invece sono spesso arbitrarii e personali. Per esempio l'orientalista Goblet d'Alviella, che fu Sovrano Gran Commendatore del Supremo Consiglio del Rito Scozzese antico ed accettato del Belgio, ha indianizzato i rituali degli alti gradi: e, siccome ignorava completamente l'ermetismo, ha aggiunto anche errori veri e proprii alla sua interpretazione orientalista. Il Ragon, uno scrittore del secolo scorso, noto una volta come l'auteur sacré della Massoneria, ha fatto del suo meglio nella interpretazione e nel commento dei rituali, ma li ha infarciti di definizioni e considerazioni moralistiche che non hanno molto a spartire con l'esoterismo massonico e che sanno oramai di stantio: Ottimi sono i tre libri del Wirth nonostante la propensione personale che egli manifesta per le interpretazioni ermetiche e per la scuola francese di occultismo di E. Levi, del Guaita, del Papus, a base di cabala ebraica e di tarocchi. La meglio è di attenersi ai vecchi rituali semplici, scarni, scheletrici. Ve ne sono inglesi anteriori al 1730, francesi anteriori al 1750 ed italiani anteriori al 1780 ²¹⁾, non derivati dalla massoneria francese.

21)   Cfr. PERICLE MARUZZI, Opere per una biblioteca massonica, Roma, 1921.

Le due parole loggia e massone non sono in italiano parole importate dall'inglese o dal francese. Esse erano in uso in Italia sino dal trecento; si chiamavano loggie quelle dei fratelli comacini, e Firenze è piena di antiche loggie come quella dei Lanzi; la presunta derivazione della parola loggia: dalla parola logos che in greco significa verbo o parola è priva di fondamento e serve solo a giustificare la venerazione per il versetto di San Giovanni: in principio erat Verbum. In architettura, loggia è termine tecnico che designa un edificio aperto, retto da colonne o pilastri, costruito spesso nella parte alta degli edifici, per esempio il loggione del teatro, e quindi è termine appropriato per designare il tempio, massonico, sorretto da dodici colonne, che ha per volta il cielo.


Nella Loggia vi sono tre lumi sublimi ossia il Sole, la Luna ed il Delta luminoso; tre luci ossia il Maestro Venerabile ed i due Sorveglianti; tre pilastri, tre finestre, tre gioielli mobili ossia la squadra, la livella, e la perpendicolare; tre gioielli immobili ossia la pietra grezza; la pietra cubica a punta e la tavola da tracciare o tavola da disegno o tavola tripartita; e tre ornamenti ossia il pavimento a mosaico, la stella fiammeggiante ed il nastro ondeggiante. Triplice è il viaggio simbolico del profano per essere ammesso a ricevere la luce, triplice la batteria, il bacio, il toccamento nella tegolatura, triplice l'enigma proposto al profano, e tre i passi dell'apprendista.
Compito dell'apprendista o novizio è quello di digrossare, sgrossare, dirozzare, la pietra grezza; compito del compagno libero muratore è quello di giungere a vedere e comprendere la stella fiammeggiante. Per scoprirla egli deve ascendere cinque gradini; egli ha il compito di formare la pietra cubica e di squadrarla in modo che sia atta alla costruzione del tempio. Egli si distingue per la sua conoscenza della stella fiammeggiante, e, siccome in rituali posteriori al 1737 compare la lettera G nell'interno del pentagramma, si dice anche che compito del compagno è di conoscere la lettera G ed il suo significato. Tutti i rituali, diciamo tutti, hanno cura di ricordare che la lettera G è l'iniziale di Geometria e quelli scozzesi osservano che essa è l'iniziale di God; altri rituali e catechismi che essa è l'iniziale di gnosi, generazione ecc. La sola spiegazione coerente è la prima; ed i cinque gradini che il compagno deve ascendere corrispondono al fatto che la geometria è la quinta delle scienze pitagoriche, e nella nostra interpretazione al fatto che per pervenire all'armonia simboleggiata dalla stella fiammeggiante occorre estendere il tetracordo o tetractis simboleggiata dal Delta con la legge di quinta.
Nella Loggia e nel quadro di Loggia di compagno, la stella fiammeggiante sostituisce il Delta tra il Sole e la Luna; vi sono cinque lumi invece di tre: la tegolatura, la batteria, l'età ed i passi si basano sul cinque invece che sul tre.

I gradini da salire per ascendere all'Oriente sono per altro, sette e sette sono i gradini da ascendere nella Camera di Mezzo. Il loro numero è quello delle sette scienze liberali; l'apprendista è tenuto a conoscere le prime tre, quelle del trivio, scienze puramente umane; il compagno deve conoscere in più l'aritmetica e la geometria; il maestro muratore deve manifestamente conoscere anche le ultime due, la musica e la sferica, ossia l'armonia delle sette note e l'armonia delle sfere.
Sette infine sono i nodi del nastro ondeggiante che avvolge le colonne del tempio.

CHAPTER V

The number and its powers

The Pythagoreans assign to God Most High
the perfect ternary number in which there is
the beginning, the middle, and the end.
SERVIUS, Comm. To Virgil - Eclogue.

What we have explained so far undoubtedly reconnects to the Pythagorean school, and only to the Pythagorean school. But there are also other more archaic elements, which the Pythagoreans have found, accepted, assimilated, and even exalted, although they are independent of the development of Pythagorean arithmetic, which hinges on the consideration of the tetractys. These elements refer to the number three, its multiples, its powers, and immediately consecutive numbers.

We have already said that the Greek spoken numbering was a decimal numbering, like ours, in which ten and the powers of ten represent the units of a higher order. However, the Greek spoken numbering, as well as the Sanskrit and Latin ones, to limit themselves to these, shows the traces of a three-based spoken numbering that has impressed a powerful seal in the very mentality of the people and justified, if not determined, the Pythagorean predilection for the number three. The echo of this predilection has come down to us; three is universally considered as the perfect number par excellence: the popular maxims: omne trinum est perfectum [in the three is perfection], there is no two without three, are inspired by this concept. "In the Pythagorean and Neo-Pythagorean school, writes Loria, ¹⁾ there was a general maxim that every collection of things must admit a division into three categories"; Aristotle reports the Pythagorean sentence that everything ends with the ternary number, which is inherent in all things, and that three is frequently found inter sacra [amid the sacred]; and Cardinal Borromeo, in one of his very rare and little known works, ²⁾ reports this observation by Aristotle. As for Plato, he begins the Timaeus, his Pythagorean dialogue par excellence, with the words: "one, two, three." The three, writes the neo-Pythagorean Theon of Smyrna ³⁾ in his "exposition of mathematical things useful for reading Plato," is the first (number) that has a beginning, a means, an end; and Lidus ⁴⁾ wrote nearly the same thing. And the Alexandrian Pythagorean Porphyry ⁵⁾ says that "there is something in nature that has a beginning, a middle, and an end, and the Pythagoreans assigned the number three to indicate this form and nature."
The number three is the end of this tern or triad, and the Indo-European nomenclature of numbers shows that archaically, in counting, it was the last number, and then started again. In fact, the Latin quator or quarter etymologically means et tres, because the qua is the Latin enclitic; the Sanskrit catur has exactly the same formation. In Greek, one of the enclitics is τε which appears in the Aeolian τέτορες and in the Doric τέττορες and this structure is also found in Italian in the words caterva, quaterna, and quaderna. A proof of this connection between three and four is provided by the frequency in Greek of the expression τρίς ϰαί τετράϰις, and in Latin of the corresponding expression terque quarterque, for example in the Virgilian passage "O terque quaterque beati" [O thrice, four times happy!], ⁶⁾ which, according to Macrobius, it is imitated by a passage from Homer in which the author of the Theologumena arithmetica ⁷⁾ finds a mystical sense. Dante also continues the custom saying ⁸⁾: "It was iterated three and four times"; and this archaic association of the three and four agrees with the Pythagorean association of the tetractys which represents the equilateral triangle, i.e., the letter delta which is the fourth of the alphabet. The three is in a certain way the last number, and therefore the perfect number par excellence: and thus, in the system of spoken numbering with a ternary basis, the four is a new unit, as the ten is in the decimal system; and the two numbers four and ten, whose connection we have seen in the tetractys, are also associated by the fact that they respectively constitute the new unit in the two numbering systems.
Grammar also contributes to giving the number three a special importance, because there are numerous ternary grammatical distinctions, although some of them may be the intentional work of grammarians and, therefore, more a consequence than a cause of the excellence of the number three. However, language precedes grammar, and the distinction of the three grammatical numbers, of the three genders and of the three persons, is not an artificial distinction desired by grammarians. We also observe that the number three is used in Greek for the formation of the superlative: τρισμάκαρες means most blessed, and τρισμέγιστς, which means very great, is formed like the French très grand.
Naturally, the triad of triads, that is the number nine, product of three times three, is for this reason, as Dante observes, a very perfect number: and it is not surprising that three and nine have great importance in worship and magic. According to Gomperz, ⁹⁾ the sanctity of the number three is already encountered in Homer every time a trinity of Gods, for example Zeus, Athena, and Apollo, is reunited in the same invocation. The cult of the ancestors honors, especially under the name of tritopatori or trinity of fathers, the father, grandfather, and great-grandfather. "The nine, writes Rohde, ¹⁰⁾ as it is easy to observe, is, especially in Homer, a round figure; that is, a division of time periods into groups of nine was very common and normal in antiquity." The Pythagorean Anatolius ¹¹⁾ quotes Homer's verse (Iliad V, 160) to prove that Homer recognized a special value to the number nine. And the pseudo-Plutarch observes that Homer seems to show a special fondness for the number three, ¹²⁾ and recognizes a special value to the number nine, and points out the fact about the verse Iliad XV, 169, which for the same reason is found also from Lido ¹³⁾ and by the anonymous author of Theologumena arithmetica. Porphyry, ¹⁴⁾ recounting the visit of Pythagoras to Crete, says that Pythagoras "also ascended to the cave which is said to be a veiled black wool, and here, according to the rite, he spent the three times nine days and saw the throne that is annually prepared for that God." Thus we also see appearing the number twenty-seven, the third power of three; and Porphyry, who naturally well knew that three times nine equals twenty-seven, insists on the ritual and sacred character of this period of time, doubly sacred because it is composed of three enneads.
Zeller ¹⁵⁾ dwells at length on the continuous recurrence of the number three in Greek funeral ceremonies; and Adolf Kaegi ¹⁶⁾ discusses at length the three and the nine in the mortuary ceremonies in India, Iran, Greece, Rome. Many of these customs have come down to us passing from paganism to Christianity, and the Catholic liturgy offers an example of this in the triduum, in the novena, and in the ceremonies for the thirtieth day after death. The Roman calendar has the nonae [ninth day] as its reference day, i.e., the ninth day before the Ides. In the Middle Ages, the temporal hours were still in force, and Dante speaks of them in the Vita Nova and recalls them ¹⁷⁾ in the verses: "Fiorenza within the ancient circle - whence she takes off again and third and ninth." The ninth was the midday; and it is a voice that still lives in the English noon and in some Italian dialects, for example, Barbarani uses it in his poems in the Veronese vernacular.
This veneration for the number three and for the number nine, so deeply rooted in the Greek language, customs, and mentality, contributed to the Pythagorean custom of distinguishing a triad in every collection of things; especially as Cotrone, the seat of the Pythagorean school founded by Pythagoras, was a Doric colony, and the oldest of the institutions common to the Dorians is the division into three tribes. ¹⁸⁾The ships of the Dorians were counted in multiples of three, and the Dorians were qualified as τριχάιρες, that is to say precisely, to three tribes; the qualification was ancient because Homer also speaks ¹⁹⁾ of the triple Dorians.
Of course, this veneration of the number three is not a peculiarity of Pythagoreanism; the Far Eastern tradition, for example, exposes it in the Tao Te Ching with the formula: One has produced two, two has produced three, three has produced all numbers; and Fabre d'Olivet ²⁰⁾ observes that this doctrine is elegantly expounded in the so-called Oracles of Zoroaster: The triad shines everywhere in the universe, and the monad is its principle. But this veneration is accentuated in Pythagoreanism in correspondence with its arithmetic character; "The Pythagoreans, writes Servius, ²¹⁾ assign to the supreme god the perfect ternary number which is the beginning, middle, and end." According to Bungo, ²²⁾ the triad is almost a return to the one and to the beginning. Bungo notes, ²³⁾ that the ancient theologians revered mainly three Gods, Jupiter, Neptune, and Pluto, sons of Saturn and Rhea. After the Saturnian unit, says Bungo, that is, the union of the intelligible world to which all things are implicit, they divided the sensible world into three regions; celestial, ruled by Jupiter, medium, by Neptune, underground, by Pluto; therefore, there are three brothers, three kingdoms, three scepters, and all three of them tripartite. There are then the three Furies: Alecto, Tisiphone, Megaera; the three Harpies: Aello, Ocypete, Celano; the three Fates: Clotho, Lachesis, Atropos.   Pareto ²⁴⁾ recognizes the application of this tradition in the Capitoline triad and in the triple sign with which almost every divinity flaunts its power, the triple lightning bolt of Jupiter, the trident of Neptune, the three-headed dog of Pluto. Christianity has the most holy trinity, the three Magi, their triple offering, the three crosses of Golgotha. But in Pythagoreanism, this veneration of the number three takes on a very special importance, because the characteristic of Pythagoreanism lies precisely in the fundamental function recognized to the number. As for Freemasonry, we have already seen the importance of the number three among the sacred numbers of Freemasonry.
A distinction in three categories, which goes back to Pythagoras himself, is that of the three lives ²⁵⁾ used by Aristotle in Ethics, namely, the theoretical, the practical, and the apolaustic life. Heraclides, shortly posterior to Plato, says that Pythagoras was the first to make this distinction, just as those who came to the Olympic games could be divided into three classes: those who went to buy and sell, those who went to participate in competitions, and those who simply went to observe, so the men could be divided into three corresponding classes. Rey, who is usually inclined to attribute to the later Pythagoreans what the ancients attributed to Pythagoras himself, in speaking of this distinction, recognizes "how impossible it is to doubt that it essentially goes back to the very beginnings of the school."
Another important distinction in three categories is found in the Golden Verses. The first three verses contain the precept of a triple veneration: first for the immortal gods, then for the Ogre, and finally for the Indian heroes. ²⁶⁾ Since this precept is also found in Iamblichus and in an extract from Timaeus of Tauromenia, Delatte believes it is an ancient element used by the late compiler of the Golden Verses. Likewise, the precept of the Golden Verses, to examine each act of the day three times before falling asleep, already appears in Porphyry and is, therefore, according to Delatte, an ancient Pythagorean precept. The three appear a third time, as expected, in the Golden Verses, and precisely in the last verse. Thus, it Pythagorean appears three times in the beginning, in the middle, and at the end of this Pythagorean writing.

1)   GINO LORIA, Le scienze estate [The exact sciences], 2^a ed., Milano, 1914, pag. 821.
2) FEDERICI CARDINALIS BORROMAEI ARCHIEPIS. MEDIOLANI, De Pythagoricis Numeris, Book III, Mediolani 1627. Vedi lib. II. cap. XXVI, pag. 116.
3) THEONIS SMYRNAEI PLATONICI, Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, ed. Hiller, Lipsia, 1878, pag. 4 e pag. 100.
4)   LIDUS, De mensibus; ed. Lipsia, 1898; IV, 64.
5)   PORPHYRY, Vita Pythagorae, 51.
6)   Virgil, Aeneid. I, 94.
7) See DELATTE, Etudes …, 112. Other passages containing the same association "terque quaterque" are: VIRG., Aen., IV. 589; XII, .155; G. I. 411; G. n. 399; ORAZIO Car. XXXI, 23; TIBULLUS, 3, 3. 26;
8)   DANTE, Purgatory VII, 2
9)   GOMPERZ, Les penseurs de la Grèce [The Greek thinkers], I, 116.
10)   ERWIN ROHDE, Psiche, Italian version, Bari, 1914; I, 255, note 11.
11)   ANATOLIUS, περί δέκαδος, 9; DELATTE, Etudes …, 122, nota 1.
12)   Ps. PLUTARCH, Vita Homeri, 145.
13)   See DELATTE, Etudes …, 120 e 122.
14)   PORPHYRY, Vita di Pitagora, ed. Carabba, Lanciano, 1913, pag. 57.
15)   EDUARD ZELLER, Sibyllinische Blättern [Sibylline Scrolls], Berlin, 1890, pag. 40 et seg.
16)   ADOLF KAEGI, Die Neunzahl bei den Ostarien. Separatdruck aus den philologischen Abhandlungen [The number nine in the Ostari. Separate print from the philological treatises].
17)   DANTE, Paradise XV, 97-98.
18)   See A. MEILLET, Aperçu d'une histoire de la langue grecque [Overview of a history of the Greek language], Paris, 1913, pag. 98.
19)   HOMER, Odyssey, XIX, 175.
20)   FABRE D'OLIVET, Les vers dorés de Pythagore expliqués [Pythagorean Golden Verses Explained], Paris, 1813, 24.
21)   SERVIUS Comm. a Vergil. - Eclogues [Commentary on the Eclogues of Vergil] VIII, 75.
22)   BUNGI, Numer. Mysteria [The Mystery of Mumbers], 1591, 2^a ed., pag. 96.
23)   BUNGI, Numer. Mysteria, 18.5.
24)   V. PARETO, Trattato di Sociologia generale [Treatise of General Sociology], I, 499.
25)   See ABEL REY, La jeunesse de la science grecque [The youth of Greek science], 119.
26)   The word "Ogre" is usually translated with an oath. Moreover, it is also synonymous with Hades; and in this way the triad to be honored is a homogeneous triad, composed of the superior gods, the heroes or demigods and the underworld gods.

CAPITOLO V

Il numero e le sue potenze

I pitagorici assegnano al sommo Dio
il perfetto numero ternario in cui è inizio, mezzo, fine.
SERVIO, Comm. a Virgilio - Egloga VIII, 75.

Quanto abbiamo esposto sin ora si riconnette indubbiamente alla scuola pitagorica e soltanto alla scuola pitagorica. Ma vi sono anche altri elementi più arcaici, che i pitagorici hanno trovato, accettato, assimilato ed anche esaltato, sebbene siano indipendenti dallo sviluppo dell'aritmetica pitagorica che si impernia sulla considerazione delle tetractis. Questi elementi si riferiscono al tre, ai suoi multipli, alle sue potenze ed ai numeri immediatamente consecutivi.
Abbiamo già detto che la numerazione parlata greca era una numerazione decimale, come la nostra, in cui il dieci e le potenze del dieci rappresentano delle unità di ordine superiore. Però la numerazione parlata greca, e così pure quella sanscrita e quella latina, per limitarsi a queste, mostra le tracce di una numerazione parlata a base tre che ha impresso un potente suggello nella mentalità stessa del popolo ed ha giustificato, se non addirittura determinato, la predilezione pitagorica per il numero tre. L'eco di questa predilezione è giunto sino a noi; il tre è universalmente considerato come il numero perfetto per eccellenza: le massime popolari: omne trinum est perfectum, non c'è due senza tre, si inspirano a questo concetto. «Nella scuola pitagorica e neopitagorica, scrive il Loria ¹⁾, vigeva la massima generale che ogni collezione di cose doveva ammettere una divisione in tre categorie»; Aristotile riporta la sentenza pitagorica che tutto si conclude col numero ternario il quale è inerente a tutte le cose, e che il tre si trova frequentemente inter sacra; ed il cardinale Borromeo in una sua opera rarissima e poco conosciuta ²⁾ riporta questa osservazione di Aristotile. Quanto a Platone, egli comincia il Timeo, il suo dialogo pitagorico per eccellenza, con le parole: «uno, due, tre». Il tre, scrive il neo-pitagorico Teone da Smirne ³⁾ nella sua «esposizione delle cose matematiche utili alla lettura di Platone», è il primo (numero) che ha principio, mezzo, fine; e Lido ⁴⁾ scrive presso a poco la stessa cosa. Ed il pitagorico alessandrino Porfirio ⁵⁾ dice che «esiste in natura qualcosa che ha principio, mezzo, fine, ed a indicare tale forma e natura i pitagorici destinarono il numero tre».

Il numero tre è il termine di questa terna o triade e la nomenclatura indo-europea dei numeri mostra che nel contare esso era arcaicamente l'ultimo numero, e dopo di esso si ricominciava da capo. Infatti il latino quator o quater significa etimologicamente et tres perché il qua è l'enclitica latina; il sanscrito catur ha esattamente la stessa formazione. In greco una delle enclitiche è τε che compare nell'eolico τέτορες e nel dorico τέττορες e questa struttura si ritrova anche in italiano nelle parole caterva, quaterna, e quaderna. Una riprova di questa connessione tra il tre ed il quattro è fornita dalla frequenza in greco dell'espressione τρίς ϰαί τετράϰις ed in latino della corrispondente espressione terque quaterque, per esempio nel passo virgiliano «O terque quaterque beati» ⁶⁾, che secondo Macrobio è imitato da un passo di Omero in cui l'autore dei Theologumena arithmetica ⁷⁾ trova un senso mistico. Anche Dante continua la consuetudine dicendo ⁸⁾: «Furo iterate tre e quattro volte»; e questa arcaica associazione del tre e del quattro concorda con quella pitagorica della tetractis che ha per raffigurazione il triangolo equilatero ossia la lettera delta che è la quarta dell'alfabeto. Il tre è in certo modo l'ultimo numero, e quindi il numero perfetto per eccellenza: ed allora nel sistema di numerazione parlata a base ternaria il quattro è una nuova unità, come il dieci lo è nel sistema decimale; ed i due numeri quattro e dieci, di cui abbiamo veduto la connessione nella tetractis, si trovano associati anche per il fatto di costituire la nuova unità rispettivamente nei due sistemi di numerazione.

Anche la grammatica contribuisce a dare al tre una speciale importanza perché sono numerose le distinzioni grammaticali ternarie sebbene alcune di esse possano essere opera intenzionale dei grammatici e quindi più conseguenza che causa della eccellenza del numero tre. Comunque la lingua precede la grammatica e la distinzione dei tre numeri grammaticali, dei tre generi e delle tre persone, non è una distinzione artificiale voluta dai grammatici. Osserviamo anche che il tre serve in greco alla formazione del superlativo: τρισμάκαρες significa beatissimi, e τρισμέγιστς che significa grandissimo è formato come il francese très grand.

Naturalmente la terna delle terne, ossia il numero nove, prodotto di tre via tre, è per questa ragione, come osserva Dante, un numero perfettissimo: e non stupisce che il tre ed il nove abbiano una grande importanza nel culto e nella magia. Secondo il Gomperz ⁹⁾ la santità del numero tre si incontra già in Omero tutte le volte che si riunisce in una medesima invocazione una trinità di Dei, per esempio Zeus, Athena ed Apollo. Il culto degli antenati onora specialmente sotto il nome di tritopatori o trinità dei padri il padre, il nonno ed il bisnonno. «Il nove, scrive il Rohde ¹⁰⁾, come è facile osservare, è specialmente in Omero una cifra tonda; era cioè molto comune e normale nell'antichità una divisione di periodi di tempo secondo gruppi di nove». Il pitagorico Anatolio ¹¹⁾ cita il verso di Omero (Il. V, 160) per provare che Omero riconosceva un valore speciale al numero nove. E lo pseudo Plutarco osserva che Omero sembra mostrare una predilezione speciale per il numero tre ¹²⁾ e riconoscere uno speciale valore al numero nove, e rileva il fatto a proposito del verso Il. XV, 169, verso che per la stessa ragione è rilevato anche da Lido ¹³⁾ e dall'anonimo autore dei Theologumena arithmetica. Porfirio ¹⁴⁾, raccontando la visita di Pitagora a Creta, dice che Pitagora «ascese pure all'antro che si dice ideo velato di negra lana, e qui, secondo il rito, vi passò i tre volte nove giorni e vide il trono che annualmente si allestisce a quel Dio». Vediamo così comparire anche il ventisette, la terza potenza del tre; e Porfirio, che sapeva bene naturalmente che tre per nove è eguale a ventisette, insiste sul carattere rituale e sacro di cotesto periodo di tempo, doppiamente sacro perché composto di tre enneadi.

Lo Zeller ¹⁵⁾ si sofferma lungamente sopra il continuo ricorrere del numero tre nelle cerimonie funebri greche; ed Adolf Kaegi ¹⁶⁾ disserta lungamente sul tre e sul nove nelle cerimonie mortuarie in India, nell'Iran, in Grecia, in Roma. Molte di queste usanze sono giunte sino a noi passando dal paganesimo al cristianesimo, e la liturgia cattolica ne offre un esempio nel triduo, nella novena e nelle cerimonie per il trigesimo della morte. Il calendario romano ha come giorno di riferimento le nonae, ossia il nono giorno prima degli Idi. Nel medio evo vigevano ancora le ore temporali, e Dante ne parla nella Vita Nova e le ricorda ¹⁷⁾ nei versi: «Fiorenza dentro della cerchia antica - onde ella toglie ancora e terza e nona». La nona era il mezzogiorno; ed è una voce che vive ancora nell'inglese noon ed in taluni dialetti italiani, per esempio il Barbarani ne fa uso nelle sue poesie in vernacolo veronese.

Questa venerazione per il numero tre e per il numero nove, così profondamente radicata nella lingua, negli usi, e nella mentalità greca, ha contribuito alla consuetudine pitagorica di distinguere una terna in ogni collezione di cose; tanto più che Cotrone, sede della scuola pitagorica fondata da Pitagora, era una colonia dorica, e la più antica delle istituzioni comuni ai Dorii è la divisione in tre tribù ¹⁸⁾. I vascelli dei Dorii si contavano per multipli di tre ed i Dorii venivano qualificati τριχάιρες cioè appunto a tre tribù; la qualifica era antica perché anche Omero parla ¹⁹⁾ dei triplici Dorii.

Certo questa venerazione del numero tre non è una peculiarità del pitagoreismo; la tradizione estremo orientale per esempio la espone nel Tao-te-king con la formola: Uno ha prodotto due, due ha prodotto tre, tre ha prodotto tutti i numeri; e Fabre d'Olivet ²⁰⁾ osserva che questa dottrina si trova esposta elegantemente nei così detti Oracoli di Zoroastro: Il ternario brilla dovunque nell'universo e la monade è il suo principio. Ma questa venerazione è accentuata nel pitagoreismo in corrispondenza al suo carattere aritmetico; «i pitagorici, scrive Servio ²¹⁾, assegnano al sommo dio il perfetto numero ternario in cui è inizio, mezzo, fine». Per il Bungo ²²⁾ il ternario è quasi un ritorno all'uno ed al principio.
Osserva il Bungo ²³⁾ che gli antichi teologi veneravano precipuamente tre Dei, Giove, Nettuno e Plutone, figli di Saturno e di Rea. Dopo l'unità Saturnia, dice il Bungo, cioè l'unione del mondo intelligibile cui sono implicite tutte le cose, essi divisero il mondo sensibile in tre regioni; celeste retta da Giove, media da Nettuno, sotterranea da Plutone; si hanno dunque tre fratelli, tre regni, tre scettri e tutti e tre tripartiti. Si hanno poi le tre furie: Aletto, Tesifone, Megera; le tre Arpie: Aello, Ocypeta, Celano; le tre Parcae: Cloto, Lachesis,
Atropo. Il Pareto ²⁴⁾ riconosce l'applicazione di questa tradizione nella triade capitolina e nel triplice segno con cui quasi ogni divinità ostenta la propria potenza, il triplice fulmine di Giove, il tridente di Nettuno, il tricipete cane di Plutone. Il cristianesimo ha la santissima trinità, i tre re Magi, la loro triplice offerta, le tre croci del Golgota. Ma nel pitagoreismo questa venerazione del tre assume una importanza tutta speciale, perché la caratteristica del pitagoreismo sta appunto nella funzione fondamentale riconosciuta al numero. Quanto alla Massoneria abbiamo già veduto quale importanza abbia il numero tre tra i numeri sacri della Massoneria.

Una distinzione in tre categorie, che risale a Pitagora stesso è quella delle tre vite ²⁵⁾ di cui fa uso Aristotile nell'Etica, e cioè della vita teoretica, della pratica e dell'apolaustica. Heraclide, di poco posteriore a Platone, dice che Pitagora fu il primo a fare questa distinzione; come coloro che convenivano ai giuochi olimpici si potevano suddividere in tre classi: quelli che andavano per comprare e per vendere, quelli che andavano per partecipare alle gare e quelli che andavano semplicemente per osservare, così in tre classi corrispondenti potevano dividersi gli uomini. Il Rey, che di solito è propenso ad attribuire ai pitagorici posteriori quello che gli antichi attribuivano a Pitagora in persona, parlando di questa distinzione, riconosce «come sia impossibile dubitare che essa rimonta in sostanza agli inizii stessi della scuola».
Un'altra importante distinzione in tre categorie la troviamo nei Detti aurei. I primi tre versi contengono il precetto di una triplice venerazione: prima per gli Dei immortali, poi per l'Orco ed in fine per gli eroi indiati ²⁶⁾. Siccome questo precetto si trova anche in Giamblico ed in un estratto di Timeo di Tauromenia, il Delatte ritiene si tratti di un antico elemento utilizzato dal tardo compilatore dei Detti aurei. Così pure il precetto dei Detti aurei di prendere in esame tre volte prima di addormentarsi ogni atto della giornata appare già in Porfirio ed è quindi secondo il Delatte un antico precetto pitagorico. Il tre ricompare una terza volta, come era prevedibile, nei Detti aurei e precisamente nell'ultimo verso. Così esso compare pitagoricamente tre volte in principio, nel mezzo ed alla fine di questo scritto pitagorico.

1)   GINO LORIA, Le scienze estate, 2^a ed., Milano, 1914, pag. 821.
2)   FEDERICI CARDINALIS BORROMAEI ARCHIEPIS. MEDIOLANI, De Pythagoricis Numeris, Libri tres, Mediolani 1627. Vedi lib. II. cap. XXVI, pag. 116.
3)   THEONIS SMYRNAEI PLATONICI, Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, ed. Hiller, Lipsia, 1878, pag. 4 e pag. 100.
4)   LIDUS, De mensibus; ed. Lipsia, 1898; IV, 64.
5)   PORFIRIO, Vita Pythagorae, 51.
6)   Verg., Aen. I, 94.
7)   Cfr. DELATTE, Etudes …, 112. Altri passi contenenti la stessa associazione terque quaterque sono: VERG., Aen., IV. 589; XII, .155; G. I. 411; G. n. 399; ORAZIO Car. XXXI, 23; TIBULLO, 3, 3. 26;
8)   DANTE, Purg. VII, 2
9)   GOMPERZ, Les penseurs de la Grèce, I, 116.
10)   ERWIN ROHDE, Psiche, versione italiana, Bari, 1914; I, 255, nota. 11.
11)   ANATOLIO, περί δέκαδος, 9; DELATTE, Etudes …, 122, nota 1.
12)   Ps. PLUTARCO, Vita Homeri, 145.
13)   Cfr. DELATTE, Etudes …, 120 e 122.
14)   PORFIRIO, Vita di Pitagora, ed. Carabba, Lanciano, 1913, pag. 57.
15)   EDUARD ZELLER, Sibyllinische Blättern, Berlin, 1890, pag. 40 e seg.
16)   ADOLF KAEGI, Die Neunzahl bei den Ostarien. Separatdruck aus den philologischen Abhandlungen.

17)   DANTE, Par. XV, 97-98.
18)   Cfr. A. MEILLET, Aperçu d'une histoire de la langue grecque, Paris, 1913, pag. 98.
19)   HOM., Odissea, XIX, 175.
20)   FABRE D'OLIVET, Les vers dorés de Pythagore expliqués, Paris, 1813, 24.
21)   SERVIO, Comm. a Vergil. - Egloga VIII, 75.

22)   BUNGI, Numer. Mysteria, 1591, 2^a ed., pag. 96.

23)   BUNGI, Numer. Mysteria, 18.5.
24)   V. PARETO, Trattato di Sociologia generale, I, 499.

25)   Cfr. ABEL REY, La jeunesse de la science grecque, 119.

26)   La parola «Orco» è di solito tradotta con giuramento. Essa per altro è anche sinonimo di Ade; ed in questo modo la triade da onorare è una triade omogeneo, composta degli Dei superi, degli eroi o semidei e degli Dei inferi.

The last two lines of the golden verses are:

that is literally: If you leave the body, you will reach the free ether and you will be an imperishable, immortal, unkillable god. As we can see, there is the persistence on the number three. We report these two verses in the text for two reasons: for their importance, since it is the Pythagorean palingenesis, or great work, and for the fact that they have been generally badly translated, knowledge of the Greek language is not enough to understand the precise meaning of the technical and ambiguous expressions of Pythagoreanism.
The translations by Fabre d'Olivet, that by Chaignet reported by Kremmerz, and even that by Delatte are wrong. Delatte, out of negligence, translates: "If you reach the heights of the free ether after death." Now, by translating άπολείψαι σϖμα with after death is equivalent to restricting the meaning of the words in a completely arbitrary way, because these two words mean literally: having abandoned the body, without specifying when, how and why, and if ever with a sense of activity, that is, having abandoned the body, having conquered and not suffered its abandonment. And since we know that the primary purpose that the Pythagorean disciple set out to achieve with every effort was liberation from the bonds of the body and not the passive and inert expectation of death or grace, it is clear that, in translating it, is necessary at least to leave to the two words the broad sense that they have in the original, although it is evident from the whole context that they allude to that abandonment of the body that is obtained through "voluntary ritual detachment," and not to that detachment that death brings to all men and all animals, without the need for help, even despite every effort to the contrary. The famous French Pythagorean, Fabre d'Olivet, also translates it in an arbitrary way: en laissant sur le corps regner intelligence [by letting intelligence reign over the body], ²⁷⁾ and a recent Italian author faithfully follows him.
Another important distinction in three categories is the following: "The Pythagoreans, writes Delatte, ²⁸⁾ divide sentient beings into three categories: man, divinities, and a being of an intermediate essence such as Pythagoras was." The members of the Pythagorean brotherhood were also divided into three classes, which, according to Iamblichus, were those of novices, mathematicians, and physicists. Other denominations are given by other writers, but the division is always threefold.
In geometry, the Pythagoreans distinguished three kinds of angles: acute, right, and obtuse, which they ascribed to three kinds of divinities, ²⁹⁾ and three kinds of triangles ³⁰⁾: equilateral, isosceles and scalene. They knew that filling the plane with regular polygons is possible only with three kinds of polygons: the triangle, the square and the hexagon; and they knew that there are three regular polygons that make up the faces of the five regular polyhedra or cosmic figures. And although no text on Pythagorean geometry has come down to us, it is symptomatic that Euclid's Elements begin abruptly with the consideration of the equilateral triangle; it can be suspected that this was traditionally even earlier in the geometry of the Pythagoreans. And we have seen in music the importance of the three progressions mentioned by Archytas, the arithmetic, geometric and harmonic progression with their three means; and how the entire octave, or harmony, is an extension of Philolaus' tetrachord, which is made up of the three strings do, fa, sol [C F G]and the harmonic of the first.
In arithmetic, we have already seen that the Pythagoreans have divided numbers into elliptic, perfect, and hyperbolic numbers. Likewise, the rectangular numbers, or epipeds, were distinguished into squares, heteromecic and promic, and the Pythagoreans also distinguished three classes of even numbers and three classes of odd numbers.
Nicomachus ³¹⁾ distinguishes between even numbers: 1st - the equally even numbers, that is the powers of two;   2nd - the equally odd numbers, that is the numbers of the form 2 (2 m + 1);   3rd - the unequally even numbers, i.e., the numbers of the form 2ⁿ (2 m + 1) with n ≥2.
The three categories are made up of the numbers:
equally even numbers: 4,   8,   16,   32 …
equally odd numbers: 6,   10,   14,   18 …
unequally even numbers: 12,   20,   24,   28 …
The classification exhausts all the possibilities, and the even numbers of the third class are those that do not belong to the other two classes. The classification of even numbers resembles that of rectangular numbers, because, like the heteromecics, they are distinguished from the promics because the difference between the sides in the case of the heteromecics is only one point, and more points in the case of the promics; likewise, the odd numbers contain only one factor of two, while unequally even numbers contain, in addition to the odd factor, more times the factor two. We note that Euclid, in Book VII, also calls the product of two even factors equally even: but this does not conform to the Pythagorean tradition, and Iamblicus blames Euclid for this definition: and, according to what Taylor reports, ³²⁾ Asclepius, in his manuscript comment in the first Book of Nicomachus, says that this definition of Euclid is incorrect because with it we obtain even numbers, and not equally even numbers.

27)   FABRE D'OLIVET, Les vers dorés [The Golden Verses], pag. 402; and see ALESSIO LUIGI, Pitagoras, Milano, 1940.
Siouville (A. SIOUVILLE, Les Vers dorés de Pithagore [The Golden Verses of Pythagoras], 1913), translates: laissant ici bas le corps [leaving the body down here], almost correct translation, reported by Wirth, Le livre du Maître, 103.
28)   DELATTE, Etudes … 19 and see IAMBLICHUS, Vita Pithagorae, 114.
29)   See PROCLUS, ap. TAYLOR, I, 148.
30)   See Conic sections of APOLLONIUS, ed. Helberg, Lipsia, 1893, II, 170.
31)   NICOMACHUS, Introduction to Arithmetic, II, 8 pag. 294.
32)   TAYLOR, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans, Los Angeles, 1934, pag. 243.

According to the testimony of Nicomachus, Iamblichus, and Theon, to this ternary classification of even numbers corresponded a pure ternary for odd numbers; but it was transmitted to us in a faulty way. Nicomachus distinguishes: 1st - odd prime numbers; 2nd - secondary and synthetic numbers such as 9, 15, 21, 25, 27, 33… which are products of two or more prime factors, even if not distinct; 3rd - numbers that are secondary and composed in themselves but prime with respect to another number such as 25 and 9. It is clear that the second class contains all the numbers that do not belong to the first, and, in the same example reported by Nicomachus, both 25 and 9 belong to the two classes simultaneously. It is, therefore, necessary to return the Pythagorean ternary classification of odd numbers; and we seem to be able to do it in the following way: By observing that, in the Pythagorean ternary classification, between the unit and the [other] numbers there is only the two; that, similarly, in the classification of rectangular numbers, between the square and the promic there is only the heteromecic (which has only one more point in one of its sides): and that, similarly, in the case of the ternary classification of even numbers, between the equally even number 2ⁿ and the unequally even number 2ⁿ (2 m + 1) in which with n ≥2 there is only the equally odd 2 (2 m + 1 ) where the factor of two is unique, the ternary classification of the odd numbers was probably as follows: 1st, odd prime numbers; 2nd, powers of prime factors of which at least two distinct; 3rd, powers of a single odd prime with exponent at least equal to two. That is: odd prime numbers a; powers of a single prime aⁿ with n at least equal to two; the other cases of odd numbers in which there are at least two distinct prime factors.
This Pythagorean classification of numbers into triads, of even numbers and triads of odd numbers, should not be confused with the modern classification of even and odd numbers into four classes according to whether the remainder from dividing a number by four is 0, 1, 2, 3; attention all the more necessary since the same terminology designates with the same word different things in the two classifications and, for example, the equally unequal Pythagorean numbers have the form 2 (2 m + 1) while for moderns they have the form 4 M + 1. ³³⁾
This classification in triads and this ternary custom, in agreement with the archaic enumeration based on the three, which makes of the four a new unit, leads to a classification in triads of all natural numbers. And, in fact, the following arrangement of the first nine numbers is found in Theon:

1   4   7   α   δ   ζ
2   5   8     that is     β   ε   η
3   6   9   γ   ς   θ
represented in the text of Theon by the first nine letters of the Greek alphabet, which in his time served precisely as numeral signs of the first nine numbers. In this ennead or theme of triads, the single numbers of the first row, divided by three, give the unit as remainder, those of the second row give the remainder two, and those of the third give no remainder. It can be observed that, in this arrangement, the only internal number is five, which always happens for the five in the arrangement of the ten numbers of the decade according to the tetractys.
By continuing to arrange the numbers according to triads, we obtain a triad of enneads with 27 numbers represented by the 24 letters of the Greek alphabet and by three episema or signs added in the Greek alphabetical system of written numbering. The second ennead begins with 10, and the third ends with 27, which is the third power of three and is, therefore, a perfect number because it ends the triad of enneads. Continuing further is obtained an ennead of enneads whose last number is 81. If we stop at this quatern: 3, 9, 27, 81 of powers of three, it is composed of perfect numbers in the Greek Aristotelian sense of the word.
We have found the number 27 in Porphyry, who insists that Pythagoras spent three times nine days in the sanctuary of Jupiter in Crete; and it reappears as an object of particular attention in Cagliostro's Egyptian Freemasonry. In a letter, addressed to Cagliostro by the Worshipful Master of the lodge "Sagesse Triomphante" ³⁴⁾ to give him an account of the inauguration of the temple, we find this passage: "L'adoration et les travaux ont durés trois jours et par un concours remarcable de circumstances nous étions réunis au nombre de 27, et il ya eu 54 heures d'adoration [The adoration and the works lasted three days and, by a remarkable concurrence of circumstances, we were gathered 27 in number, and there were 54 hours of adoration].
As for the number eighty-one, we see it appearing in Dante, and this time without the usual screen of hierarchies and principalities. According to Dante, the natural life of a perfect man should have a duration of 81 years, and he observes ³⁵⁾ that "Plato lived eighty-one years according to what Cicero testifies in his essay de Senectute"; and adds that if Christ had not been crucified he would have lived 81 years. As you can see Dante knew a lot.
Dante has divided his Comedy into three cantiche each of 33 cantos written in triplets each of 33 syllables. In De vulgari eloquentia he expounds on the aesthetic reasons for which the hendecasyllable is valued, but it could be that the choice of the hendecasyllable was also due to other reasons.   99, the last two-digit number, is a perfect number, multiple of three and nine; it is the number of cantos of the three cantiche if the first is not assigned to a particular cantica, and one hundred is the total number of cantos. Each canticha contains 33 of them, as each triplet contains 33 syllables.   33 is the product of 3 times 11, 99 is the product of 9 times 11; and, if we add up the first four powers of three and of the unit, we get the square of 11, which is the fourth prime odd number.
In this three-based numbering, that is, in this arrangement of numbers in triads and enneads, the new units are the conjunctive numbers to the powers of three, i.e., 4, 10, 28, 82. We have already dealt with 4 and 10. As for the number 28, it is above all a perfect number in the modern technical and restricted sense of the word, because its divisors are: 1, 2, 4, 7 and 14, whose sum is precisely 28. For these reasons, it was held in particular consideration by the Pythagoreans, and we know it in two ways.
The Palatine Anthology ³⁶⁾ has preserved under the name of the epigrammatist Socrates, a dialogue between Polycrates and Pythagoras, in which Polycrates asks Pythagoras how many athletes he is leading towards wisdom in his home. Pythagoras replies: I will tell you, Polycrates: half of them study the admirable science of mathematics, eternal nature is the subject of studies by a fourth, the seventh part practices meditation and silence, there are also three women, of whom Theano is the most distinguished. Here is the number of my pupils who still are those of the Muses. The solution to this problem and of the corresponding first-degree equation is precisely the number 28; and the way in which the problem is set up shows how Pythagoras was interested in finding that this number was a perfect number.
The other documentation about the number 28 is due to the underground Pythagorean Basilica of Porta Maggiore in Rome. Jérôme Carcopino, in his study of this Pythagorean basilica shows ³⁷⁾ how the members of the Pythagorean brotherhood to which the basilica belonged were also 28, based on the observation already made by Mrs. Strong ³⁸⁾ that the funerary stuccoes of the cell of the basilica were indeed 28. Without the purely fortuitous discovery of this underground Pythagorean basilica, we could not confidently assert that 28 is a sacred number in Pythagorean sacred architecture. Neither Carcopino nor the epigrammist Socrates indicate the reason for the choice of the number 28. It is manifestly due to its perfection, and this for being equal to the sum of its own divisors, and for being a new unit in the system of triads and enneads.

33)   Finally we note, as an example of the archaicity of the grouping into triads, that in the Greek spoken numbering the Handel's law is in force as it is in the Italian one, i.e., the words that express large numbers are formed by dividing the number into groups of three units, the class of units, class of thousands, class of millions, etc.
34)   See MARC HAVEN, Le maître inconnu [The unknown Master], 154. ( 35) DANTE, Convivio IV, 24. (36) Palatine anthology, XIV, 1.
35)   DANTE, Convivio. IV, 24.
36)   Palatine anthology, XIV, 1.
37)   JEROME CARCOPINO, La basilique pythagoricienne de la Porte Majeure [The Pythagorean basilica of Porta Maggiore], Paris, 1927, pag. 255.
38)   EUGENIE STRONG, The stuccoes of the underground basilica near the Porta Maggiore in the Journal of Hellenic studies, XLIV, 1924, pag. 65.

Other less immediate relationships intercede between the numbers of the quatern: 4, 10, 28, 82. The 28-sided polygon has 350 diagonals or ten times the number of diagonals of the decagon, which has 35. Furthermore, the 28th tetrahedral number is ten times the 28th triangular number; and the tenth triangular number, which is 55, is both the harmonic mean and the ratio of the tenth square-based pyramid, which is 1540, and the fourth hexagonal, which is 28. Similarly, 82 following the perfect number 81, as 28 follows 27, is such that the 82nd tetrahedral is equal to 28 times the triangular 82nd: we, therefore, have the two relations: F (3, 28) = 10 P (3, 28): F (3, 82) = 28 P (3, 82).
These are some of the relationships between numbers: 4, 10, 28, and 81.
Among the multiples of three, six is a perfect number; and its square, 36, is the only triangular number that is the square of another triangular number. Indeed

and taking into account that the two factors on the first member are two prime numbers between them, and that the same it must happen to the second member, and by examining the four possible cases according to which x and y are even or odd, it is easy to find that the only positive integer solutions are x = y = 1 and x = 8, y = 3.   The six is also the only number for which it happens that its cube is equal to the sum of the cubes of the three consecutive numbers that precede it. In fact, indicating with x - 1, x, x + 1 and x + 2 the four consecutive numbers must be:
(x - 1)³ + x³ + (x + 1)³ = (x + 2)³
That is x³ - 3 x² - 4 = 0 or (x - 4) (x² + x + 1) = 0, which admits no other real solution than x = 4 and therefore we have: 3³ + 4³ + 5³ = 27 + 64 + 125 = 216 = 6³.
If we consider the right-angled triangles in whole numbers, the only one whose sides measure three consecutive whole numbers is, as we know, the Egyptian triangle (3, 4, 5) whose area measures 6; then there are two classes of triangles in integers to which the Egyptian triangle belongs as the first triangle, 1st - those in which the hypotenuse exceeds the greater cathetus by one unit, 2nd - those in which the greater cathetus exceeds the minor one by one. The first of these two classes is given by the formula

which for every odd value of n gives a right triangle in integers. ³⁹⁾ This resolution is the same one that Pythagoras gave, according to Proclus. The first triangle given by this formula occurs for n = 3, and this is the Egyptian triangle; the second occurs for n = 5, and is the triangle (5, 12, 13) whose area is 30; the sum of the areas of the two triangles is 36. The problem of determining a right-angled triangle in which the catheti difference is equal to 1 is a little more difficult, and has been solved by the mathematician Girard; the first of these triangles is the Egyptian triangle, the second is the triangle (20, 21, 29) whose area is 210; the sum of the two areas is 216 = 6³.

39)   This Pythagorean formula is an immediate consequence of the fundamental property that squares have: to grow while maintaining the similarity of form. When the gnomon is a square, the two consecutive squares have for difference a square. Now the quadratic gnomons are nothing but odd numbers; if the odd number np is a square, i.e., if we have 2 n - 1 = m² the sum of the first odd numbers preceding it is (n - 1)² and we have:

and by substitution we have

Since, then, m is odd, i.e., of the form m = 2 p + 1, the even cathetus can be written as:

which is four times the p° triangular number. This Pythagorean formula expresses, therefore, the theorem: the quadruple of the p° triangular number and the (p + 1)° odd number are the two sides of a right-angled triangle in whole numbers in which the hypotenuse exceeds the even side by one. That is, we have:

for example, for p = 5 we have the triangle (60, 11, 61).
This formula is deduced as a particular case from the general formulas on p. 40 and 41, placing in them m = p + 1 and n = p; in fact the x becomes:
x = p² + 2 p + 1 - p = 2 p + 1 e la y diviene: y = 2 p (p + 1)

We observe now that the 36 is the eighth triangular number and, at the same time, the sixth square that's to say we have:
P (3 , 8) = P (4 , 6) = 36
and we observe that the two numbers, 3 and 8, are respectively the number of sides of the face of the octahedron and also the number of faces, while the numbers 4 and 6 are, similarly, the number of sides of the face of the cube or hexahedron and also the number of faces; and that these two cosmic figures, octahedron and cube, are mutually polar. Similarly, the triangular twentieth, which is 210, is equal to the 12th pentagonal, which is:
P (3 , 20) = P (5 , 12) = 210
and also this time the number 20 is the number of the triangular faces of the icosahedron, and 12 the number of the pentagonal faces of the polar polyhedron, that is, of the dodecahedron. Finally, for the tetrahedron which is autopolar it happens that P (3, 4) = 10.
Therefore, these three numbers, 10, 36 and 210, are obtained by considering the five cosmic figures, and precisely the three pairs of polar polyhedra: the auto-polar tetrahedron, the octahedron and the cube, the icosahedron and the dodecahedron. For the five existing cosmic figures, which play so much part in Pythagorean and Platonic geometry and cosmology, there is, therefore, the admirable property: the triangular numbers that have as their order the number of faces of a polyhedron with triangular faces are equal to the polygonal numbers that they typically have the number of sides 3, 4, 5 of the polar polyhedron and, in order, the number of faces of this polyhedron. That is, the polygonal number which has the gender of the face of the polyhedron as its gender, and the number of faces for order n remains unchanged passing from a polyhedron to the polar polyhedron.
It is then immediately seen that the sum of these three numbers 10, 36, and 210 is equal to 256, that is to say, to the fourth power of 4.
10 + 36 + 210 =4⁴ = 2⁸
while the product of these three numbers, decomposed into prime factors, contains the four factors 7, 5, 3, 2 raised to the first, second, third and fourth powers respectively. The bases form the quad of the two and the first three odd prime numbers, and the exponents are the numbers of the tetractys.
The triangulars that have the number of faces of the tetrahedron, octahedron and icosahedron in order are respectively:
P (3, 4) = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 = tetractys
P (3, 8) = P (4, 4) = 36 = 1³ + 2³ + 3³ = (1 . 2 . 3)2 = (1 + 2 + 3) ² = (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (7 + 8) = Plutarch Tetractys. ⁴⁰⁾

40)   The two identities
P (3 , 8) = P (4 , 6) = 36
P (3 , 20) = P (5 , 12) = 210
they say that the 8th triangular is equal to the sixth square, and that the twentieth triangular is equal to the twelfth pentagonal. The problem of determining a triangular that is also a square was solved by Euler; the indeterminate equation
x (x + 1) = y admits infinite integer solutions given by the double series
2
x   1   8   49   288
y 1   6   35   204
for which apply the recurring formulas
x_n = 6 x_{n - 1} - x_{n - 2} + 2   y_n = 6 y_{n - 1} - y_{n - 2}
Similarly, Euler (Algebra, ed. Leipzig, p. 391) has solved the problem of determining triangles that are also pentagonal, that is, he solved the equation
P (3, 20) = P (5, 12) = 210 = 3 P (5, 7) = 2 . 3 . 7 = product of 2 and of the three prime numbers of the decade.
We also have:
10 + 36 + 210 = 4⁴
10 . 36 . 210 = 2⁴ . 3³ . 5² . 7

We do not know if these properties have already been observed by others, sive Deus, sive Dea [whether god or goddess].
The numbers of the tetractys appear in some formulas that express cosmic figures as sums of tetrahedra, and also appear in atomic physics in connection with the number of electrons that form the nuclear covering of the rare gas atoms.
We have observed that a pyramidal number can always be expressed as the sum of the tetrahedral numbers. Similarly, it can be shown that the same thing is true for octahedral, cubic, icosahedral, and dodecahedral numbers; and precisely that a polyhedral of order n is always equal to an additive combination of the three consecutive tetrahedrons of the order n - 2, n - 1 and n, and the following identities subsist:
Ot (n) = F (3 , n) + 2 F (3 , n - 1) +   F (3 , n - 2)
n³ = F (3 , n) + 4 F (3 , n - 1) +   F (3 , n - 2)
Ic (n) = F (3 , n) + 8 F (3 , n- 1) + 6 F (3 , n - 2)
Do (n) = F (3 , n) + 16 F (3 , n- 1) + 10 F (3 , n - 2)
formulas that are easy to verify, bearing in mind that the first members are given by the following general formulas of polyhedral numbers:
tetrahedral n°, F (3, n) = n (n + 1) (n + 2)
6
cubic n°   n³
octahedral n°  
whose infinite solutions are given by the double series
x   1   20   285   3976   55385 …
y   1   12   165   2296   31977 …
for which apply the recurring formulas
x_n = 14 x_{n - 1} - x_{n - 2} + 6   y_n = 14 y_{n - 1} - y_{n - 2} - 2
The triangulars corresponding to odd values of the order x are also diagonal numbers, that is, they have the form z (2 z - 1) with z = 1 , 143 , 27693 …
The first solution, after the unit, of the two problems is the one given by the two identities, that is, the one connected to the octahedron and the cube, and to the icosahedron and dodecahedron, and expresses the property that we have stated relative to cosmic figures.
icosahedral n°   n (5 n² - 5 n + 2)
2
dodecahedral n°   n (9 n² - 9 n + 2)
2
In the four preceding identities the coefficient of the average term, that is of the tetrahedral (n - 1)° is respectively 2, 4, 8, 16, i.e., the power of 2 which has as exponent the numbers 1, 2, 3, 4 of the tetractys.
This would happen according to the Platonic constitution of matter. In atomic physics, instead, appear the squares of the numbers of the tetractys. And here's how: If the chemical elements are ordered according to the laws of Moseley and of Mendeleyev according to the similarity of their chemical behavior, the first column is occupied by the so-called rare gases, namely helium, neon, argon, krypton, xenon, the emanation of radium. And it is found that the number of electrons that make up the covering of their atomic nucleus, in the order written above, which is the natural one according to their atomic weight and atomic number, is respectively:
2   10   18   36   54   86
The corresponding finite differences or gnomons are, therefore, respectively and in order
2     8 8    18 18    32 ossia
2 . 1²,   2 . 2²,   2 . 3², 2 . 4²
that is, double the squares of the numbers of the tetractys.
We observe that the first four right-angled triangles given by the Pythagorean formula (see page 67) are: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), and in them the difference between the hypotenuse and the odd cathetus has precisely the values 2, 8, 18, 32. These triangles in fact have the sides

and the difference between the hypotenuse and the odd cathetus n is n è

Gli ultimi due versi dei versi aurei sono:

ossia letteralmente: Se lasciato il corpo perverrai al libero etere sarai imperituro, dio immortale, non uccidibile. Come si vede, si insiste sul numero tre. Riportiamo questi due versi nel testo per due ragioni: per la loro importanza trattandosi della palingenesi pitagorica, o grande opera, e per il fatto che in generale essi sono stati mal tradotti, non bastando la conoscenza della lingua greca per comprendere il senso preciso di espressioni tecniche ed ambigue del pitagoreismo.

Sono errate le traduzioni del Fabre d'Olivet, quella dello Chaignet riportata dal Kremmerz, e perfino quella del Delatte. Il Delatte, per negligenza, traduce: «Se tu pervieni, dopo la morte, alle altezze del libero etere». Ora il tradurre άπολείψαι σϖμα con dopo la morte equivale a restringere in modo affatto arbitrario il significato delle parole perché queste due parole significano letteralmente: avendo abbandonato il corpo, senza specificare quando, come e perché, e se mai con un senso di attività, cioè avendo posto da banda il corpo, avendo conquistato e non subìto il suo abbandono. E poiché sappiamo che lo scopo primario che il discepolo pitagorico si proponeva di raggiungere con ogni sforzo era la liberazione dai vincoli del corpo, e non già l'attesa passiva ed inerte della morte o della grazia, è chiaro che nel tradurre bisogna almeno lasciare alle due parole il senso lato che esse hanno nell'originale sebbene da tutto il contesto resulti evidente che esse alludono a quell'abbandono del corpo che si ottiene mediante il «distacco volontario rituale» e non a quel distacco che la morte adduce a tutti gli uomini ed a tutti gli animali, senza bisogno di aiuti, anzi malgrado ogni sforzo in senso contrario. Il famoso pitagorico francese Fabre d'Olivet traduce anche lui in modo arbitrario: en laissant sur le corps regner l'intelligence ²⁷⁾, ed un autore italiano recente fedelmente lo segue.
Un'altra importante distinzione in tre categorie è la seguente: «I pitagorici, scrive il Delatte (28), dividono gli esseri ragionevoli in tre categorie: l'uomo, le divinità ed un essere di una essenza intermedia come era Pitagora». Pure in tre classi erano suddivisi i membri del sodalizio pitagorico; le quali secondo Giamblico erano quelle dei novizii, dei matematici e dei fisici. Altre denominazioni vengono date da altri scrittori ma la divisione è sempre triplice.
In geometria i pitagorici distinguevano tre specie di angoli: acuti, retti ed ottusi che ascrissero a tre specie di divinità ²⁹⁾, e tre specie di triangoli ³⁰⁾: equilatero, isoscele e scaleno. Essi sapevano che il riempimento del piano con poligoni regolari è possibile solo con tre specie di poligoni: il triangolo, il quadrato e l'esagono; e sapevano che tre sono i poligoni regolari che costituiscono le faccie dei cinque poliedri regolari o figure cosmiche. E sebbene nessun testo di geometria pitagorica ci sia pervenuto, è sintomatico che gli Elementi di Euclide abbiano inizio ex abrupto con la considerazione del triangolo equilatero; si può sospettare che ciò avvenisse tradizionalmente anche prima nella geometria dei pitagorici. Ed in musica abbiamo veduto l'importanza delle tre progressioni menzionate da Archita, la progressione aritmetica, geometrica ed armonica con le loro tre medie; e come l'intiera ottava od armonia sia una estensione del tetracordo di Filolao, che è costituito dalle tre corde do, fa, sol e dalla armonica della prima.
In aritmetica abbiamo già veduto che i pitagorici hanno suddiviso i numeri in numeri ellittici, perfetti ed iperbolici. Così pure i numeri rettangolari od epipedi venivano distinti in quadrati, eteromechi e promechi, E cosi pure i pitagorici distinguevano tre classi di numeri pari e tre classi di numeri dispari.
Nicomaco ³¹⁾ distingue tra i numeri pari: 1° - i numeri parimente pari, ossia le potenze del due; 2° - i numeri parimente dispari ossia i numeri della forma 2 (2 m + 1); 3° - i numeri imparimente pari ossia i numeri della forma 2ⁿ (2 m + 1) con n ≥2.
Le tre categorie sono composte dei numeri:
numeri parimente pari : 4,   8,   16,   32 …
numeri parimente dispari : 6,   10,   14,   18 …
numeri imparimente pari : 12,   20,   24,   28 …
La classificazione esaurisce tutte le possibilità, ed i numeri pari della terza classe sono quelli che non appartengono alle altre due. La classificazione dei numeri pari somiglia a quella dei numeri rettangolari, perché come gli eteromechi si distinguono dai promechi perché la differenza tra i lati nel caso dell'eteromeco è di un solo punto e di più punti nel caso dei promechi, così i numeri parimenti dispari contengono un solo fattore due, mentre gli imparimente pari contengono oltre al fattore dispari più volte il fattore due. Notiamo che Euclide nel Libro VII chiama parimente pari il prodotto di due fattori pari: ma questo non è conforme alla tradizione pitagorica e Giamblico biasima Euclide per questa definizione: e secondo quanto riferisce il Taylor ³²⁾ Asclepio nel suo commento manoscritto al primo Libro di Nicomaco dice scorretta questa definizione di Euclide perché con essa si ottengono numeri pari e non numeri parimente pari.

27)   FABRE D'OLIVET, Les vers dorés, pag. 402; e cfr. ALESSIO LUIGI, Pitagora, Milano, 1940.
Il Siouville (A. SIOUVILLE, Les Vers dorés de Pithagore, 1913), traduce: laissant ici bas le corps, traduzione quasi corretta, riportata dal Wirth, Le livre du Maître, 103.

28)   DELATTE, Etudes … 19 e cfr. GIAMBLICO, Vita Pithagorae, 114.

29)   Cfr. PROCLO, ap. TAYLOR, I, 148.
30)   Cfr. Le Coniche di APOLLONIO, ediz. Helberg, Lipsia, 1893, II, 170.
31)   NICOMACO, Introduction to Arithmetic, II, 8 pag. 294.
32)   TAYLOR, The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans, Los Angeles, 1934, pag. 243.

A questa classificazione ternaria dei numeri pari ne corrispondeva una pure ternaria per i numeri dispari secondo la testimonianza di Nicomaco, di Giamblico e di Teone; ma essa ci è stata trasmessa in modo difettoso. Nicomaco distingue: 1° - i numeri primi dispari; 2° - i numeri secondarii e sintetici come il 9, 15, 21, 25, 27, 33… che sono prodotti di due o più fattori primi anche non distinti; 3° - i numeri che sono secondarii e composti in sé stessi ma primi rispetto ad un altro numero come il 25 ed il 9. È manifesto che la seconda classe contiene tutti i numeri che non appartengono alla prima, e nell'esempio stesso riportato da Nicomaco tanto il 25 che il 9 appartengono alle due classi simultaneamente. Occorre dunque restituire la classificazione ternaria pitagorica dei numeri dispari; e ci sembra di poterlo fare nel seguente modo: Osservando che, nella classificazione ternaria pitagorica, tra l'unità ed il numero vi è solo il due; che analogamente nella classificazione dei numeri rettangolari tra il quadrato ed il promeco vi è solo l'eteromeco (che ha un solo punto in più in uno dei suoi lati): e che analogamente nel caso della classificazione ternaria dei numeri pari tra il numero parimente pari 2ⁿ ed il numero imparimente pari 2ⁿ (2 m + 1) in cui con n ≥2 vi è soltanto il parimente dispari 2 (2 m + 1) in cui il fattore due è unico, la classificazione ternaria dei numeri dispari doveva probabilmente essere la seguente: 1° numeri primi dispari; 2° potenze di fattori primi di cui almeno due distinti; 3° potenze di un unico primo dispari con esponente almeno eguale a due. Ossia: numeri primi dispari a; potenze di un solo primo aⁿ con n almeno eguale a due; gli altri casi di numeri dispari in cui vi sono almeno due fattori primi distinti.

Questa classificazione pitagorica dei numeri in terne di numeri pari e terne di numeri dispari non va confusa con la classificazione moderna dei numeri pari e dispari in quattro classi a seconda che il resto della divisione di un numero per quattro è 0, 1, 2, 3; attenzione tanto più necessaria in quanto che la stessa terminologia designa con la stessa parola cose differenti nelle due classificazioni e per esempio i numeri parimente impari pitagorici hanno la forma 2 (2 m + 1) mentre per i moderni hanno la forma 4 M + 1. ³³⁾

Questa classificazione in terne e questa consuetudine ternaria, d'accordo con la arcaica numerazione a base tre che fa del quattro una nuova unità, conduce ad una classificazione in terne di tutti i numeri naturali. E difatti si trova in Teone la seguente disposizione dei primi nove numeri:

1   4   7  α   δ   ζ
2   5   8     ossia     β   ε   η
3   6   9 γ   ς   θ
rappresentati nel testo di Teone dalle prime nove lettere dell'alfabeto greco, le quali al suo tempo servivano appunto come segni numerali dei primi nove numeri. In questa enneade o tema di terne i singoli numeri della prima riga, divisi per tre, danno per resto l'unità, quelli della seconda danno per resto due è quelli della terza non danno resto. Si può osservare che in questa disposizione l'unico numero interno è il cinque, cosa che accade sempre per il cinque, nella disposizione dei dieci numeri della decade secondo la tetractis.
Seguitando a disporre i numeri secondo terne si ottiene una terna di enneadi con 27 numeri rappresentati dalle 24 lettere dell'alfabeto greco e da tre episemi o segni aggiunti nel sistema greco alfabetico di numerazione scritta. La seconda enneade comincia col 10 e la terza termina col 27, che è la terza potenza del tre ed è quindi un numero perfetto perché termina la terna di enneadi. Seguitando ancora si ottiene una enneade di enneadi il cui ultimo numero è 81. Se ci fermiamo a questa quaterna 3, 9, 27, 81 di potenze del tre essa è composta di numeri perfetti nel senso greco aristotelico della parola.
Abbiamo trovato il numero 27 in Porfirio che insiste nel dire che Pitagora passò tre volte nove giorni nel santuario di Giove in Creta; ed esso ricompare come oggetto di particolare attenzione da parte della Massoneria egiziana di Cagliostro. In una lettera, diretta a Cagliostro dal Venerabile della Loggia «Sagesse Triomphante» ³⁴⁾ per rendergli conto dei lavori di inaugurazione del tempio, si trova questo passaggio: «L'adoration et les travaux ont durés trois jours et par un concours remarcable de circonstances nous étions réunis au nombre de 27, et il y a eu 54 heures d'adoration».



Quanto al numero ottantuno lo vediamo comparire in Dante e questa volta senza il solito paravento delle gerarchie e dei principati. Secondo Dante la vita naturale di un uomo perfetto dovrebbe avere la durata di 81 anni, ed egli osserva ³⁵⁾ che «Platone vivette ottantuno anni secondo che testimonia Tullio in quello di Senettute»; ed aggiunge che se Cristo non fosse stato crucifisso sarebbe campato 81 anni. Come si vede Dante la sapeva lunga.
Dante ha diviso la sua Comedia in tre cantiche ciascuna di 33 canti scritti in terzine ciascuna di 33 sillabe. Egli espone nel De vulgari eloquio i motivi di ordine estetico per cui pregia l'endecasillabo ma potrebbe darsi che la scelta dell'endecasillabo fosse dovuta anche ad altre ragioni. Il 99, ultimo numero di due cifre, è un numero perfetto multiplo del tre e del nove; esso è il numero dei canti delle tre cantiche se non si assegna il primo ad una cantica particolare e cento è il numero totale dei canti. Ogni cantica ne contiene 33 come ogni terzina contiene 33 sillabe. Il 33 è prodotto di 3 per 11, il 99 è prodotto di 9 per 11; e se si fa la somma delle prime quattro potenze del tre e dell'unità si ottiene il quadrato di 11 che è il quarto numero primo dispari.
In questa numerazione a base tre, ossia in questa disposizione dei numeri in terne ed enneadi, le nuove unità sono i numeri congiuntivi alle potenze del tre, cioè il 4, 10, 28, 82. Del 4 e del 10 ci siamo già occupati. Quanto al numero 28 esso anzitutto è un numero perfetto nel senso modernamente tecnico e ristretto della parola perché i suoi divisori sono: 1, 2, 4, 7 e 14 la cui somma è appunto 28. Per queste ragioni era tenuto in particolare considerazione dai pitagorici e lo sappiamo in due modi.
L'Antologia Palatina ³⁶⁾ ha conservato sotto il nome dell'epigrammista Socrate un dialogo tra Policrate e Pitagora in cui Policrate domanda a Pitagora quanti atleti stia conducendo nella sua casa verso la saggezza. Pitagora risponde: Te lo dirò, Policrate: la metà studia l'ammirabile scienza delle matematiche, l'eterna natura è oggetto degli studii di un quarto, la settima parte si esercita alla meditazione ed al silenzio, vi sono in più tre donne di cui Teano è la più distinta. Ecco il numero dei miei allievi che sono ancora quelli delle Muse. La soluzione di questo problema e dell'equazione di primo grado corrispondente è proprio il numero 28; ed il modo come il problema è impostato mostra come a Pitagora interessava proprio il rilevare che questo numero era un numero perfetto.
L'altra documentazione circa il numero 28 la dobbiamo alla Basilica pitagorica sotterranea di Porta Maggiore in Roma. Il Carcopino nel suo studio su questa basilica pitagorica mostra ³⁷⁾ come anche i componenti la confraternita pitagorica cui apparteneva la basilica fossero in numero di 28, basandosi sulla osservazione già fatta dalla signora Strong ³⁸⁾ che gli stucchi funerarii della cella della basilica erano appunto 28. Senza la scoperta puramente fortuita di questa basilica pitagorica sotterranea non potremmo asserire con sicurezza che il 28 è un numero sacro nell'architettura sacra pitagorica. Né il Carcopino né l'epigrammista Socrate indicano la ragione della scelta del numero 28. Essa è manifestamente dovuta alla sua perfezione, e questa all'essere eguale alla somma dei proprii divisori ed all'essere una nuova unità, nel sistema a terne ed enneadi.

33)   Notiamo in fine come esempio dell'arcaicità dell'aggruppamento in terne che nella numerazione parlata greca vige come in quella italiana la legge di Handel, ossia le parole che esprimono i grandi numeri sono formate dividendo il numero in gruppi di tre unità, la classe delle unità, la classe delle migliaia, la classe dei milioni ecc.
34)   Cfr. MARC HAVEN, Le maître inconnu, 154. ( 35) DANTE, Conv. IV, 24. ( 36) Anthol. Palatina, XIV, 1.
35)   DANTE, Conv. IV, 24.
36)   Anthol. Palatina, XIV, 1.
37)   JEROME CARCOPINO, La basilique pythagoricienne de la Porte Majeure, Paris, 1927, pag. 255.

38)   EUGENIE STRONG, The stuccoes of the underground basilica near the Porta Maggiore nel Journal of Hellenic studies, XLIV, 1924, pag. 65.

Altre relazioni meno immediate intercedono tra i numeri della quaterna.: 4, 10, 28. 82. Il poligono di 28 lati ha 350 diagonali ossia il decuplo del numero delle diagonali del decagono che ne ha 35. Inoltre il 28° numero tetraedrico è il decuplo del 28° numero triangolare; ed il decimo numero triangolare che è 55 è ad un tempo media armonica e rapporto tra il decimo piramidale a base quadrata che è 1540 ed il quarto esagonale che è 28. Analogamente l'82 che segue il numero perfetto 81 come il 28 segue il 27, è tale che l'82° tetraedrico è eguale a 28 volte l'82° triangolare: si hanno dunque le due relazioni: F (3, 28) = 10 P (3, 28) : F (3, 82) = 28 P (3, 82).
Queste sono una parte delle relazioni tra i numeri: 4, 10, 28, 81.
Tra i multipli del tre il sei è numero perfetto; ed il suo quadrato, il 36, è l'unico numero triangolare che sia quadrato di un altro triangolare. Infatti

e tenendo conto che i due fattori al primo membro sono due numeri primi tra loro e che lo stesso deve accadere al secondo membro, ed esaminando i quattro casi possibili a seconda che x ed y sono pari o dispari si trova facilmente che le sole soluzioni intere e positive sono x = y = 1 ed x = 8, y = 3. Il sei è anche il solo numero per il quale accade che il suo cubo è eguale alla somma dei cubi dei tre numeri consecutivi che lo precedono. Infatti indicando con x - 1, x, x + 1 ed x + 2 i quattro numeri consecutivi deve essere:

(x - 1)³ + x³ + (x + 1)³ = (x + 2)³
ossia x³ - 3 x² - 4 = 0 ossia (xx - 4) (x² + x + 1) = 0 la quale non ammette altra soluzione reale che x = 4 e quindi si ha: 3³ + 4³ + 5³ = 27 + 64 + 125 = 216 = 6³.
Se consideriamo i triangoli rettangoli in numeri interi, l'unico i cui lati abbiano per misura tre numeri interi consecutivi è, come sappiamo, il triangolo egizio (3, 4, 5) la cui area ha per misura il 6; vi sono poi due classi di triangoli in numeri interi cui appartiene come primo triangolo il triangolo egizio, 1° - quelli nei quali l'ipotenusa supera di uno il cateto maggiore loro, 2° - quelli in cui il cateto maggiore supera di uno quello minore. La prima di queste due classi è data dalla formola

la quale per ogni valore dispari di n fornisce un triangolo rettangolo in numeri interi ³⁹⁾. Questa risoluzione è la stessa che al dire di Proclo era data da Pitagora. Il primo triangolo dato da questa formola si ha per n = 3 ed è il triangolo egizio; il secondo si ha per n = 5 ed è il triangolo (5, 12, 13) la cui area è 30; la somma delle aree dei due triangoli è 36. Il problema di determinare un triangolo rettangolo in cui la differenza dei cateti è eguale ad uno è un poco più difficile ed è stato risolto dal matematico Girard; il primo di questi triangoli è il triangolo egizio, il secondo è il triangolo (20, 21, 29) la cui area è 210; la somma delle due aree è 216 = 6³.

39)   Questa formola pitagorica è una conseguenza immediata della proprietà fondamentale che hanno i quadrati di crescere conservando la similitudine della forma. Quando lo gnomone è un quadrato i due quadrati consecutivi hanno per differenza un quadrato. Ora gli gnomoni quadratici non sono altro che i numeri dispari; se l'np numero dispari è un quadrato, cioè se si ha 2 n - 1 = m² la somma dei primi numeri dispari che lo precedono è (n - 1)² e si ha:

e sostituendo si ha

Siccome poi m è dispari cioè della forma m = 2 p + 1 il cateto pari si può scrivere:

che è il quadruplo del p° numero triangolare. Questa formola pitagorica esprime quindi il teorema: il quadruplo del p° numero triangolare ed il (p + 1)° numero dispari sono i due cateti di un triangolo rettangolo in numeri interi in cui l'ipotenusa supera di uno il cateto pari. Si ha cioè:

per esempio per p = 5 si ha il triangolo (60, 11, 61).
Questa formola si deduce come caso particolare dalle formole generali di pag. 40 e 41 ponendo in esse m = p + 1 ed n = p ; infatti la x diviene:
x = p² + 2 p + 1 - p = 2 p + 1 e la y diviene: y = 2 p (p + 1)

Osserviamo adesso che il 36 è l'ottavo numero triangolare e nel medesimo tempo il sesto quadrato ossia si ha:
P (3 , 8) = P (4 , 6) = 36
ed osserviamo che i due numeri 3 ed 8 sono rispettivamente il numero dei lati della faccia dell'ottaedro ed il numero delle faccie, mentre i numeri 4 e 6 sono analogamente il numero dei lati della faccia del cubo od esaedro ed il numero delle faccie; e che queste due figure cosmiche ottaedro e cubo sono reciprocamente polari. Analogamente il ventesimo triangolare che è 210 è eguale al 12° pentagonale, si ha cioè:
P (3 , 20) = P (5 , 12) = 210
ed anche questa volta il numero 20 è il numero delle faccie triangolari dell'icosaedro ed il 12 il numero delle faccie pentagonali del poliedro polare cioè del dodecaedro. In fine per il tetraedro che è autopolare avviene che P (3 , 4) = 10.

Dunque questi tre numeri 10, 36 e 210 si ottengono considerando le cinque figure cosmiche e precisamente le tre coppie di poliedri polari: il tetraedro autopolare, l'ottaedro ed il cubo, l'icosaedro ed il dodecaedro. Per le cinque figure cosmiche esistenti, che tanta parte hanno nella geometria e cosmologia pitagorica e platonica sussiste quindi la mirabile proprietà: i numeri triangolari che hanno per ordine il numero delle faccie di un poliedro a faccie triangolari sono eguali ai numeri poligonali che hanno per genere il numero dei lati 3, 4, 5 del poliedro polare e per ordine il numero delle faccie di questo poliedro. Ossia il numero poligonale che ha per genere il genere della faccia del poliedro e per ordine n numero delle faccie resta invariato passando da un poliedro al poliedro polare.

Si vede poi subito che la somma di questi tre numeri 10, 36 e 210 è eguale a 256 ossia alla quarta potenza del 4.

10 + 36 + 210 =4⁴ = 2⁸
mentre il prodotto di questi tre numeri decomposto in fattori primi contiene i quattro fattori 7, 5, 3, 2 elevati rispettivamente alla prima, seconda, terza e quarta potenza. Le basi formano la quaterna del due e dei primi tre numeri primi dispari e gli esponenti sono i numeri delle tetractis.
I triangolari che hanno per ordine il numero delle faccie del tetraedro, ottaedro ed icosaedro sono rispettivamente:

P (3, 4) = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 = tetractis
P (3, 8) = P (4, 4) = 36 = 1³ + 2³ + 3³ = (1 . 2 . 3)2 = (1 + 2 + 3) ² = (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (7 + 8) = tetractis di Plutarco ⁴⁰⁾.

40)   Le due identità
P (3 , 8) = P (4 , 6) = 36
P (3 , 20) = P (5 , 12) = 210
dicono che l'8° triangolare è eguale al sesto quadrato e che il ventesimo triangolare è eguale al dodicesimo pentagonale. Il problema di determinare un triangolare che sia anche un quadrato è stato risolto da Eulero; l'equazione indeterminata
x (x + 1) = y ammette infinite soluzioni intere date dalla doppia serie
2
x   1   8   49   288
y 1   6   35   204
per le quali valgono le formole ricorrenti
x_n = 6 x_{n - 1} - x_{n - 2} + 2   y_n = 6 y_{n - 1} - y_{n - 2}
Analogamente Eulero (Algebra, ed. Lipsia, pag. 391) ha risolto il problema di determinare i triangolari che sono anche pentagonali ossia ha risolto l'equazione
P (3, 20) = P (5, 12) = 210 = 3 P (5, 7) = 2 . 3 . 7 = prodotto del 2 e dei tre numeri primi della decade.
Si ha inoltre:
10 + 36 + 210 = 4⁴
10 . 36 . 210 = 2⁴ . 3³ . 5² . 7

Non sappiamo se queste proprietà siano già state osservate da altri, sive Deus, sive Dea.
I numeri della tetractis compaiono in alcune formole che esprimono le figure cosmiche come somme di tetraedri, e compaiono anche in fisica atomica in connessione col numero degli elettroni che formano il rivestimento nucleare dell'atomo dei gas rari.
Abbiamo osservato che un numero piramidale si può sempre esprimere come somma dei numeri tetraedrici. Analogamente si può dimostrare che la stessa cosa si verifica per i numeri ottaedrici, cubici, icosaedrici e dodecaedrici; e precisamente che un poliedrico di ordine n è sempre eguale ad una combinazione addittiva dei tre tetraedrici consecutivi di ordine n - 2, n - 1 ed n, e sussistono le seguenti identità:
Ot (n) = F (3 , n) + 2 F (3 , n - 1) +   F (3 , n - 2)
n³ = F (3 , n) + 4 F (3 , n - 1) +   F (3 , n - 2)
Ic (n) = F (3 , n) + 8 F (3 , n- 1) + 6 F (3 , n - 2)
Do (n) = F (3 , n) + 16 F (3 , n- 1) + 10 F (3 , n - 2)
formole che è facile verificare tenendo presente che i primi membri sono dati dalle seguenti formole generali dei numeri poliedrici:
n° tetraedrico, F (3, n) = n (n + 1) (n + 2)
6
n° cubico   n³
n° ottaedrico  
le cui infinite soluzioni sono date dalla doppia serie
x   1   20   285   3976   55385 …
y   1   12   165   2296   31977 …
per le quali valgono le formole ricorrenti
x_n = 14 x_{n - 1} - x_{n - 2} + 6   y_n = 14 y_{n - 1} - y_{n - 2} - 2
I triangolari corrispondenti a valori dispari dell'ordine x sono anche numeri diagonali, hanno cioè la forma z (2 z - 1) con z = 1 , 143 , 27693 …
La prima soluzione, dopo l'unità, dei due problemi è quella data dalle due identità, cioè quella connessa all'ottaedro ed al cubo, ed all'icosaedro e dodecaedro, ed esprime la proprietà che abbiamo enunciata relativa alle figure cosmiche.
n° icosaedrico   n (5 n² - 5 n + 2)
2
n° dodecaedrico   n (9 n² - 9 n + 2)
2
Nelle quattro identità precedenti il coefficiente del termine medio cioè dell'(n - 1)° tetraedrico è rispettivamente 2, 4, 8, 16 ossia la potenza del due che ha per esponente i numeri 1, 2, 3, 4 della tetractis.
Questo accadrebbe secondo la costituzione platonica della materia. In fisica atomica invece compaiono i quadrati dei numeri della tetractis. Ed ecco come: Se si ordinano gli elementi chimici secondo le leggi di Moseley e di Mendelejeff secondo la somiglianza del loro comportamento chimico, la prima colonna viene occupata dai così detti gas rari ossia l'elio, il neon, l'argon, il cripton, lo xenon, l'emanazione del radio. E si trova che il numero degli elettroni che costituiscono il rivestimento del loro nucleo atomico, nell'ordine sopra scritto che è quello naturale a seconda del loro peso atomico e del numero atomico è rispettivamente:
2   10   18   36   54   86
Le corrispondenti differenze finite o gnomoni sono quindi rispettivamente ed ordinatamente
2     8 8    18 18    32 ossia
2 . 1²,   2 . 2²,   2 . 3², 2 . 4²
ossia il doppio dei quadrati dei numeri della tetractis.
Osserviamo che i primi quattro triangoli rettangoli dati dalla formula di Pitagora (v. pag. 67) sono: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), ed in essi la differenza, tra l'ipotenusa ed il cateto dispari ha proprio i valori 2, 8, 18, 32. Tali triangoli hanno infatti i lati

e la differenza tra l'ipotenusa ed il cateto dispari n è

CHAPTER VI

The tripartite table

Άεισω συνέτοισι· χετρας δ΄έπίθεσθε βέβηλοι
verses attributed by Stobaeus (Flor. XLI) to Pythagoras

The three immovable jewels of the Lodge are the rough ashlar, the cubic [perfect] ashlar, and the tracing board, or tripartite table, respectively corresponding to the Apprentice, the Fellow-craft, and the Worshipful Master. This tracing board sometimes bears figures or drawings, sometimes, and more often, it bears the Masonic alphabets in cipher, characterized by the fact that they are composed of square-shaped characters. It is obtained by drawing a pair of parallel lines and cutting them with another pair of lines parallel to each other and perpendicular to the first pair, so that the table is divided into nine parts arranged in three lines and three columns. For this reason, it is clearly called a tripartite board, or, with the ancient name tiercel board.
The result is nine square-shaped boxes whose outline is only partially traced and is complete only for the central box. They designate the letters of the alphabet; and depending on the times and languages, they have variations. In the 18th century, the most generally adopted form was that reproduced in fig. 12. ¹⁾

As you can see, the sign of K and V is missing. The sign L, initial for Lodge, is still used today to indicate a Lodge. Furthermore, we see that the tripartite table is not sufficient on its own to represent all the letters of the alphabet and it is necessary to use other signs for u, x, y, z.
This observation would be enough to provoke suspicion about the real purpose of the division of the tracing board; the tripartition had to pre-exist and was adapted for the Masonic alphabet as best as possible. It is a question of investigating what the ancient function of the tracing board was, and how the new was added to the old and replaced it.
Wirth rightly observes ²⁾ that it lends itself to the study of the triple ternary, that is, of the monadic numbers of the Pythagoreans, which can be made to correspond in various ways to the nine boxes. In Theon of Smyrna is found the following arrangement:
1   4   7 α   δ   ζ
2   5   8     namely     β   ε   η
3   6   9 γ   ς   θ
because Theon used the letters of the Greek alphabet to indicate numbers, instead of the so-called Arabic numerals which we have been using for about six centuries. The alphabetical system of written numbering in use at the time of Theon consisted of 27 signs, i.e., the 24 letters of the Attic Greek alphabet, to which were added three signs (called episema or added signs) which had been used in more ancient writing, and had fallen into disuse for various reasons, and they were precisely the signs of the stigma that replaces the ancient digamma, of the koppa and the sampi. Consequently, three tables like that of Theon can be formed with these 27 signs; but Theon only gives the first of these three tables, not because he is particularly interested in the first nine letters of the alphabet, but because he is particularly interested in the first nine numbers of the decade, since it is always possible, as we know, to reduce the consideration of the other numbers to that of the first nine, and these being the numbers that were useful for understanding the works of Plato. Of course, the Theon table can also be written by exchanging the rows with the columns, that is
1   2   3 α   β   γ
4   5   6     namely     δ   ε   ς
7   8   9 ζ   η   θ
These numbers, and therefore also the corresponding letters of the Greek alphabet, can be written in any way, for example by means of the Arabic numerals, or by means of the ancient Herodian written numbering, or by means of the mysterious signs that, according to Boethius, were used by the Pythagoreans, or simply by depicting the respective box. But even when using the letters of the Greek alphabet, it must be kept in mind that they represented only numbers.

1)   See O. WIRTH, Le livre du compagnon [The Fellow-craft's book], 14.
2)   WIRTH, Le livre du compagnon, 141.

Thus traced, Theon's table coincides with the tripartite table of the freemasons; and, together with the rough ashlar and the cubic [perfect] ashlar, it refers to the construction of temples, which, according to the ritual, is the task of Freemasonry, it recalls that in this construction it is necessary to know the sacred numbers, and furthermore, due to its shape, it indicates that the division into triads is of special importance.
In particular, the numbers of the second row are the arithmetic means of the numbers of the other two rows belonging to the same column; so 4 = (1 + 7) : 2, 5 = (2 + 8) : 2, 6 = (3 + 9) : 2; and similarly, the numbers of the second column are the arithmetic means of the numbers of the other two columns belonging to the same row, so 2 = (1 + 3) : 2, 5 = (4 + 6) : 2, 8 = (7 + 9) : 2. The number five, which occupies the central square, has the additional property of being the arithmetic average of the extreme numbers of each row, column, or diagonal that passes through the central square. In Theon's tripartite table, five, that is, the number of the flaming star and of the fellow-craft freemason, excels in its central position and in the property indicated above. The tripartite table of the nine numbers suggests to the Mason the contemplation and study of sacred numbers; and, since it is one of the three immovable jewels, it shows that this study is associated with the work of roughing the rough ashlar and the squaring the perfect ashlar, or that it is intermediate between the rough ashlar and the perfect ashlar. Even the purely numerical symbolism of this tracing board is Pythagorean and universal, and conforms to the universalism of Freemasonry.
When and how did we pass from this purely tripartite and numerical table to the tripartite table that contains the signs of a particular alphabet and a particular language? We seem to be able to answer this question satisfactorily by examining the subsequent derivations of Theon's table and the Greek alphabetical numbering.
The alphabetical system of written numbering consists of the following twenty-seven signs:

The superscript at the top right of the letters was used to distinguish numbers from words. The sixth, 21st, and last signs are respectively the signs of the three episema stigma, koppa and sampi. The stigma is equivalent to the ancient digamma F.
Although the order in which the signs of the alphabetic system of written numbering thus presented coincides in principle with the order of the twenty-two letters of the Phoenician alphabet, from which the Greek alphabet undoubtedly comes, the idea of using alphabetic signs to designate the numbers is Greek and not Phoenician; ³⁾ and the Jews formed their own system of numbering written by letters, similarly to the Greek system. The Jews also made use of the twenty-two letters of the Hebrew alphabet for this purpose, to which they added the final five letters. In both the Greek and Hebrew systems, the first nine letters are used to indicate the monadic numbers, i.e., from one to nine, the second ennead is used to indicate the tens D (decadeic) numbers, and the last ennead to indicate the hundreds or ekatontadic [centenary] numbers.
In these two systems, letters represent numbers and, conversely, numbers correspond to letters. From this derive the methods of numerical onomancy and isopsephic calculations in both Greek and Hebrew: for example, St. Hippolytus of the first half of the third century calculates the number of the word Άγαμέμνων by adding the numbers corresponding to the letters and then taking the remainder of the division of this number by nine, remainder called pithmeme [πυθμέμη], that is, reducing this number to the first decade. It is obtained in this way
1 + 3 + 1 + 4 + 5 + 4 + 5 + 8 + 5 = 36
whose pithmeme is nine, because 3 + 6 = 9.
The passage from this alphabetic script of numbers in Greek and Hebrew to the cipher script and the Masonic alphabet seems to have occurred through the work of the Jewish kabbalists. Enrico Cornelio Agrippa, ⁴⁾ speaking of sacred and secret scriptures, writes: "Another kind of writing, highly regarded in the time of the kabbalists, has now become so common that it has almost fallen into the hands of the layman." It is made up of three groups of nine Hebrew letters, in all 27 letters that form the Hebrew alphabetical written numbering system. The first group is arranged in the nine boxes obtained as those of the tripartite table, the second group arranging in a similar way the following nine letters, and the third doing the same with the last nine. The cipher script of the kabbalists, so much reputed according to Agrippa, consists simply in replacing each letter with the box that contains it. It is only necessary to proceed from right to left, as in the Hebrew writing, to obtain the first nine letters; thus indicates the first letter or aleph, the second or beth, indicates the third or ghimel, and so on, putting a point, two points, or three points inside the box depending on whether one wants to indicate the letters of the first, of the second, and the third group. The interest of the thing for Agrippa does not lie in the possibility of the secret offered by this writing in cipher, but in the correspondences that this table establishes between the three enneads of letters, of numbers, and the three intellectual, celestial, and elementary worlds; but Agrippa's complaints about the excessive popularity of this reputed scripture show how it had already spread to the profane field, which probably did not use it for the calculations and esoteric combinations of the Hebrew cabala. A century later, this coded writing is no longer reserved for the Hebrew language, but we find an adaptation of it to Latin and modern languages with arbitrary and variable assignment of the letters of the alphabet to the various boxes. These ciphers are found, for example, in the works of Giovanni Battista Della Porta and of the kabbalist Blaise de Vigenère. ⁵⁾ From the enigmatistic point of view, the value of these ciphers is childish; from the divinatory and onomastic point of view, any calculation based on the numerical values of the letters has no value in itself, which did not prevent Protestants and Catholics from using it as an argument in their religious polemics.

Lastly, the alphabet encrypted by means of the boxes in the tripartite table appears in Freemasonry, and constitutes the Masonic alphabet. For example, the Thuileur de l'Ecossisme ⁶⁾ and Vuillaume's Masonic Manual ⁷⁾ show the figure of the tripartite tracing board and containing in the boxes the letters of the alphabet. But in more ancient Masonic publications or on Freemasonry the tracing board is not tripartite, it does not contain the writing in cipher and, instead, contains drawings conforming to its function of serving the geometric and architectural calculations of the masons. Thus, for example, it happens in the work: L'ordre des Franc-Maçons trahi ⁸⁾ which dates back to 1742, so that one could think that Freemasonry had adopted both a tripartite table and a Masonic alphabet in the 18th century; and that previously the tracing board did not contain the tripartition. But this is certainly not the case, because a previous English publication, which is one of the oldest existing on Freemasonry, and precisely Prichard's Masonry Dissected which is from 1730, that is a few years after the foundation of the Grand Lodge of London, mentions as dominant the tripartite table, which he calls with the antiquated English term tiercel board, and shows how since that time the tripartite table belonged with its characteristic name to the symbolic and professional heritage of the fraternity.
It seems, therefore, very likely that the tripartite table of Freemasonry was in ancient times drawn on the tracing board, as its old English name indicates, and consisted of only two pairs of perpendicular lines. The old English Masons certainly did not feel the need or the opportunity for a numerical alphabet to correspond to each other; while, on the other hand, as Freemasonry transplanted into the European continent, and precisely in France, and assumed a social and political character, it seemed that having a secret writing could be of some use; and since the ciphered writings of Porta and Blaise de Vigenère were admirably adapted, due to their common origin from the table of Theon, to host these alphabets in their boxes, the letters of the alphabet were inserted in the boxes of the tripartite table without further ado, without however being able to obviate the fact that the nine boxes lend themselves well to represent the enneads of the letters expressing the Greek numbering, but they do not lend themselves well to the representation of the letters of our alphabets, whose number is not a multiple of nine. But, even if the story of the ensuing steps is not exactly this, it seems to us beyond doubt that in one way or another the origin of the tracing board ultimately goes back to Theon's table. It indicates to freemasons that their buildings must be based on the properties of numbers or geometry and, symbolically, that Masonic works must be carried out bearing in mind the properties of the sacred numbers. This is particularly true of the "great work."

Finally, we note that the tracing board of the ancient masonic guild can be associated, if not identified, in a very simple and natural way but generic and of little significance, with the ancient Pythagorean abacus, the δέλτος, or pythagoric table, later confused with the ancient multiplication table which, until a few years ago, was still taught in elementary schools. In fact, a passage from Iamblichus presents ⁹⁾ Pythagoras in the act of introducing a young man to the arithmetic mysteries by means of figures traced on a άβαξ, and thus traces back to Pythagoras the use of the abacus, that is, a table covered with dust to perform the calculations. The abacus was a very common tool, and the Roman boys going to school carried by a shoulder strap this tablet tied to a box containing the calculi, ¹⁰⁾ that is, the pebbles to calculate. The deltos was so named for its ancient shape similar to the delta; and was called άβάχιον, diminutive of άβαξ table, it was used to write accounts and mathematical figures. The Latin designation, mensa pythagorica [pythagoric table], found in Boethius, specifies its original use for the measure or mensura [measuring]. Just as today going to the table and going to the mensa [cafeteria] mean the same thing, so also for the Romans the word mensa also indicated the table to eat.
Both the tripartite table and the Delta or tetractys refer to the numbers of the decade. The tripartite table contains the first nine numbers distributed in triads and arranged so that five is the only central number. The total sum of the numbers in the tripartite table is 45 = 5 x 9; that of the numbers of the tetractys is 55 = 5 x 11; and of course, the total sum is 100 = 10². The tetractyis accords with the numbering based on the 10, and is based on the derivation of numbers through linear, planar and spatial development; the tripartite table is based on the numbering based on the three, and on the function and importance that the three has in the Pythagorean philosophy.
We have highlighted the Pythagorean, pure, and archaic character of three fundamental symbols of Freemasonry: the luminous Delta, the blazing star, and the tripartite table. The symbolic meaning of the sacred numbers "known only to freemasons" must, therefore, be determined in accordance with, and coincides with the Pythagorean philosophy. Other elements of a Pythagorean character that are found in Freemasonry are the secrecy, the silence and the discipline imposed on the novice, the fraternal bond symbolized by the wavy ribbon. ¹¹⁾

4)   E. C. AGRIPPA, La filosofia occulta e la Magia [Occult Philosophy and Magic]. See pag. LXXI of the introductory study by A. Reghini.
5)   GIOVANNI BATTISTA DELLA PORTA, De furtivis literarum notis vulgo de ziferis. Libri III Neapoli 1563 pag. 92- 94. BLAISE DE VIGENERE, Traité des chiffres ou secrètes manières d'escrire, Paris, 1567, pag. 275.
6)   Thuileur de l'Ecossisme. Nouvelle édition; Paris, 1821; Table 3 and 4.
7)   VUILLAUME, Manuel maçonnique par un vétéran de la Maçonnerie; 1^a ed., 1820. Vedi Planche III della 2^a ed.
8)   L'ordre des Francs-maçons trahi [The Order of the Freemasons Betrayed], 1742. In this first edition the author's name is written in the cipher alphabet and is the abbot Pérau; but, according to Casanova, it is Giovanni Gualberto Bottarelli.
9)   See G. LORIA, Le scienze …, 753.
10)   See HORATIO, Satire, I, 6 verse 73.
11)   The expression: active and unrewarded worker, used frequently in Freemasonry, closely recalls the Pythagorean maxim: σχᾶμα ϰαί βᾶμα άλλ΄ού σχᾶμα ϰαί τριόβαλον i.e., a scheme and a step, but not a scheme and a triobol.

Freemasonry, with its ceremonial initiation, appears as a continuation in modern times of the classical mysteries entrusted to a trade corporation specialized in sacred architecture. Its origin is unknown: it is not known to whom to attribute its rituals, its symbolism, in which the Pythagorean elements are intimately linked to those of the operative Masons since ancient times. Is it a historically uninterrupted transmission from the ancient mysteries? For example, from the Pythagorean sect of the Acusmatics or from an ancient trade guild to which elements of an initiatory nature were grafted? Or was the mysteriosophical initiatory character later acquired in an unspecified time by a professional guild as it later happened with Rosicrucian and hermetic elements? What is the time of the Jewish-Christian legend of Hiram and the construction of Solomon's temple? Is the tradition of the St. John Freemasonry [blue lodges] connected with the movements of the medieval heresy or is it antecedent? All questions that await an answer. However, the numerical and geometric symbolism of Freemasonry is the Pythagorean one, and, since it is free from any Christian coloring, it may be that the fusion of the symbolism of trade and Pythagorean symbolism goes back to any post-Pythagorean period, and it is certainly not a recent innovation, but one with a very ancient characteristic.
As for the light emanating from the Masonic Delta and the flames emanating from the flaming star; it is difficult to say whether it is an archaic characteristic or acquired by the two Pythagorean symbols. In Pythagorean literature, the luminous tetractys and the flaming pentalpha are never mentioned. Perhaps the appearance of this light and flame in the two most important symbols of an institution that gives Masonic light to the profane is quite natural. But, since in addition to the flaming star in symbolism there is also the flaming sword, it seems to us that it is necessary to seek the explanation in the field of magic, in those fiery characters in which, according to the Hebrew tradition, the three words mane, techel, fares were written. But this is not the place for a digression on this subject.
Lastly, we note that the masonic symbolism is probably very archaic. In ancient Rome, the Pontifex Maximus was the bridge between the human shore and the divine shore, a title and function that the Bishop of Christian Rome later assumed. The Pontifex Maximus is connected to the three Flaminii, and since this term is probably connected to the Sanskrit Brahmins, it allows us to go back for the etymology and function to the times when Indo-European was a spoken language and not as today an unknown language.
Returning again to the tracing board, we observe that the apprentice degree ritual sometimes says that it represents memory, without in any way justifying this statement. This interpretation appears so arbitrary; while it can easily be connected to our interpretation by recalling that Mnemosyne, the memory, is at the head of the nine Muses, the muses that show the bears [ursae constellations] to Dante led by Apollo while Minerva expires. Mnemosyne, in the Pythagorean Orphic myth of the two rivers or the crossroads, is the vivifying source, the Dantesque Eunoe, opposite to the lethal source of Lethe. Furthermore, in the Platonic conception, understanding is nothing more than an anamnesis, a memory; therefore, memory has the function of making people understand. If we do not keep in mind this meaning of memory according to the ancients, we do not see why memory should have the tracing board as a symbol, especially if we do not remember that this table is tripartite and divided into nine boxes representing the nine numbers within the decade.
The study we have made of these nine numbers has led us to recognize the Pythagorean character of the Masonic delta, of the blazing star, and of the tracing board, their connection and harmony and, in part, their symbolic meaning. The rituals of the first and second degree, the only primitive and strictly masonic, thus regain their coherent and profound meaning which otherwise remains hidden by the sediments and later incrustations.

CAPITOLO VI

La tavola tripartita

Άεισω συνέτοισι· χετρας δ΄έπίθεσθε βέβηλοι
versi attribuiti da STOBEO (Flor. XLI) a PITAGORA

I tre gioielli immobili della Loggia sono la pietra grezza, la pietra, cubica e la tavola da tracciare, o tavola tripartita, rispettivamente corrispondenti al novizio, al compagno ed al maestro venerabile. Questa tavola da tracciare, o da disegnare, porta talvolta delle figure o disegni, tal'altra, e più spesso, porta gli alfabeti massonici in cifra, caratterizzati dal fatto che sono composti da caratteri a forma quadrata. Essa si ottiene tracciando una coppia di rette parallele e tagliandole con un'altra coppia di rette parallele tra loro e perpendicolari alla prima coppia, di modo che la tavola viene suddivisa in nove parti disposte in tre linee ed in tre colonne. Per questa ragione, manifestamente, è chiamata tavola tripartita, o, con antica denominazione tiercel board.
Si ottengono così nove caselle di forma quadrata il cui contorno è tracciato solo parzialmente ed è completo per la sola casella centrale. Esse designano le lettere dell'alfabeto; ed a seconda dei tempi e delle lingue presentano delle varianti. Nel XVIII secolo la forma più generalmente adottata fu quella riprodotta nella fig. 12. ¹⁾

Come si vede manca il segno del K e del V. Il segno della L, iniziale di Loggia, è ancora oggi usato ad indicare appunto una Loggia. Inoltre si vede che la tavola, tripartita non è sufficiente da sola a rappresentare tutte le lettere dell'alfabeto ed occorre usare altri segni per la u, x, y, z.
Basterebbe questa constatazione per provocare il sospetto sopra il vero scopo della ripartizione della tavola da tracciare; la tripartizione doveva preesistere ed è stata alla meglio adattata per l'alfabeto massonico. Si tratta di indagare quale fosse l'antica funzione della tavola da tracciare e come la nuova si sia aggiunta alla antica e l'abbia sostituita.
Il Wirth osserva giustamente ²⁾ che essa si presta allo studio del triplo ternario, ossia dei numeri monadici dei pitagorici, che si possono fare corrispondere in varii modi alle nove caselle. In Teone da Smirne si trova la seguente disposizione:
1   4   7 α   δ   ζ
2   5   8     ossia     β   ε   η
3   6   9 γ   ς   θ
poiché Teone per indicare i numeri faceva uso delle lettere dell'alfabeto greco, invece delle così dette cifre arabe che noi usiamo da circa sei secoli. Il sistema alfabetico di numerazione scritta in uso al tempo di Teone era costituito da 27 segni cioè dalle 24 lettere dell'alfabeto greco attico cui si aggiungevano tre segni (detti episemi o segni aggiunti) che erano stati adoperati più anticamente nella scrittura, erano caduti in disuso per varie ragioni, ed erano precisamente i segni dello stigma che sostituisce l'antico digamma, del koppa e del sampi. Per conseguenza si possono formare con questi 27 segni tre tavole come quella di Teone; ma Teone dà soltanto la prima di queste tre tavole non perché si interessi in modo speciale alle prime nove lettere dell'alfabeto ma perché si interessa in modo speciale ai primi nove numeri della decade, potendosi sempre, come sappiamo, ridurre la considerazione degli altri numeri a quella dei primi nove, ed essendo questi i numeri che erano utili alla comprensione delle opere di Platone. Naturalmente la tavola di Teone si può anche scrivere scambiando le righe con le colonne ossia

1   2   3 α   β   γ
4   5   6     ossia     δ   ε   ς
7   8   9 ζ   η   θ
Questi numeri, e quindi anche le lettere corrispondenti dell'alfabeto greco, possono essere scritti in un modo qualunque, per esempio mediante le cifre arabe, o mediante l'antica numerazione scritta erodiana, o mediante i segni misteriosi di cui secondo Boezio facevano uso i pitagorici, od anche semplicemente mediante la raffigurazione della rispettiva casella. Ma anche adoperando le lettere dell'alfabeto greco occorre tenere presente che esse rappresentavano soltanto dei numeri.

1)   Cfr. O. WIRTH, Le livre du compagnon, 14.

2)   WIRTH, Le livre du compagnon, 141.

Così tracciata, la tavola di Teone coincide con la tavola tripartita dei liberi muratori; e, insieme alla pietra grezza ed alla pietra cubica si riferisce alla costruzione dei templi, che secondo il rituale è il compito della massoneria, essa ricorda che in questa costruzione occorre la conoscenza dei numeri sacri, ed inoltre per la sua forma indica che la divisione in terne è di speciale importanza.

In particolare i numeri della seconda riga sono le medie aritmetiche dei numeri delle altre due righe appartenenti alla stessa colonna; così 4 = (1 + 7) : 2, 5 = (2 + 8) :2, 6 = (3 + 9) : 2; ed in modo consimile i numeri della seconda colonna sono le medie aritmetiche dei numeri delle altre due colonne appartenenti alla stessa riga, così 2 = (1 + 3) : 2, 5 = (4 + 6) : 2, 8 = (7 + 9) : 2. Il cinque, che occupa la casella centrale, ha in più la proprietà di essere media aritmetica dei numeri estremi di ogni riga, colonna, o diagonale che passa per la casella centrale. Nella tavola tripartita di Teone il cinque, cioè il numero della stella fiammeggiante e del compagno libero muratore, eccelle per la posizione centrale e per la proprietà su indicata. La tavola tripartita dei nove numeri suggerisce al massone la contemplazione e lo studio dei numeri sacri; e, poiché essa è uno dei tre gioielli immobili, mostra che questo studio va associato al lavoro del digrossamento della pietra grezza e di squadratura della pietra cubica, od è intermedio tra la pietra grezza e la pietra cubica. Anche il simbolismo puramente numerico di questa tavola da tracciare è pitagorico ed universale e conforme all'universalismo della massoneria.

Quando e come da questa tavola puramente tripartita e numerica si è passati alla tavola tripartita che contiene i segni di un particolare alfabeto e di una lingua particolare? A questa domanda ci sembra di potere rispondere soddisfacentemente esaminando le successive derivazioni della tavola di Teone e della numerazione alfabetica greca.
Il sistema alfabetico di numerazione scritta è costituito dai seguenti ventisette segni:

L'apice posto in alto a destra delle lettere serviva per distinguere i numeri dalle parole. Il sesto segno, il 21° e l'ultimo sono rispettivamente i segni dei tre episemi stigma, koppa e sampi. Lo stigma equivale all'antico digamma F.
Sebbene l'ordine in cui si presentano i segni del sistema alfabetico di numerazione scritta coincida di massima con l'ordine delle ventidue lettere dell'alfabeto fenicio, da cui indubbiamente proviene l'alfabeto greco, l'idea di servirsi dei segni alfabetici per designare i numeri è greca e non fenicia³⁾; e gli ebrei formarono il loro sistema, di numerazione scritta mediante le lettere a simiglianza del sistema greco. Anche gli ebrei fecero all'uopo uso delle ventidue lettere dell'alfabeto ebraico cui aggiunsero le cinque lettere finali. Tanto nel sistema greco che in quello ebraico le prime nove lettere servono ad indicare i numeri monadici cioè dall'uno al nove, la seconda enneade serve ad indicare le decine D numeri decadeici e l'ultima enneade ad indicare le centinaia o numeri ekatontadici.
In questi due sistemi le lettere rappresentano i numeri e viceversa i numeri corrispondono alle lettere. Ne derivano i metodi di onomanzia numerica ed i calcoli isopsefici tanto in greco che in ebraico: per esempio S. Ippolito della prima metà del III secolo calcola il numero della parola Άγαμέμνων facendo la somma dei numeri corrispondenti alle lettere e poi prendendo il resto della divisione per nove di questo numero, resto detto pitmene, ossia riducendo tale numero alla prima decina. Si ottiene in tal modo

1 + 3 + 1 + 4 + 5 + 4 + 5 + 8 + 5 = 36
il cui pitmene è nove, perché 3 + 6 = 9.
Il passaggio da questa scrittura alfabetica dei numeri in greco ed in ebraico alla scrittura cifrata ed all'alfabeto massonico pare sia avvenuto per opera dei cabalisti ebrei. Enrico Cornelio Agrippa, parlando delle scritture sacre e segrete, scrive ⁴⁾: «Un'altra specie di scrittura, assai reputata al tempo dei cabalisti, è divenuta oggi di uso tanto comune da essere quasi caduta in mano dei profani». Essa è composta di tre gruppi di nove lettere ebraiche, in tutto le 27 lettere che formano il sistema di numerazione scritta alfabetica ebraica. Il primo gruppo è disposto nelle nove caselle ottenute come quelle della tavola tripartita, il secondo gruppo disponendo in simil modo le seguenti nove lettere ed il terzo facendo altrettanto con le ultime nove. La scrittura in cifra dei cabalisti, tanto reputata secondo Agrippa, consiste semplicemente nel sostituire ad ogni lettera la casella che la contiene. Occorre soltanto procedere da destra a sinistra come nella scrittura ebraica per ottenere le prime nove lettere; così indica la prima lettera od aleph, la seconda o beth, indica la terza o ghimel, e così via mettendo un punto, due punti, o tre punti nell'interno della casella a seconda che si vuole indicare le lettere del primo, del secondo e del terzo gruppo. L'interesse della cosa per Agrippa non sta nella possibilità del segreto offerta da questa scrittura in cifra, quanto nelle corrispondenze che questa tavola stabilisce tra le tre enneadi di lettere, di numeri ed i tre mondi intellettuale, celeste ed elementare; ma le lamentele di Agrippa, per la eccessiva popolarità di questa reputata scrittura mostrano come essa si fosse già diffusa nel campo profano, che probabilmente non la adoperava per i calcoli e le combinazioni esoteriche della cabala ebraica. Un secolo dopo questa scrittura cifrata non è più riserbata alla lingua ebraica, ma ne troviamo una adattazione alla lingua latina ed alle lingue moderne con assegnazione arbitraria e variabile delle lettere dell'alfabeto alle varie caselle. Queste scritture in cifra si trovano esposte per esempio nelle opere di Giovanni Battista Della Porta e del cabalista Blaise de Vigenère ⁵⁾. Dal punto di vista enigmistico il valore di queste scritture in cifra è infantile; dal punto di vista divinatorio ed onomastico ogni calcolo basato sopra i valori numerici delle lettere non ha per sé stesso alcun valore, il che non impedì a protestanti e cattolici di servirsene come argomento nella loro polemica religiosa.
Finalmente l'alfabeto cifrato mediante le caselle della tavola tripartita compare in massoneria, e costituisce l'alfabeto massonico. Per esempio il Thuileur de l'Ecossisme ⁶⁾ ed il Manuale massonico del Vuillaume ⁷⁾ riportano la figura della tavola da tracciare tripartita e contenente nelle caselle le lettere dell'alfabeto. Ma in più antiche pubblicazioni massoniche o sopra la massoneria la tavola da tracciare non è tripartita, non contiene la scrittura in cifra, e contiene invece dei disegni, conforme alla sua funzione di servire ai calcoli geometrici ed architettonici dei muratori. Così per esempio accade nell'opera: L'ordre des Franc-Maçons trahi ⁸⁾ che è del 1742, talché si potrebbe pensare che la Massoneria avesse adottato in blocco nel XVIII secolo tavola tripartita ed alfabeto massonico; e che precedentemente la tavola da tracciare non contenesse la tripartizione. Ma così non è sicuramente perché una pubblicazione inglese precedente, che è una delle più antiche che esistono sopra la massoneria e precisamente la Mansonry dissected del Prichard che è del 1730 cioè pochi anni dopo la fondazione della Gran Loggia di Londra, menziona la tavola tripartita che denomina col termine antiquato inglese tiercel board e mostra come già da allora la tavola tripartita appartenesse col suo caratteristico nome al patrimonio simbolico e di mestiere della fratellanza.
Sembra adunque molto probabile che la tavola tripartita della Massoneria fosse in antico tracciata sulla tavola da tracciare come indica il suo vecchio nome inglese e consistesse delle sole due coppie di rette tra loro perpendicolari. I vecchi massoni inglesi non sentivano certo il bisogno o l'opportunità di un alfabeto in cifra per corrispondere tra loro; mentre invece, trapiantandosi la Massoneria nel continente europeo e precisamente in Francia ed assumendo carattere sociale e politico, sembrò che il disporre di una scrittura segreta potesse essere di qualche utilità; e siccome le scritture cifrate di Porta e di Blaise de Vigenère si adattavano mirabilmente, per la comune origine dalla tavola di Teone, ad ospitare nelle loro caselle tali alfabeti, senza altro le lettere dell'alfabeto vennero inserite nelle caselle della tavola tripartita, senza per altro poter ovviare al fatto che le nove caselle si prestano bene per rappresentare le enneadi delle lettere che esprimono la numerazione greca ma non si prestano bene alla raffigurazione delle lettere dei nostri alfabeti il cui numero non è un multiplo del nove. Ma, anche se la storia dei successivi passaggi non è esattamente questa, ci sembra fuori dubbio che in un modo o nell'altro l'origine della tavola da tracciare risalga in definitiva alla tavola di Teone. Essa indica ai liberi muratori che le loro costruzioni debbono basarsi sopra le proprietà dei numeri o della geometria, e simbolicamente che i lavori massonici vanno eseguiti tenendo presenti le proprietà dei numeri sacri. Questo vale in particolare per la «grande opera».
Notiamo in fine che la tavola da tracciare dell'antica corporazione muratoria si può associare se non identificare in un modo molto semplice e naturale ma generico e di scarso significato con l'antico abbaco pitagorico, il δέλτος, o mensa pythagorica, più tardi confusa con l'antica tavola pitagorica che sino a pochi anni fa si insegnava ancora nelle scuole elementari. Un passo di Giamblico infatti presenta ⁹⁾ Pitagora nell'atto di iniziare un giovane ai misteri aritmetici mediante figure tracciate sopra un άβαξ, e fa in tal modo risalire a Pitagora l'uso dell'abbaco, ossia di una tavola ricoperta di polvere per eseguire i calcoli. L'abbaco era un arnese assai comune, ed i ragazzi romani andando a scuola portavano questa tavoletta ad armacollo legata ad una cassetta contenente i calcoli ¹⁰⁾ ossia le pietruzze per calcolare. Il deltos era così chiamato per l'antica sua forma simile al delta; ed era chiamato άβάχιον, diminutivo di άβαξ tavola, serviva per scrivere conti e figure matematiche. La designazione latina, mensa pythagorica, che si trova in Boezio, ne specifica l'uso originale per la misura o mensura. Come oggi andare a tavola ed andare a mensa significano la stessa cosa, così anche per i romani la parola mensa indicava anche la tavola da mangiare.

Tanto la tavola tripartita quanto il Delta o tetractis si riferiscono ai numeri della decade. La tavola tripartita contiene i primi nove numeri distribuiti in terne e disposti in modo che il cinque è il solo numero centrale. La somma complessiva dei numeri della tavola tripartita è 45=5. 9; quella dei numeri della tetractis è 55 = 5 . 11; e naturalmente la somma complessiva è 100 = 10² . La tetractis si accorda con la numerazione a base dieci e si basa sopra la derivazione dei numeri mediante lo sviluppo lineare, piano e spaziale; la tavola tripartita si basa sopra la numerazione a base tre, e sopra la funzione e l'importanza che ha il tre nella filosofia pitagorica.
Abbiamo messo in evidenza il carattere pitagorico, puro ed arcaico di tre simboli fondamentali della massoneria: il Delta luminoso, la stella fiammeggiante e la tavola tripartita. Il significato simbolico dei numeri sacri «noti ai soli liberi muratori» va quindi determinato in conformità, e coincide con la filosofia pitagorica. Altri elementi di carattere pitagorico che si trovano in massoneria sono il mistero, il silenzio e la disciplina imposti al novizio, il legame fraterno simboleggiato dal nastro ondulato ¹¹⁾.

4)   E. C. AGRIPPA, La filosofia occulta e la Magia. Vedi la pag. LXXI dello studio introduttivo di A. Reghini.
5)   GIOVANNI BATTISTA DELLA PORTA, De furtivis literarum notis vulgo de ziferis. Libri III Neapoli 1563 pag. 92- 94. BLAISE DE VIGENERE, Traité des chiffres ou secrètes manières d'escrire, Paris, 1567, pag. 275.
6)   Thuileur de l'Ecossisme. Nouvelle édition; Paris, 1821; planche 3 et 4.
7)   VUILLAUME, Manuel maçonnique par un vétéran de la Maçonnerie; 1^a ed., 1820. Vedi Planche III della 2^a ed.
8)   L'ordre des Francs-maçons trahi, 1742, In questa prima edizione il nome dell'autore è scritto nell'alfabeto cifrato ed è l'abate Pérau; ma secondo quanto racconta Casanova è Giovanni Gualberto Bottarelli.

9)   Cfr. G. LORIA, Le scienze …, 753.
10)   Cfr. ORAZIO, Satire, I, 6 verso 73.
11)   L'espressione: operaio attivo e senza ricompensa, usata frequentemente in massoneria, ricorda da presso la massima pitagorica: σχᾶμα ϰαί βᾶμα άλλ΄ού σχᾶμα ϰαί τριόβαλον ossia uno schema ed un passo, ma non uno schema ed un triobolo.

La massoneria con la sua iniziazione cerimoniale si presenta come una continuazione nei tempi moderni dei misteri classici, affidata ad una corporazione di mestiere specializzata nell'architettura sacra. Se ne ignora l'origine: non si sa a chi attribuire i suoi rituali, il suo simbolismo, nei quali gli elementi pitagorici si trovano intimamente legati a quelli muratorii di mestiere sin dai tempi più antichi. Si tratta di una trasmissione storicamente ininterrotta dagli antichi misteri? Per esempio dalla setta pitagorica degli Acusmatici o da una antica corporazione di mestiere cui erano innestati elementi di carattere iniziatico? Oppure il carattere iniziatico misteriosofico è stato acquisito posteriormente in un tempo imprecisato da una corporazione di mestiere come più tardi avvenne con elementi rosacroce ed ermetici? A che tempo risale la leggenda ebraico-cristiana di Hiram e della costruzione del tempio di Salomone? La tradizione della Massoneria di San Giovanni è connessa coi movimenti dell'eresia medioevale od è antecedente? Tutte questioni che attendono una risposta. Comunque sia il simbolismo numerico e geometrico della massoneria è quello pitagorico e siccome è esente da ogni colorazione cristiana può darsi che la fusione del simbolismo di mestiere e del simbolismo pitagorico risalga ad un periodo qualunque post-pitagorico, e certamente non si tratta di innovazione recente ma di caratteristica assai antica.
Quanto alla luce che emana dal Delta massonico ed alle fiamme che emanano dalla stella fiammeggiante; è difficile dire se si tratti di una caratteristica arcaica od acquisita dai due simboli pitagorici. Nella letteratura pitagorica non si parla mai della tetractis luminosa e del pentalfa fiammeggiante. Forse è abbastanza naturale la comparsa di questa luce e fiamma nei due simboli più importanti di una istituzione che dà luce massonica ai profani. Ma, siccome oltre alla stella fiammeggiante nel simbolismo esiste anche la spada fiammeggiante, ci sembra che occorra cercare la spiegazione nel campo della magia, in quei caratteri di fuoco in cui secondo la tradizione ebraica furono scritte le tre parole mane, techel, fares. Ma non è questo il luogo per una digressione su tale argomento.
Notiamo in fine che il simbolismo muratorio è probabilmente assai arcaico. Nell'antica Roma il Pontefice Massimo costituiva il ponte tra la riva umana e la riva divina, titolo e funzione che in seguito si è arrogato il Vescovo di Roma cristiana. Il Pontefice Massimo è connesso ai tre Flaminii, e siccome questo termine è probabilmente collegato al sanscrito brahmani esso consente di risalire per l'etimologia e per la funzione ai tempi in cui l'indo-europeo era una lingua parlata e non come oggi una lingua sconosciuta.
Tornando ancora alla tavola da tracciare osserviamo che il rituale del grado di apprendista dice talora che essa rappresenta la memoria, senza in alcun modo giustificare questa affermazione. Questa interpretazione appare così arbitraria; mentre si può facilmente collegare alla nostra interpretazione ricordando che Mnemosine, la memoria, è alla testa delle nove muse, le muse che dimostrano le orse a Dante condotto da Apollo mentre Minerva spira. Mnemosine nel mito orfico pitagorico dei due fiumi o del bivio è la fonte vivificatrice, l'Eunoè dantesco, opposta alla fonte letale del Lete. Inoltre nella concezione platonica la comprensione non è altro che una anamnesi, un ricordo; perciò la memoria ha per funzione quella di fare comprendere. Se non si tiene presente questo significato della memoria secondo gli antichi, non si vede perché la memoria debba avere per simbolo la tavola da tracciare, sopratutto se non si ricorda che questa tavola è tripartita e divisa in nove caselle che rappresentano i nove numeri entro la decade.

Lo studio che abbiamo fatto di questi nove numeri ci ha condotto a riconoscere il carattere pitagorico del delta massonico, della stella fiammeggiante e della tavola da tracciare, la loro connessione ed armonia ed in parte il loro senso simbolico. I rituali del primo e del secondo grado, i soli primitivi e strettamente muratorii, riacquistano in tal modo il loro senso coerente e profondo che altrimenti resta nascosto dai sedimenti e dalle incrostazioni posteriori.

CHAPTER VII

The Great Work and the Palingenesis

From sight to sight up to the most beautiful.
DANTE, Paradise. XX, 9.

We have seen that Freemasonry, according to its Statutes and tradition, has as its goal the perfecting of the single human individual. The manuscript of the Bodleian Library, attributed to Henry VI of England, states that "Freemasonry is the knowledge of nature and the individual forces that are in it." The perfection of man is linked to the knowledge or recognition of human nature and the inherent possibilities. It is, therefore, necessary to implement the ancient precept of the Delphic oracle: know thyself; it is necessary to investigate within ourselves the mystery of being, to consider human life, its functions, its limits, and the possibilities of overcoming them, to actively intervene in its progress without abandoning it adrift, to discover and reawaken its latent germs, its senses and powers still unknown, dormant or occult. It is necessary to carry out a work of spiritual edification, a transmutation, conseguir virtute e conoscenza [to pursue virtue and knowledge], so that the worm crawling on the earth forms the angelic butterfly that flies to justice without impediments. It is necessary to build, and not only to pray or worship, or observe, it is necessary to experiment and speculate; and to build upon secure and firm foundations, and not upon beliefs, prejudices, and illusions.
Many suppose that this work of spiritual edification goes without any other understanding solely or above all in a moral sense. The freemason was chosen from among the layman and welcomed into the fraternity because he was judged susceptible to improvement; and, tacitly admitting that there are and cannot be human beings superior to humanity, the only possible improvement becomes the moral one. This improvement has, as its model and ideal, the virtuous and respectable man, the honest man, and nothing else, even if sometimes there is the risk of simply exalting his peculiar gullibility. In England, for example, there are Christians who venerate in Jesus the perfect man, the best man who ever existed, ignoring Socrates and some other pagans and, for them, the model of perfection is represented by the ideal meek Jesus.
Naturally, these champions of goodness and morality presuppose that they know with certainty what is the right morality, the pure morality; by this morality, they mean their morality; and they mistake this belief of theirs for knowledge, they do not admit doubts or reservations in this regard either in themselves or in others because their feelings and their faith would be offended. And in fact, according to Pareto, morality is nothing other than a particular form of religious belief with its prejudices, its dogmas accepted and shared by the mass of the faithful even if not codified in an explicit and defined creed, its hypocrisy, its compromises, and its fanatic and savage intolerance. The moralist is perhaps an honest man who walks, as one version of the Gospel says, "with the Lord's steps," but woe to stepping on the callus of morality, then he is offended and feels he has the right and the duty to revolt as a viper. In practice, the dominion among the brothers of profane morality is so rooted and unchallenged that everyone forgets how the profane, and even more the freemason, should be a free man, free from all sorts of chains and prejudices, not subservient to any religious, moralistic, philosophical and political belief; and no one thinks to verify whether in this field this presumed independence exists in themselves and in others; so that, speaking of perfection, it is tacitly understood that we intend to speak of moral perfection and nothing else. The existence of all the rest is not even suspected. Freemasonry works to raise temples to virtue and to dig pits for vice; and that, they add, is all.
Furthermore, with the primordial logic of offended feelings, the moralist is induced to condemn the non-observance or denial of his morality as an impiety, and to believe that the claim to overcome it, or simply not to deal with it, is equivalent to giving the green light to all sorts of outbursts and instincts. The facts have shown, according to the moralist, that the Nietzschean theory of the superman inevitably leads to the sadistic horrors with which the Herrenvolk [master race] is stained; while the poor Nietzsche, the enemy of moralizing, considered a saint by the Turin people, felt himself to be Greek, pagan, and not a German, and since then he had perceived and signaled the danger that loomed in the accentuation of the arrogant and barrack-like accent of the German language. The moral restraint is by no means the only restraint that can prevent the human beast from going wild; for the majority, is necessary the law and the carabinieri, without being able to prevent the smart ones from evading the law, slipping through the meshes of morality, bordering the code, and saving morality, ethics and etiquette. For others, in the end, the precepts of morality are arbitrary, unjust, superfluous, too indulgent, and even immoral from a higher point of view. Having reached a certain point of spiritual maturity, the need to feel clean inside makes the stains of conscience unbearable, regardless of any belief, injunction, habit, and advantage.
Furthermore, morality is a custom, mos, variable in space and time, and cannot provide that universal standard of measurement that would be needed to measure perfection without being enslaved by the particular beliefs of a particular region, civilization, and era. At a certain historical moment, the conduct of the Gods in pagan mythology appeared immoral and scandalous, and Christian propaganda took advantage of this need for a moral sentiment. And today, many things that once were not frowned upon are starting to be morally unwelcome. The holy miracle of the prophet Elisha who, derided by some boys for his baldness, got angry and had forty-two of them torn to pieces by bears, no longer seems to us a title of holiness, but a rascality that Jesus, Socrates, and St. Francis would have been incapable of conceiving. If the prophet Elisha had been a Christian, he might have left the task of avenging him to God, because he is able to perform better revenge, but even this abstention from revenge does not seem very noble. The sexual hantise [obsessive fear], which pervades the religions derived from Judaism, and which in Christianity appears, for example, in the circumcision to which the first day of the year is dedicated, and in the dogma of the immaculate conception, is of a somewhat grossier [oafish] taste; and the exhortations and threats that appeal to self-interest to induce metanoia, offering heaven and salvation from weeping, gnashing of teeth, and God's wrath, taste a little too commercial for our palate. We also say that the figure of an eternal, angry, vindictive Father does not seem very nice to us, always intent on tempting the poor believer, so as to make it opportune to beg Him, to refrain from such a pastime, if he really cannot do without it. We could continue to give other examples, but let us stop so as not to scandalize those who fear God.
But, even if the moral sense were less variable and coarse, we should equally keep it aside, because morality has nothing or very little to do in matters of art and science, and in particular, with the analysis of the physical, mental, and spiritual faculties, and with their development. Morality, like salt, is a condiment that should not be used everywhere. To learn anatomy and physiology, it is indifferent to be a saint or a scoundrel, the Pythagorean theorem can be understood by the thief and misunderstood by the good man, and both the Franciscan and the capitalist can become acrobats with appropriate training. As muscular strength and intellectual capacity have nothing to do with morality, the same thing happens, or at least it can happen, for the spiritual faculties or for the lesser-known faculties and the occult senses of the organism which manifest themselves only rarely and sporadically. We do not apologize for Vanni Fucci, the beast; we just want to distinguish what should not be confused; we only want to respect purely and simply facts and truth by extricating ourselves from the superstition of moralistic religion, and from idolatry for the "virtuist myth" [the myth of virtue]. We do not rely, however, on the completely gratuitous hypothesis that there is no other possibility of improvement for man than the moral and religious improvement, circumscribed, moreover, within the limits of a particular religion and morality.
This operation of spiritual development and improvement has, therefore, a purely technical character, and in the masonic and hermetic tradition it is called, as we know, the great work, to be carried out according to the rules of art or tecne. In both traditions it is expressed through a symbolism, respectively masonic, geometric, and alchemical.

The raw material, which is the object of the masonic transmutation, is the rough stone, i.e., the novice freemason; and it is, therefore, a subject already chosen, and judged suitable for the purpose. This rough stone must be roughed, ground, squared, and polished until it takes the shape of the cubic stone of the master. The tools of this work are the square and the compasses: the work must be done by passing from the square to the compasses, that is, from rectitude to measure, and between the square and the compasses, which is what to say, secretly, since it is by the very nature of the operation of an inner, intimate and occult labor.
The initiation ceremony of the third degree represents the great work through the death and resurrection of Hiram, to whom the masonic legend attributed the construction of the temple of Solomon in Jerusalem (the temple of wisdom in the holy city); and the sacred word of a master, which was lost due to the death of the Grand Master, is replaced with the present sacred word of the third degree. The Hiram legend, however, does not belong to the archaic masonic heritage; and the ritual of the third degree is the work of an unknown person, who composed it around 1720, drawing only some elements from the Bible.
In the Bible, Hiram is a blacksmith and not a mason, he is from Tyre, and the son of a widow of the tribe of Naphtali. King Solomon calls him to Jerusalem to entrust him with metallurgical work, and not the construction of the temple. The legend of the third degree, on the other hand, transforms Hiram into the great architect of the temple of Jerusalem, making him an accepted Freemason: and since this character already appears in the previous century in Hermetic literature together with Solomon and the Queen of Sheba, ¹⁾ it is so that the unknown author of the ritual of the third Masonic degree was inspired by the hermetic figure of Hiram, and not simply by the biblical figure of Hiram. This hypothesis, in addition to explaining the initiatory competence of the compiler of the ritual of the third degree, is confirmed by the fact that the password of the degree is none other than the name of the first blacksmith (according to the Bible), a name that the hermetists identify with that of the Latin God of fire, Vulcan: an ancient Italian book in lead sheets represents this Tubal Cain with the square in one hand and the compasses in the other, replacing it with the figure of the hermetic Rebis also armed with a square and compasses in the hermetic text of Mylius. Tubal Cain/Vulcan and Hiram are two architects, and the square and the compasses, the masonic tools, are equally familiar to them: and the representations that have come down to us, and the ritual of the third degree, testify to the antiquity and tenacity of the connection between the two hermetic and Masonic symbolisms of the great work.
As a curiosity, we note that also the Italian Freemason Quirico Filopanti, in his very imaginative scientific and historical synthesis, where it seems to abound information from a mediumistic source, connects the god Vulcan both to Hiram, whom he calls the great architect of the temple of Solomon, as to Wren, who Filopanti calls President of English Freemasonry, the architect of St Paul [cathedral in London], and of the reconstruction of London after the fire of 1666. ²⁾

1)   There is a work by the famous Rosicrucian MICHAEL MAIER, the Septimana Philosophica (1620), written in the form of a dialogue, whose interlocutors are: Solomon, Hiram, and the Queen of Sheba. Also in another work, the Symbola Aureae Mensae (1617), Maier had already placed these three characters in connection. See also the magazine Ignis, a. 1925, p. 307.
2)   QUIRICO FILOPANTI, Dio liberale [Libera God], Bologna, 1880, pag. 423.

The legend of Hiram was also fortunate in the literary field because it was revived and developed by the writer Gérard De Nerval, who, in his Voyage en Orient makes him become a rival of Solomon, and embody the democratic spirit called to triumph over royalty.
These imaginary democratic merits of the highly fictionalized life of the great architect of the temple have earned him much sympathy from many Masonic writers: who, however, cannot justify the alteration of the Masonic legend of Hiram thus perpetrated. For example, the Italian historian G. De Castro, in his Secret World published in 1864, reports the literary fantasies of GŃrard De Nerval without even mentioning this author, taking them from the book: Les francs-maçons [The Freemasons], Paris, 1862 by Alex. de Saint-Albin: but De Castro was not a Freemason, and he recognizes that he wraps himself in the ambiguity of the myth (G. De Castro, The secret world, vol. IV pag. 39 et seq.). Another Italian, Ulisse Bacci, who was for many years Grand Secretary of the Grand Orient of Italy, in his Libro del Massone italiano [The Book of the Italian Freemason] also gives this spurious variant of the ritual of the third degree, without citing either De Castro or Saint Albin, nor De Nerval, and, given the Masonic authority of Bacci, the reader and the catechumen are led to form an altered knowledge of the ritual of the Masonic third degree. We are sorry to have to make these corrections, but it would be even more unpleasant to let this erroneous variant of the ritual spread and linger, and then feel accused that in the official or unofficial texts of Freemasonry, passages from novels by fairly recent authors are treated as elements of tradition and legend.
In the legend of Hiram, Masonic elements and hermetic elements are intertwined; but, generally in hermeticism, the great work of spiritual transmutation has as its symbol the great corresponding work of alchemy, that is, the transformation of the raw material into a philosopher's stone, and the transmutation of base metals into gold.
The hermetic, Arab, and European tradition belongs to an Alexandrian tradition that refers to the father of the philosophers (hermetics), the Egyptian god Thot, identified by the Greeks with Hermes (Tresmagistus) or Mercury Tresmagistus: while the word alchemy is an Arabic term which designates the science of chemical transmutation. But since the most ancient times, hermeticism and alchemy have been found connected and exchanged for each other, and it may be that the two transmutations were considered as two parallel forms of the great work equally possible and perhaps connected the one to the other. This ancient affinity later offered hermeticists, intent on spiritual transmutation, the convenient mask of alchemy when it became preferable to be mocked for being mad than being burned for being heretics. It is not an easy task to trace the bonds and transmissions that unite Freemasonry and hermeticism, the same difficulty, and perhaps even more difficult, is presented in the investigations relating to hermeticism and Rosicrucianism, Rosicrucianism and Fedeli d'amore [The Faithful of Love], Fedeli d'amore and Templars, etc. There may have been hermetists who were also alchemists, there may have been simple alchemists persuaded that all hermetists were not like them, that were only alchemists intent on searching for the projection stone to transmute lead into gold; but there have certainly been hermeticists who cared nothing about alchemical transmutation, and who saw in alchemical terminology only a convenient means of concealing and exposing at the same time what was dear to them. And, despite the systematic alchemical mimicry, the derision of vulgar alchemists abounds in the hermetic literature, called blowers, because always busy blowing air with bellows in their furnaces. Hermeticists emphatically declare that their metals are not vulgar but living metals, that the gold they aspire to is not common gold but living gold or philosophical gold; as well as in a first phase of the operation they have the purpose of obtaining quicksilver, silver water, or hydrargyrum, or mercury, or Hermes.
The raw material to be transmuted into a philosopher's stone, the hermeticists say, is everywhere at hand, which is manifested by the very organism of the operator. The great work is carried out by hermetically sealing this material inside the Athanòr, or philosophical vessel, and then heating it with philosophical fire according to the rules of rite and Royal Art.
The hermetic enclosure corresponds to the mystery of the middle chamber and to the silence and mystery of the Pythagoreans. The slow and constant fire that alone does the work is the symbol of spiritual ardor, the tapas of the Indian ascetics, to which, moreover, should not be attributed an allegorical meaning simply because, according to what David-Neel refers in her books on Tibetan initiations, it is possible with appropriate ascetic practices to emit real heat from the body as much as it takes to melt a considerable amount of ice.

According to the formula of Basil Valentine, the great work consists in visiting the inner (or lower) part of the earth, that is of the earthly body and organism, in rectifying and in finding the philosophers' and occult stone. The body density and the bonds that bind the spiritual part to it are overcome by means of a solution or dissolution or analysis obtained with the universal solvent or aqua regia or vitriol, and the spirits thus released are collected, condensed and coagulated. Once the operation is over, from the ashes or caput mortuum is born the "son of art" or even the little king, or golden ruler, or basilisk, or even Rebis, or Phoenix. All these denominations and the corresponding designs are always inspired by the amphibious character of the new life. For example, the purple and golden Phoenix is the flamingo, an aquatic bird. The Rebis is an important hermetic symbol to represent the fruit of the great work; it has the figure of a biceps being, royally crowned, and, to confirm its dual and amphibious nature, it is often represented standing on an animal that is also amphibious, such as a dragon or a crocodile. The Rebis is a symbol that was also used in the fourteenth century by the "Fedeli d'Amore," for example by Francesco da Barberino; and he also appears, as we have seen, armed with a square and compasses in his hands, the two instruments of the great Masonic work, in Hermetic and Rosicrucian texts. These circumstances allow us to understand the relationships and bonds between the Fedeli d'amore, the hermetits, and Freemasonry, and they can only be explained by recognizing in the Rebis a meaning that connects and transcends the different aspects that the tradition of the Great Work has assumed over time. The word Rebis is interpreted by the hermeticists as Res bina, that is, double thing, and indicates precisely the amphibious character of the being born to a second life without losing the first, and therefore living a double life, the ordinary human one, and the spiritual and superior one. According to the Hermetists, the fruit of the operation was triple: 1) health in all its senses, that is, the health of the body and salvation of the soul, or survival and immortality, 2) wisdom and 3) power, or wealth.
In other texts and authors, hermeticism resorts to the symbolism of distillation intended to obtain the Quintessence (fifth essence) of a liquid. The raw material is heated in the alembic, the dense part is separated from the thin part by evaporation, the evaporated thin part is condensed, it is distilled separately and the result is the brandy (aqua vitae), the water of life, burning water, the elixir of long life, the pure or concentrated spirit (Ramon Llull or pseudo Ramon Llull).
According to what Apuleius reports, ³⁾ Pythagoras said that an [image of] Mercury should not be carved from every wood. Similarly for Freemasonry, not any profane can become a Freemason, and not all apprentices and fellow-crafts can become masters, because it is a question of developing a natural gift, and not of creating from nothing, and there is no Royal Art that can make a Paganini of those who do not have the necessary ear. And similarly, even the blower, the simpleton alchemist completely absorbed by the mirage of gold, was adhering to the precept that to obtain gold one must start from a raw material already containing gold and, for this reason, Greek-Alexandrian hermeticism gave the operation the name of diplomas [διπλωμα], that is, doubling or multiplying gold. From the chemical point of view, the hope of the alchemists was illusory, although today the rigorous principle of the conservation of matter has been replaced by a complex principle that binds mass to energy: and it was Agrippa, a magician and hermetist, the first, we believe, who experimentally ascertained the vanity of the alchemical procedure, recognizing that the gold used was equal in weight to the gold obtained.

3)   APULEIUS, De Magia and see CHAIGNET, I, 114.

The existence of pure and simple alchemists who in good faith deluded themselves that they were hermetists does not justify the superficial belief of contemporary science that reduces all hermeticism to alchemy, and after this hasty confusion and conclusion, it makes fun of what it does not know. Similarly, at the time of the "Fedeli d'amore," there were simple poets in the vernacular persuaded that they belonged to the elite group of rhymers "of the dolce stil nuovo," who, under the veil of strange verses, and in a covert hidden language, sang of love, of Beatrice, Laura, Fiammetta, and similar other women: and Dante laughs at them. The contemporary culture that makes a whole bundle of hermetists and alchemists behaves with equal intelligence compared to the vernacular literature of the first centuries; literary and religious prejudices prevent the understanding which is in itself difficult for the layman due to the constant use of allegorical language. And as if these obfuscating factors weren't enough, psychoanalysis has also come forward pretending to interpret the literature of love, the Divine Comedy, and the writings of the Rosicrucians and hermetists, explaining with the same meter and symbolism the occult meaning, for example, of Dante and Stecchetti. These psychoanalytic writers, who see everywhere the inner constellations in a perpetual and unconscious search for a discharge, do not realize that they are the real slaves of the sexual complex, they, who systematically smell and pursue sexual and pornographic obsession everywhere, as the dung beetle pursues and rolls up its favorite raw material.
We have quickly outlined the principal elements of the Masonic and Hermetic symbolism of the Great Work, and we have distinguished the Masonic from the moralistic perfection, and Hermeticism from Alchemy. Having made these distinctions, the similarities between the two symbolisms, used by Freemasonry and Hermeticism to express the subject of the Great Work, are easy enough to detect, and sometimes the terminology is absolutely the same. These similarities are highlighted in the rituals of some higher degrees and some rites, such as that of the Philalethes, and are found, for example, in Baron De Tschoudy's Etoile Flamboyante [The Blazing Star].
Pythagoreanism also has as its essential purpose this great work of spiritual edification which it designates with the term Palingenesis. Even in Pythagoreanism one encounters the difficulty of mystery and secrecy, aggravated by the scarcity of Pythagorean writings and documents that have come down to us. The etymology of the word palingenesis or more exactly palingenesia is simple. Palin means again, and genesia means generation or birth; hence the word palingenesis means new birth, or rebirth or second birth. Except that not everyone agrees in the meaning to be attributed to this palingenesis. Some think that it must necessarily be preceded by the death of the body and that, therefore, this second birth of man is what today is called the reincarnation of the same individual in another body, almost in the sense attributed to this word by the spiritualists and theosophists. Others think that the two words correspond to two concepts that must be kept distinct; and, while it is by no means certain that Pythagoras taught the theory of reincarnation, at least as a general law, it is certain instead that the doctrine of palingenesis, which must or at least can be accomplished during human life, before the death of the body, it is one of the central doctrines of Pythagoreanism. First of all, we observe that, by definition, the human individual results from the whole of his physical body, of the soul, and of the respective functions known to us, so that, once the body is dead and destroyed, it can at most happen that the soul assumes another body and constitutes another individual, different from the previous one, albeit tied to it by the permanence of the same soul. Little weight can be given to this change of body, as if it were a change of dress, but in order to be able to say that it is the individual who has transmigrated to another body, the change would have to be reduced to the replacement of the body, and that each the other factors of the individual remained unaltered or at least recognizable for a partial permanence; but when the sense of identity with the previous individual does not exist, when there are none of the memories of experiences from another life, when one believes to be the reincarnation of a supreme spirit because thus revealed the fortune-teller or the spiritualistic table, while this reincarnation of a supreme spirit reaches the highest peaks of mediocrity, it is not clear what meaning can be accorded to the word reincarnation. It is said that Pythagoras remembered having previously been Euphorbus, and recognized his weapons; but even if the story corresponds to the truth, it is not enough to say: ab uno disces omnes [from one, learn all], also because Pythagoras was not an ordinary man. Philolaus, an ancient and eminent Italian Pythagorean, not only does not speak of metempsychosis or transmigration into other bodies, but in one of his fragments ⁴⁾ he only says that, when death separates the soul from the body, it leads an incorporeal life in the Cosmos; that is, it admits the existence of the soul, its survival after the death of the body, and the possibility of an incorporeal life.

4)   FILOLOLAUS., Fragm. 23 e cfr. CHAIGNET, I, 251.

It seems, therefore, that Pythagoras taught the doctrine of metempsychosis or transmigration of souls, but we do not know if this doctrine was faithfully transmitted and it can be deduced, for example, from the exposition that Virgil and Ovid make of it. However, palingenesis and transmigration are two distinct words and concepts.
The word palingenesis is also used in the New Testament, but it is used in place of the word anastasis, which means resurrection, which cannot be identified with palingenesis, although the meaning of the word anastasis is somewhat fluctuating in the Gospel. In fact, in some passages of the Scriptures, there is talk of the resurrection of the dead, in others of resurrection from the dead, in still others of the resurrection of the flesh. This third concept is the crudest and, although St. Paul explicitly opposed it, this eminently Jewish concept ended up prevailing and adding to itself the other two in the teaching of the Fathers of the Church. This resurrection of the flesh, as it is conceived and represented for example in the paintings by Luca Signorelli in the cathedral of Orvieto, is the only real reincarnation, because with it man, the individual, returns to being such a body and soul, what it had been, whether to his liking or not. The second birth thus becomes a return to the status quo ante [the way things were before].
But even admitting with St. Paul that the resurrecting body is not the earthly one, or a true copy, but rather a spiritual or pneumatic [spiritual] body, this Pauline resurrection differs from the Pythagorean palingenesis because, unlike the latter, it necessarily presupposes precedence in time, of ordinary bodily death. Hiram's ceremonial resurrection is preceded by death, and it is the same individual in flesh and blood who is resurrected; it is a resurrection conceived not according to the Pauline concept, but according to that of Thomas the apostle and skeptic, who wanted to touch the materialized body of the risen Jesus with his hand.
Another ancient and great Pythagorean, Archytas of Tarentum, categorically excludes the survival of man, and therefore also reincarnation, saying in a fragment, ⁵⁾ that "the living person dies but the dead never lives again," and adding that life and death are two opposite things between which there is no middle ground. And Alcmaeon, who lived a little later than Pythagoras, and whose doctrines have, according to Aristotle, a great analogy with those of the Pythagoreans, not only says that man is mortal, but also explains the reason, because, says Alcmeon, "he cannot unite the end to the beginning, although there are some souls who have this divine gift"; but we will see shortly how we can understand this rather cryptic apothegm [aphorism] of Alcmeon.

5)   ARCHYTAS, Fragm. 51 e cfr. CHAIGNET, I, 329.

On the other hand, the Golden Verses, which although a late neo-Pythagorean compilation of the Alexandrian period, faithfully reflecting the ancient Pythagorean doctrine, explicitly and emphatically affirm that the final result of the catharsis and the asceticism of the disciple is the attainment of immortality. This is the palingenesis that the last two verses of the Golden Verses categorically promise the disciple that he can leave the body and rise to the free ether. Palingenesis is, therefore, the birth into immortal and divine life, while the first birth grants only the entrance into human life, otherwise the palingenesis would become superfluous. And, since the Golden Verses were addressed to the humanly living disciple, they summarize what to do by saying that, once leaving the body to itself, it is necessary to reach consciously, soul and spirit, up to the free ether, that is, beyond the enveloping enclosure (the periekon or empireo).
The palingenesis takes place during this ecstasy. The body exists as it subsists in deep sleep or in loss of consciousness, but it is no longer a chain, a limitation, a tomb, as the Pythagoreans said, for the consciousness of the disciple, who, having gradually acquired autonomy and activity in the awakening of his spiritual faculties, ascends in the heavens up to the tenth heaven or empireo, and in this condition of the body and of the conscience he can perform his palingenesis. It may also be the combination that physical death occurs just as palingenesis occurs, but the combination cannot be the rule. The palingenesis is done by the living, and not by the dying man, as the great hermetic and Masonic work is done by the living and not by the dying men. Once the palingenesis is completed, the viaticum with which the Egyptian religion and Orphism provided the dead becomes superfluous after physical death.
Two questions remain to be considered: the first, whether the achieved immortality refers only to the conscience or also includes the immortality of the body: the second, whether the palingenesis can also be achieved by the dead or, better still, whether the disciple, who led to good point his work without however completing it before bodily death, can finish it in his incorporeal life. The Golden Verses are silent about it, and we will do the same.
The Pythagorean doctrine of palingenesis affirms, therefore, that the living man of corporeal life has the possibility of being born into the spiritual life before the death of the body, affirms the possibility of a second birth to a new life without waiting for the human life to end, while the doctrine of the resurrection states that all the dead must resurrect with their bodies, although the physical elements are dispersed and, perhaps, are part of other living bodies. In general, religions derived from Judaism make the problem of the future life an eschatological question, and subordinate, perhaps reduce everything, to a preliminary profession of faith; many believe that only by dying can one be born to a spiritual life; others believe that it is enough to die to continue living, and this is enough for them; lastly, others think that, once the elements of the body are dispersed, so are also those of the soul, if they exist, and that science has not yet proved the existence of the soul, not to mention that, in this case, even the beasts should be immortal; and the majority think by proxy, and have faith in the wisdom of others, who in turn have faith in their ability to fully understand what is said to have been said by superior beings. Pythagoreanism does not concern itself with a preliminary profession of faith, and it is not concerned with the future after death; it poses the problem in the present before man and says: Act, try to carry out an investigation, to perform a ritual: purify yourself, meditate, explore yourself [know thyself], harmonize, put yourself in unison with everything, focus on perfect balance and harmony, forget (in the literal sense of the word) the body, awaken your inner senses, ascend step by step, and you will be born into a new life. It may be that kept secret rules governed this transmutation and development: it may be that this transmutation was directed only by the inner voice of the disciple, it may be that he was assisted by inspirations and interventions. It all depends on the ability to perform the rite, on faith in oneself, and in superior wisdom. Pythagoreanism takes man as he is, soul and body, without getting bogged down in discussing and defining on the basis of what man knows and understands or does not know and does not understand what man, body, and soul is. And he says: work, try and try again, and see the results of your work. Then we will see or, rather, we will be able to see what man, nature, body, soul, life, death, God, is. In this field, Pythagoreanism also follows the method of observation and experiment, while prescribing to the disciple the reverence for the gods above and below and for the heroes made gods. It is a question of accomplishing a work, and not of waiting inert for the basket of grace or of setting up a framework that explains with a philosophical system the mysteries of the universe of which our senses perceive something.
Let us now consider the problem from the point of view of time. We have seen how, according to Alcmaeon, man is mortal because he cannot reunite the beginning to the end, although there are some souls who have this divine gift. Bringing together the two ends, the beginning and the end, birth, and death, is an impossible undertaking for man, says Alcmaeon. Birth and death are separated by time; it is time that makes the problem humanly insoluble. But what is the time? Archytas is the first to deal with the question of time, distinguishing physical time from psychic time (fragment 9, see Chaignet, I, 275). He says that time is the sphere of the world, and also that time is the interval of nature of the whole, Galen says that time is the sphere of time that envelops us; Plutarch repeats that ⁶⁾ Pythagoras said that time was the sphere of the periekon [that which circumscribed the body], and in another passage ⁷⁾ reports how Pythagoras, questioned what time was, replied that it was the soul of the cosmos. These definitions refer clearly to our time, to the time humanly conceived and lived, and affirm that this time is determined by the band that envelops the cosmos; implicitly affirming, therefore, the relativity of this cosmic and human time; and the existence of another time beyond the band in the free ether, or of another way of being, or of feeling and experiencing time. Archytas calls it psychic time, Dante calls it duration or eternity.

6)   PLUTARCH, Placita Philosophorum, I, 19.
7)   PLUTARCH, Quaest. Plat., VIII, 4. 3 e cfr. DELATTE, Etudes, 278.

Passing from human time to psychic time, the difficulty of reuniting the beginning with the end becomes surmountable; and the two problems of immortality and time interpenetrate. Dante treats the question just in this way. He calls the tenth heaven the quiet [calm, immobile] heaven (Convivio. II, 13, Paradise. XXX, 52), that is, the empyrean or sphere of fire, and, while this heaven is calm, the other nine spheres admit movement. Dante is connected to the Aristotelian and Ptolemaic conception; but also, according to the Pythagoreans, it is the movement, the oscillation, the vibration that imprints the succession of time in the cosmos; time sets itself in motion and flows in the fleeting moment between a past that is no longer and a future that not yet is. The holy city is only in this calm heaven; and it is here that Beatrice leads Dante and tells him:
Behold
How vast is the assemblage of the white stoles! [clouds]
look at our city, how much it turns! (Par., XXX, 128-30)
and it is only after having climbed up to this heaven, and among the white clouds, that Dante can claim to have surpassed the human stage
I, who to the divine from the human
To the eternal time had come
And from Fiorenza [Florence] to a just and upstanding population. (Par. XXXI, 37-39).
Dante, passing from human conscience to divine conscience, overcomes Alcmaeon's antinomy and, with this passage, the passage from physical time to psychic time becomes possible, and in this psychic time the beginning and the end come together, and man is no longer necessarily mortal.
The movement of nature of the whole, to use the language of Archytas, to whom the physical time is due, is musically an interval. The cosmos moves, vibrates, and vibrates with a harmony of which the Pythagoreans find the numerical laws. Music, science, and art together, in which by tradition it is usually concluded with the major chord, the sacred music, allows man to get in harmony with the harmony of the heavens. Thus, we are led back to a problem of harmony and, therefore, to the numerical consideration of the tetrachord and the tetractys. A single link connects the various sciences of Pythagoreanism, and connects them to the great work of palingenesis, that is, the harmonization of the individual with the whole. Music calms, purifies, elevates. The legend tells how Pythagoras succeeded, with the sound of the lyre alone, to bring back to reason a furious drunkard. The teaching of music and singing was given in the Pythagorean School and was part of Greek education in general. Music was of particular importance in the Pythagorean catharsis; and Ulysses is represented intent on listening to the song of the Sirens, which, according to the acousmatics, appear in the tetractys and, according to Plato, constitute the harmony of the spheres. The lyre was considered the most suitable instrument for sacred music, like the harp or the organ are today.
One can ask what may have led Pythagoras to his definition of time, and Archytas to his distinction between physical and psychic time. We can only make assumptions about it. Above all, the observation that the fleeting moment, even if it becomes irremediably past, remains present in the memory, in the psyche and, as psychic time, survives the flow of physical time. Then there is a whole order of phenomena that allows us to glimpse how the notion of time can also be different from the usual one. On his deathbed, the Grand Master of Italian Freemasonry, Mazzoni, said: I have lost the notion of time and space, it is time for me go; which shows how the notion of consciousness is independent of the notion of time and space, and other experiences could be referred to leading to the same conclusion. It is also said that, always on the verge of death, it sometimes happens to see the past life run before the mind as in a flash, and this experience too, perhaps also known at the time of the Pythagoreans, transcends the usual notion of time. Other phenomena that may have suggested the Pythagorean theory of time, are the predictions of the future, prophecies, oracles, and the so-called phenomena of paramnesia. Contemporary incredulity completely denies the genuineness of these phenomena, or argues that it is possible to give them simple explanations, and there are even those who argue that these phenomena are impossible, because it would be necessary to admit the predetermination of the future and to renounce free will. Others say that the subjects of these experiences are deranged, abnormal; and that therefore their experiences need not be taken into account.
Now then, he who has seen with absolute precision of details the unfolding of entire and unpredictable scenes of his own life months before their actual occurrence in human time, and having noted them in writing in advance, cannot even admit a deception on the part of memory, he cannot erase these experiences from his conscience to respect the skepticism of others, to await the response of science, and to maintain acrobatic theories on destiny and free will.
The same can be said for those who have had the good fortune to ascertain with direct personal experience the prediction in the smallest details of important facts flown like spring water from the unaware mouth of an oracle in the distance of years.
More common are the phenomena of paramnesia, which consist of the strange and extraordinary feeling of having already lived and seen a scene of life as it actually unfolds. It is said that it is an illusion of memory, without, of course, giving any support to this assertion; the scientific name of paramnesia is given to the phenomenon; and the phenomenon is so tested, is recorded, and ceases to bother.
But the deranged person who has had the experience cannot wash his hands of it as simply; he knows well, he knows, that he was not the victim of an illusion, but the lucid protagonist of a genuine perception of truth; and instead of seeing in these phenomena a symptom and an effect (of imbalance), we think that these phenomena can occur in moments of perfect balance and perfect harmony, let's say they can occur under such conditions, but we don't say that these conditions are necessary, or sufficient, or the only ones, or for everyone. So we are led to think, from personal experience, that it matters more than anything else in this regard.
Now, if our personal experience alone is enough to give us the knowledge of several facts in which a consciousness of time very different from the usual human one emerges, we are led to believe that others, and in particular the ancient Pythagoreans, have also had experiences of the same kind; and then the Pythagoreans would have done nothing but insert into their cosmology this perception and distinction of physical time and psychic time, attributing or recognizing to the enveloping sphere the property of operating or corresponding to this distinction between time and duration.
This applies to the Pythagorean cosmology. As far as asceticism is concerned, it follows that if man has the possibility of transcending physical time in these spontaneous and sporadic experiences, this possibility can become one of the objectives of the same asceticism. The rare and spontaneous experiences are like fleeting flashes of reality in the darkness of the night, which allow us to hope and aspire to the deliberate, conscious, and permanent conquest of this vision, that is, of a palingenesis to a spiritual or divine life.

These are dreams, the balanced and practical reader will say, dreams like those of the alchemists, of squaring the circle, and of perpetual motion, incompatible with modern science. The truth is that science, modern, skeptical, and modest, cannot say anything about it. The theory of relativity had to abandon the old concepts of space and time, and admit a continuous four-dimensional space-time, the tetractys of modern science, and had to reduce the concepts of mass and energy to nothing but numerical relations. The physio-chemical analysis led to the disintegration of the molecule and the atom until obtaining, in the technique, the release of atomic energy and, and in the theory, of the residual ratios of numbers, integers, returning after so much effort to the starting point of the Pythagoreans. This knowledge, once acquired, makes us skeptical and dissatisfied, because it undermines the ancient sense of certain knowledge previously possessed without being able to replace it. For example, the phrase: I drink a glass of water, once had a precise and satisfactory meaning because it was believed to be fully understood. The light of modern science takes away this illusion. In fact, starting with water, we know that water is not at all what it seems to us, but it is one of the forms of aggregation of molecules composed respectively of oxygen and hydrogen atoms in the proportion of one to two linked together electrically, and that these atoms, in turn, are nothing other than relatively distant nuclear masses, around which electrons move at a very great speed; and ultimately (for now) the water is reduced to a kind of mist of very rapidly moving corpuscles at great mutual distance. Another mist occurs when examining the glass beaker, with the only difference that the molecules are made up of silicon and aluminum atoms in well-defined simple numerical proportions. The glass mist contains the water mist, if it is not porous, by virtue of the mysterious law of gravity. A third mist is our body, a real jumble of electrons, atoms, molecules of digestive organic bodies, held together by the mysterious vital force, a living mist to which the other living mystery is connected, which is called the ego, which, speaking of the body says: I drink. As you can see, and we have skipped many questions, analyzing after analyzing one ends up not knowing what it means to drink a glass of water, while sticking to the simple experimental notion of life, to the immediate data of experience the words: I, drinking, glass, water, each recall notions known from previous experiences, and the whole sentence acquires a clear and precise meaning from their connection. The analysis of concrete reality shows the immaterial character of the reality of the matter itself, reducing everything to pure numerical ratios, and making the naive myth of solid, tangible, and resistant matter vanish. But then, if the reality of matter is reduced to the reality of numerical relationships, the relationships between things and living beings also have a reality, they are a reality, and the perception that one has of them, and the sensations that they produce, are realities, and their knowledge is real, primordial but sure knowledge.
However relative and partial, this knowledge is what matters. You can explain the theories of acoustics to a deaf person and teach him scientifically that hearing is nothing more than perceiving vibrations whose frequency is within 40,000 vibrations per minute second, but if it is possible to give him hearing, make his ear work, he will acquire the vital knowledge of hearing, the direct, immediate knowledge of sound, even if he will understand nothing of the scientific theories of acoustics. The analytical-objective method has led us from the problem of the constitution of the molecule to the problem of the constitution of the atom, and who knows where will lead us from this; but for now, at least life, death, conscience, memory, etc., remain mysteries, and science is unable, and has no title, to judge dream and madness, the hope of illuminating the mystery by following ways that it does not travel.
Modern Western science is an objective experimental science, obtained from the outside with tools to help the senses; its aim is to observe, understand, also taking into account the inevitable alteration (Heisenberg) brought about in the conditions of experience by his intervention. In Freemasonry, in Hermeticism, in Pythagoreanism and, in general, in the esotericism of all times, the observer is also the object of experience, which is considered from within, directly, without limiting his field to supposed columns of Hercules; it is more about feeling, living, than explaining and theorizing. If the pigeon possesses the faculty of orientation, and the marine torpedo can give the electric shock, as it is possible to exclude also on the basis of the simple theory of the inheritance of the species and the phylogeny, that some man, if not all, can attain the possession of similar faculties?
Thousands of phenomena show that the human organism is similar to a receiving and transmitting radio station, even if only capable of functioning sporadically and independently of the will. Modern science recognizes the genuineness of such phenomena, when it cannot avoid them, it catalogs them, archives them, and carries on. The esoterist says: The human organism enjoys these faculties, let us educate and use them and do not act as those who have ears and do not hear and have eyes and do not see. Naturally, it is necessary to want and dare, and not to act like those pusillanimous, if vigorous, bathers who stop trembling in front of the one-meter-deep seabed, perhaps waiting for the evolution of the species to transform them into swimmers. A brave dive, two strokes, and one is good and learned to support himself in the treacherous element.
Of course, the great work is a more difficult undertaking. Putting one's own ship up to the high salt [sea] is much more than a simple dive where one can't touch the bottom. But to begin, instead of clinging with all the strength to the anchor in the safe harbor of the body, it is necessary to face the high open sea, it is necessary not to feel in the body, but to feel the body within oneself, to realize that one lives in the sea of being and we are not ashore (DANTE, Inf. 91) as almost everyone believes, to live sub specie interioritatis, and not desperately keep afloat with the pumpkins, to be tossed about by the ebb and flow of a superfluous and superficial life. Once abandoned the body and the flowerbed that makes one so ferocious, the skies ascended, reached the empyrean beyond the sphere of time, freed from the human notion of time and space, the child of art will finally be able to approach the supreme vision and say with Dante:
Within its depths I saw gathered together,
Bound by love into a single volume
Leaves that lie scattered through the universe. (Par. XXXIII, 85-87).
What unravels through the tetractys in the universe sinks with an inverse process into the pure interiority of the being. In these conditions of conscience, among the white stoles of the calm heaven, the contemplation of the tetractys, the Masonic delta, the sacred delta in the sanctuary of God, to which Dante dedicates the last canticas, allows the supreme vision, the superhuman intuition of the cosmos, as
Contingency, unfolded not to view
Upon the tablet of your mortal mold,
Is all depicted in the eternal sight; (Par. XVII, 37-39)
The supreme poet, the fedele d'Amore [Love's faithful], our fellow citizen, Dante Alighieri, is clearly inspired by the concept of the tetractys or Pythagorean quatern, of the Masonic luminous delta. Citizen of heaven, cosmopolitan in the true sense of the word, he connects in his supreme vision to the "most noble philosopher, Pythagoras" (Conv. III, 41) making use of the same word, the same symbol, and the same concept.
We have thus traced on the tripartite table what we are able to understand about the sacred numbers and the tetractys. We hope that it will help draw the brethren scattered across the earth to the noble and centuries-old task of brotherhood: To give light to those who knock on the temple door, and to lead those elected to perfection.

THE END

CAPITOLO VII

La Grande Opera e la Palingenesi

Di vista in vista infino alla più bella.
DANTE, Par. XX, 9.

Abbiamo veduto che la Massoneria, secondo i suoi Statuti e la tradizione, ha per fine il perfezionamento del singolo individuo umano. Il manoscritto della biblioteca Bodleyana, attribuito ad Enrico VI d'Inghilterra, afferma che «la massoneria è la conoscenza della natura e delle singole forze che sono in essa». Il perfezionamento dell'uomo è legato alla conoscenza od al riconoscimento della natura umana e delle inerenti possibilità. Occorre quindi attuare l'antico precetto dell'oracolo di Delfo: conosci te stesso; occorre indagare entro di noi il mistero dell'essere, considerare la vita umana, le sue funzioni, i suoi limiti e le possibilità di superarli, intervenire attivamente nel suo andamento non abbandonandola alla deriva, scoprirne e ridestarne i germi latenti, i sensi e poteri ancora ignoti, dormienti od occulti. Occorre compiere un'opera di edificazione spirituale, una trasmutazione, conseguir virtute e conoscenza, sì che il verme strisciante in terra formi l'angelica farfalla che vola alla giustizia senza schermi. Occorre costruire e non soltanto pregare od adorare, oppure osservare, sperimentare e speculare; e costruire sopra fondamenta sicure e salde e non sopra credenze, pregiudizii ed illusioni.

Molti suppongono che questa opera di edificazione spirituale vada senza altro intesa unicamente o sopratutto in senso morale. Il libero muratore è stato prescelto tra i profani ed accolto nella fratellanza perché giudicato suscettibile di miglioramento; ed, ammettendo tacitamente che non vi siano e non possano essere degli esseri al di sopra dell'umanità, il solo perfezionamento possibile diviene quello morale. Questo miglioramento ha, per modello ed ideale l'uomo virtuoso e dabbene, il galantuomo e niente altro, anche se talora si rischia di esaltarne semplicemente la peculiare dabbenaggine. In Inghilterra per esempio vi sono dei cristiani che venerano in Gesù l'uomo perfetto, il migliore uomo che sia mai esistito, non curandosi di Socrate e di qualche altro pagano, e per essi il modello della perfezione è rappresentato dalla figura ideale del mite Gesù.
Naturalmente questi paladini della bontà e della morale presuppongono di conoscere con sicurezza quale sia la giusta morale, la pura morale; essa, è la loro morale; ed essi scambiano questa loro credenza per una conoscenza, non ammettono in proposito dubbi o riserve né in sé né negli altri perché ne sarebbero offesi i loro sentimenti e la loro fede. Ed infatti la morale non è altro, secondo il Pareto, che una particolare forma di credenza religiosa coi suoi pregiudizii, i suoi dogmi accettati e condivisi dalla massa dei fedeli anche se non codificati in un credo esplicito e definito, la sua ipocrisia, i suoi compromessi e la sua intolleranza fanatica e selvaggia. Il moralista è magari un uomo dabbene il quale cammina, come dice una versione del Vangelo, «con le pedate del Signore», ma guai a pestargli il callo della morale, allora si offende e sente di avere il diritto ed il dovere di rivoltarsi come una vipera. In pratica il dominio tra i fratelli della morale profana è così radicato ed incontrastato che tutti dimenticano come il profano ed ancor più il libero muratore dovrebbe essere un uomo libero, libero da ogni sorta di catene e pregiudizii, non asservito ad alcuna credenza religiosa, moralistica, filosofica e politica; e nessuno pensa a verificare se in questo campo esista in sé e negli altri questa presunta indipendenza; cosicché parlando di perfezionamento resta tacitamente sotto inteso che si intende parlare di perfezionamento morale e niente altro. Di tutto il resto non si sospetta neppure l'esistenza. La massoneria lavora ad innalzare templi alla virtù ed a scavare fosse al vizio; e questo, aggiungono essi, è tutto.
Inoltre, con la logica primordiale dei sentimenti offesi, il moralista è indotto a condannare come una empietà l'inosservanza o la negazione della sua morale, ed a ritenere che la pretesa di superarla o semplicemente di non occuparsene equivalga a dare via libera ad ogni sorta di sfoghi e di istinti. I fatti hanno mostrato, secondo il moralista, che la teoria nietzschiana del superuomo conduce inevitabilmente agli orrori sadistici di cui si è macchiato l'Herren volk; mentre invece il povero Nietzsche, il nemico della moralina, ritenuto un santo dal popolo torinese, si sentiva greco, pagano e non tedesco, e sin da allora aveva percepito e segnalato il pericolo che si profilava nell'accentuarsi dell'accento arrogante e da caserma della lingua tedesca. Il freno della morale non è affatto l'unico freno che possa impedire alla bestia umana di scatenarsi; per la maggioranza occorre la legge ed i carabinieri senza poter impedire ai furbi di eludere la legge, sgusciare tra le maglie della morale, rasentare il codice e salvare la morale, l'etica e l'etichetta. Per altri in fine i precetti della morale sono arbitrarii, ingiusti, superflui, troppo indulgenti e sin anco immorali da un punto di vista più elevato. Raggiunto un certo punto di maturità spirituale il bisogno di sentirsi interiormente puliti rende in sopportabili le macchie della coscienza, indipendentemente da ogni credenza, ingiunzione, abitudine e tornaconto.

Inoltre la morale è un costume, mos, variabile nello spazio e nel tempo, e non può fornire quel campione universale di misura che occorrerebbe per misurare la perfezione senza restare schiavi delle credenze particolari di una determinata regione, civiltà ed epoca. In un certo momento storico la condotta degli Dei nella mitologia pagana apparve immorale e scandalosa, e la propaganda cristiana trasse profitto da questa esigenza del sentimento morale. Ed oggi molte cose cominciano ad essere poco gradite moralmente cui un tempo non si badava. Il santo miracolo del profeta Eliseo che, deriso da dei ragazzi per la sua calvizie, si arrabbiò e ne fece sbranare quarantadue dagli orsi, non ci sembra più un titolo di santità ma una mascalzonata che Gesù, Socrate e San Francesco sarebbero stati incapaci di concepire. Se il profeta Eliseo fosse stato cristiano avrebbe forse lasciato a Dio il compito di vendicarlo, perché in grado di compiere migliore vendetta, ma anche questa astensione dalla vendetta, non ci sembra molto nobile. La hantise sessuale che pervade le religioni derivate dall'ebraismo e che nel cristianesimo compare ad esempio nella circoncisione cui è dedicato il primo giorno dell'anno e nel dogma della immacolata concezione, è di gusto un po' grossier; e le esortazioni e le minaccie che fanno appello al tornaconto per indurre alla metanoia, offrire il paradiso, e la salvezza dal pianto, dallo stridor dei denti e dall'ira di Dio, hanno un sapore un po' troppo mercantile per il nostro palato. Diciamo pure che non ci sembra molto simpatica la figura di un Padre eterno iracondo, vendicativo e sempre intento ad indurre in tentazione il povero credente sì da rendere opportuno il supplicarlo ad astenersi da un simile passatempo se proprio non ne può fare a meno. Si potrebbe seguitare ad addurre altri esempii, ma smettiamo per non scandalizzare le anime timorate.
Ma, anche se il senso morale fosse meno variabile e grossolano, dovremmo egualmente tenerlo da parte, perché la morale non ha nulla o ben poco a che fare in questioni di arte e di scienza ed in particolare con la analisi delle facoltà fisiche, mentali e spirituali e col loro sviluppo. La morale, come il sale, è un condimento che non va messo dappertutto. Per apprendere l'anatomia e la fisiologia è indifferente l'essere un santo od un farabutto, il teorema di Pitagora può essere compreso dal ladro ed incompreso dall'uomo dabbene, e tanto il francescano che il capitalista possono con congruo allenamento divenire degli acrobati. Come la forza muscolare e la capacità intellettuale non hanno nulla a che fare con la morale, la stessa cosa accade, o per lo meno può accadere, per le facoltà spirituali o per le facoltà meno note ed i sensi occulti dell'organismo che si manifestano solo raramente e sporadicamente. Noi non facciamo l'apologia di Vanni Fucci, bestia; vogliamo solo distinguere quel che non va confuso; vogliamo solo rispettare puramente e semplicemente i fatti e la verità districandoci dalla superstizione della religione moralistica e dalla idolatria per il «mito virtuista». Però non ci basiamo sopra l'ipotesi affatto gratuita che non esista per l'uomo altra possibilità di perfezionamento che il miglioramento morale e religioso, circoscritto per di più nei limiti di una religione e di una morale particolari.

Questa operazione di sviluppo e perfezionamento spirituale ha dunque un carattere puramente tecnico, e nella tradizione muratoria ed in quella ermetica si chiama, come sappiamo, la grande opera, da compiersi secondo le norme dell'arte o tecne. In entrambe le tradizioni è espressa mediante un simbolismo, rispettivamente muratorio geometrico ed alchemico.
La materia prima che è oggetto della trasmutazione muratoria è la pietra grezza, ossia il novizio libero muratore; ed è quindi una materia già scelta, e giudicata atta allo scopo. Questa pietra grezza va sgrossata, rettificata, squadrata e levigata sino ad assumere la forma della pietra cubica della maestria. Strumenti di questo lavoro sono la squadra ed il compasso: il lavoro va compiuto passando dalla squadra al compasso ossia dalla rettitudine alla misura, e tra squadra e compasso che è quanto dire segretamente, poiché si tratta per la natura stessa dell'operazione di un travaglio interiore, intimo ed occulto.
La cerimonia iniziatica del terzo grado rappresenta la grande opera mediante la morte e la resurrezione di Hiram, cui la leggenda muratoria attribuiste la costruzione del tempio di Salomone in Gerusalemme (il tempio della sapienza nella città santa); e la parola sacra di maestro che era andata perduta a causa della morte del Gran Maestro viene sostituita con l'attuale parola sacra del terzo grado. La leggenda di Hiram però non appartiene al patrimonio arcaico muratorio; ed il rituale del terzo grado è opera di uno sconosciuto, che lo compose verso il 1720 traendone dalla Bibbia solo alcuni elementi.
Nella Bibbia Hiram è un fabbro e non un muratore, è di Tiro, e figlio di una vedova della tribù di Nephtali. Il re Salomone lo chiama a Gerusalemme per affidargli dei lavori di metallurgia, e non la costruzione del tempio. La leggenda del terzo grado trasforma invece Hiram nel grande architetto del tempio di Gerusalemme, ne fa insomma un massone accettato: e siccome questo personaggio figura già nel secolo precedente nella letteratura ermetica insieme a Salomone ed alla regina di Saba ¹⁾, può darsi che l'ignoto autore del rituale del terzo grado massonico si sia inspirato alla figura ermetica di Hiram e non semplicemente alla figura biblica di Hiram. Questa ipotesi, oltre a spiegare la competenza iniziatica del compilatore del rituale del terzo grado, trova conferma nel fatto che la parola di passo del grado non è altro che il nome del primo fabbro (secondo la Bibbia), nome che gli ermetisti identificano con quello latino del Dio del fuoco, Vulcano: un antico libretto italiano in lamine di piombo rappresenta questo Tubalcain con la squadra in una mano ed il compasso nell'altra, sostituendolo alla figura del Rebis ermetico pure armato di squadra e di compasso nel testo ermetico del Mylius. Tubalcain-Vulcano ed Hiram sono due artefici e la squadra ed il compasso, strumenti muratorii, sono loro egualmente familiari: e le raffigurazioni che ci sono pervenute e il rituale del terzo grado testimoniano l'antichità e la tenacità della connessione tra i due simbolismi ermetico e massonico della grande opera.

Come curiosità notiamo che anche il massone italiano Quirico Filopanti, nella sua molto fantasiosa sintesi scientifica ed istorica dove pare abbondino informazioni di fonte medianica, connette il dio Vulcano tanto ad Hiram che chiama grande architetto del tempio di Salomone quanto a Wren che il Filopanti chiama Presidente della Frammassoneria inglese, architetto di San Paolo e della ricostruzione di Londra dopo l'incendio del 1666 ²⁾.

1)   Esiste un'opera del celebre rosacroce MICHELE MAIER, la Septimana philosophica (1620), scritta sotto forma di dialogo, i cui interlocutori sono: Salomone, Hiram e la Regina di Saba. Anche in un'altra opera, i Symbola Aureae Mensae (1617), il Maier aveva già posto in connessione questi tre personaggi. Cfr. anche la rivista Ignis, a. 1925, p. 307.
2)   QUIRICO FILOPANTI, Dio liberale, Bologna, 1880, pag. 423.

La leggenda di Hiram ha avuto anche fortuna nel campo letterario perché è stata ripresa e sviluppata dallo scrittore Gérard De Nerval, che nel suo Voyage en Orient lo fa divenire un rivale di Salomone ed impersonare lo spirito democratico chiamato a trionfare della regalità.
Queste immaginarie benemerenze democratiche della vita molto romanzata del grande architetto del tempio gli hanno procurato molte simpatie da parte di molti scrittori massonici: le quali però non possono giustificare l'alterazione della leggenda massonica di Hiram in tal modo perpetrata. Per esempio lo storico italiano G. De Castro, nel suo Mondo segreto edito nel 1864, riporta le fantasie letterarie di Gérard De Nerval senza neppur menzionare questo autore prendendole dal libro: Les francs-maçons, Parigi, 1862 di Alex. de Saint-Albin: ma il De Castro non era un massone e riconosce di avvolgersi tra le ambagi del mito (G. De Castro, Il mondo segreto, vol. IV pag. 39 e seg.). Un altro italiano, Ulisse Bacci, che è stato per lunghi anni Gran Segretario del Grande Oriente d'Italia, nel suo Libro del Massone italiano dà anche egli questa variante spuria del rituale del terzo grado, senza citare né il De Castro né il Saint-Albin, né il De Nerval, e data l'autorità massonica del Bacci il lettore ed il catecumeno sono condotti a formarsi una conoscenza alterata del rituale del terzo grado massonico. Dispiace dovere fare di queste rettifiche, ma sarebbe anche più spiacevole lasciare dilagare e permanere questa erronea variante del rituale e sentirsi poi rinfacciare che nei testi ufficiali od ufficiosi della massoneria, si ammanniscono come elementi della tradizione e della leggenda brani di romanzi di autori abbastanza recenti.

Nella leggenda di Hiram si intrecciano elementi massonici ed elementi ermetici; ma in generale nell'ermetismo la grande opera della trasmutazione spirituale ha per simbolo la grande opera corrispondente dell'alchimia, ossia la trasformazione della materia prima in pietra filosofale) e la trasmutazione dei metalli ignobili in oro.
La tradizione ermetica, araba ed europea fa capo ad una tradizione alessandrina che si richiama al padre dei filosofi (ermetici), il dio egizio Thot, identificato dai Greci con Ermete (trismegisto) ossia Mercurio trismegisto: mentre la parola alchemia è un termine arabo che designa la scienza della trasmutazione chimica. Ma sin dai tempi più antichi ermetismo ed alchimia si trovano collegati e scambiati l'uno per l'altro, e può darsi che le due trasmutazioni fossero considerate come due forme parallele della grande opera egualmente possibili e forse connesse l'una l'altra. Questa antica affinità ha in seguito offerto agli ermetisti intenti alla trasmutazione spirituale la comoda maschera dell'alchimia quando divenne preferibile essere derisi perché pazzi all'essere arsi perché eretici. Non è facile impresa rintracciare i legami e le trasmissioni che uniscono massoneria ed ermetismo, la stessa difficoltà e forse anche più ardua si presenta nelle indagini relative ad ermetismo e rosa croce, rosa croce e fedeli d'amore, fedeli d'amore e templari ecc. Può darsi che vi siano stati ermetisti che erano anche alchimisti, può darsi vi siano stati semplici alchimisti persuasi che tutti gli ermetisti non fossero come loro che degli alchimisti intenti alla ricerca della pietra di proiezione per trasmutare il piombo in oro; ma vi sono certamente stati ermetisti cui non importava nulla della trasmutazione alchemica, e che nella terminologia alchemica vedevano solo un comodo mezzo per nascondere ed esporre ad un tempo quanto stava loro a cuore. E, nonostante il sistematico mimetismo alchemico, abbondano nella letteratura ermetica le derisioni degli alchimisti volgari, chiamati soffiatori perché sempre affaccendati a soffiare aria coi mantici nei loro fornelli. Gli ermetisti dichiarano enfaticamente che i loro metalli non sono metalli volgari ma metalli viventi, che l'oro cui aspirano non è l'oro volgare ma l'oro vivente od oro filosofico; così come in una prima fase dell'operazione hanno per scopo di ottenere l'argento vivo, l'acqua di argento, o idrargirio, o mercurio ossia Ermete.

La materia prima da trasmutare in pietra filosofale, dicono gli ermetisti, si trova dovunque a portata di mano, cosa manifesta trattandosi dell'organismo stesso dell'operatore. La grande opera si attua chiudendo ermeticamente tale materia dentro l'Athanòr o vaso filosofico e riscaldando poi col fuoco filosofico secondo le norme del rito e dell'arte regia.
La chiusura ermetica corrisponde al mistero della middle chamber ed al silenzio e mistero dei pitagorici. Il fuoco lento e costante che da solo compie l'opera è il simbolo dell'ardore spirituale, il tapas degli asceti indiani, al quale per altro non va attribuito semplicemente un significato allegorico perché, secondo riferisce la David-Neel nei suoi libri sopra le iniziazioni tibetane, è possibile con congrue pratiche ascetiche giungere ad emettere dal corpo vero e proprio calore tanto quanto ne occorre per fondere considerevoli quantità di ghiaccio.
Secondo la formola di Basilio Valentino la grande opera consiste nel visitare la parte interiore (od inferiore) della terra, ossia del corpo ed organismo terrestre, nel rettificare e nel rinvenire la pietra filosofale ed occulta. La densità corporea ed i vincoli che legano ad essa la parte spirituale vengono superati mediante una soluzione o scioglimento od analisi ottenuta col solvente universale od acqua regia o vitriol, e gli spiriti cosi liberati vengono raccolti, condensati e coagulati. Finita l'operazione, dalle ceneri o caput mortuum nasce il «figlio dell'arte» od anche il piccolo re, o regolo d'oro, o basilisco, od anche Rebis, o Fenice. Tutte queste denominazioni ed i disegni corrispondenti si inspirano sempre al carattere anfibio della nuova vita. Ad esempio la purpurea ed aurata Fenice è il fenicottero, uccello acquatico. Il Rebis è un importante simbolo ermetico per rappresentare il frutto della grande opera; ha la figura di un essere bicipite, regalmente incoronato, ed a confermarne la natura duplice ed anfibia viene spesso rappresentato in piedi sopra un animale anche esso anfibio come un drago od un coccodrillo. Il Rebis è un simbolo che fu adoperato nel trecento anche dai «Fedeli d'Amore» per esempio da Barberino da Mugello; e compare anche, come abbiamo veduto, armato di squadra e compasso nelle mani, i due strumenti della grande opera muratoria, in testi ermetici e rosacruciani. Queste circostanze permettono di intuire i rapporti ed i legami intercorsi tra fedeli d'amore, ermetisti e massoneria, e non si possono spiegare che riconoscendo al Rebis un significato che connette e trascende i diversi aspetti che ha assunto nel tempo la tradizione della grande opera. La parola rebis è interpretata Res bina, cioè cosa doppia, dagli ermetisti: ed indica appunto il carattere anfibio dell'essere nato ad una seconda vita senza perdere la prima, e quindi vivente di doppia vita, quella umana ordinaria e quella spirituale e superiore. Triplice, secondo gli ermetisti, era il frutto della operazione: la salute in tutti i suoi sensi cioè salute del corpo e salvezza dell'anima, o sopravvivenza ed immortalità, la sapienza e la potenza o ricchezza.

In altri testi ed autori l'ermetismo ricorre al simbolismo della distillazione intesa ad ottenere la quintessenza (quinta essenza) di un liquido. Si riscalda la materia prima nell'alambicco, si separa la parte densa dalla parte sottile mediante l'evaporazione, si condensa la parte sottile evaporata, si distilla a parte e si finisce con l'ottenere l'acquavite (aqua vitae), l'acqua della vita, l'acqua ardente, l'elisir di lunga vita, lo spirito puro o concentrato (Raimondo Lullo o pseudo Raimondo Lullo).
Secondo quanto riferisce Apuleio ³⁾ Pitagora diceva che non da ogni legno si deve scolpire un Mercurio. Analogamente per la massoneria non qualunque profano può divenire un massone e non tutti gli apprendisti e compagni possono divenire dei maestri, perché si tratta di sviluppare un dono naturale e non di creare dal nulla, e non vi è arte regia che possa fare un Paganini di chi non è fornito dell'orecchio necessario. Ed analogamente sin anco il soffiatore, l'alchimista sempliciotto tutto preso dal miraggio dell'oro, si atteneva al precetto che per ottenere dell'oro bisogna partire da una materia prima già contenente dell'oro, e per questa ragione l'ermetismo greco-alessandrino dava all'operazione il nome di diplomi, ossia raddoppiamento o moltiplicazione dell'oro. Dal punto di vista chimico la speranza degli alchimisti era illusoria, sebbene oggi il principio rigoroso della conservazione della materia sia stato sostituito da un principio complesso che lega la massa all'energia: ed è stato Agrippa, mago ed ermetista, il primo, crediamo, che abbia constatato sperimentalmente la vanità del procedimento alchemico, riconoscendo che l'oro impiegato era eguale in peso all'oro ottenuto.

3)   APULEIO, De Magia e cfr. CHAIGNET, I, 114.

La esistenza degli alchimisti puri e semplici che in buona fede si illudevano di essere degli ermetisti non giustifica la superficiale credenza della scienza contemporanea che riduce tutto l'ermetismo ad alchimia, e dopo questa affrettata confusione e conclusione si fa beffa di ciò che non conosce. In simil modo al tempo dei «Fedeli d'amore» vi furono dei semplici poeti in volgare persuasi di appartenere senza altro alla eletta schiera dei rimatori «del dolce stil nuovo», la quale sotto il velame delli versi strani ed in linguaggio chiuso cantava d'amore, di Beatrice, Laura, Fiammetta e simili altre donne: e Dante li deride. La cultura contemporanea che fa tutto un fascio degli ermetisti e degli alchimisti si comporta con pari intelligenza rispetto alla letteratura in volgare dei primi secoli; pregiudizi letterarii e religiosi ne impediscono la comprensione già di per sé stessa difficile al profano dall'uso costante del linguaggio allegorico. E come se questi fattori di offuscamento non bastassero si è fatta avanti anche la psicoanalisi che pretende interpretare la letteratura d'amore, la Divina Commedia, e gli scritti dei Rosacroce e degli ermetisti, spiegando con lo stesso metro e simbolismo il senso occulto per esempio di Dante e dello Stecchetti. Non si accorgono questi scrittori psicoanalisti, che vedono dappertutto le costellazioni interiori in perpetua ed inconscia ricerca di una scarica, non si accorgono di essere proprio essi i veri schiavi del complesso sessuale, essi che sistematicamente subodorano e perseguono dappertutto l'ossessione sessuale e pornografica come lo scarabeo stercorario persegue ed appallottola la prediletta materia prima.
Abbiamo rapidamente tratteggiato le linee principali del simbolismo massonico ed ermetico della grande opera ed abbiamo distinto il perfezionamento massonico da quello moralistico, e l'ermetismo dall'alchimia. Fatte queste distinzioni, le somiglianze tra i due simbolismi usati dalla massoneria e dall'ermetismo per esprimere l'argomento della grande opera sono abbastanza facili da rilevare, e talora la terminologia è assolutamente la stessa. Queste somiglianze sono messe in evidenza nei rituali di alcuni alti gradi e di alcuni riti come quello dei Filaleti, e si trovano esposte per esempio nell'Etoile Flamboyante del Barone De Tschoudy.

Anche il pitagoreismo ha per scopo essenziale questa grande opera di edificazione spirituale che designa col termine di palingenesi. Anche nel pitagoreismo si incontra la difficoltà del mistero e del segreto, aggravata dalla scarsezza degli scritti e documenti pitagorici pervenuti sino a noi. L'etimologia della parola palingenesi o più esattamente palingenesia è semplice. Palin significa di nuovo, e genesia significa generazione o nascita; quindi la parola palingenesi significa nuova nascita, o rinascita o seconda nascita. Se non che non tutti concordano nel significato da attribuire a questa palingenesi. Taluni pensano che essa debba necessariamente essere preceduta dalla morte del corpo e che perciò questa seconda nascita dell'uomo sia quella che oggi si chiama reincarnazione dello stesso individuo in un altro corpo, presso a poco nel senso attribuito a questa parola dagli spiritisti e dai teosofisti. Altri pensano che le due parole corrispondono a due concetti che vanno tenuti distinti; e, mentre non è affatto sicuro che Pitagora abbia insegnato la teoria della reincarnazione almeno come legge generale, è certo invece che la dottrina della palingenesi, che si deve o per lo meno si può compiere durante la vita umana, prima della morte del corpo, è una delle dottrine centrali del pitagorismo. Osserviamo anzi tutto che per definizione l'individuo umano resulta dall'assieme del suo corpo fisico, dell'anima e delle rispettive funzioni a noi note, di modo che morto e distrutto il corpo potrà tutt'al più accadere che l'anima assuma un altro corpo e costituisca un altro individuo, diverso dal precedente, seppure legato ad esso dalla permanenza della stessa anima. Si potrà dare poco peso a questo cambiamento di corpo, come se si trattasse di un cambiamento di vestito, ma per poter dire che è l'individuo che ha trasmigrato in un altro corpo bisognerebbe che il cambiamento si riducesse alla sostituzione del corpo e che tutti gli altri fattori dell'individuo rimanessero inalterati o per lo meno riconoscibili per una parziale permanenza; ma quando il senso di identità col precedente individuo non esiste, quando ricordi di esperienze di un'altra vita non ce ne sono, quando si crede di essere la reincarnazione di uno spirito sommo perché così ha rivelato la cartomante od il tavolino spiritico, mentre questa reincarnazione di uno spirito sommo raggiunge le più alte vette della mediocrità, non si vede quale significato possa accordarsi alla parola reincarnazione. Si racconta che Pitagora si ricordasse di essere stato precedentemente Euforbo e ne riconoscesse le armi; ma anche se il racconto corrisponde a verità non basta per dire: ab uno disces omnes, anche perché Pitagora non era un uomo qualunque. Filolao, antico ed eminente pitagorico italiano, non solo non parla di metempsicosi o trasmigrazione in altri corpi, ma in un suo frammento ⁴⁾ dice solamente che quando la morte separa l'anima dal corpo essa conduce nel Cosmo una vita incorporea; ammette cioè l'esistenza dell'anima, la sua sopravvivenza alla morte del corpo, e la possibilità di una vita incorporea.

4)   FILOL., Fram. 23 e cfr. CHAIGNET, I, 251.

Pare quindi che Pitagora insegnasse la dottrina della metempsicosi o trasmigrazione delle anime, ma non sappiamo se questa dottrina sia stata trasmessa fedelmente e si possa ad esempio desumere dalla esposizione che ne fanno Virgilio ed Ovidio. Comunque palingenesi e trasmigrazione sono due parole e due concetti distinti.
La parola palingenesi è usata anche nel Nuovo Testamento, ma è usata in luogo della parola anastasi che significa resurrezione che non si può identificare con la palingenesi, sebbene il senso della parola anastasi sia nel Vangelo alquanto oscillante. Infatti in alcuni passi della Scrittura si parla di resurrezione dei morti, in altri di resurrezione dai morti, in altri ancora di resurrezione della carne. Questo terzo concetto è il più grossolano e, sebbene San Paolo vi si opponesse esplicitamente, questo concetto eminentemente ebraico ha finito col prevalere e coll'assommare in sé gli altri due nell'insegnamento dei Padri della Chiesa. Questa resurrezione della carne, come è concepita e rappresentata ad esempio nei dipinti di Luca Signorelli nel duomo di Orvieto, è l'unica vera e propria reincarnazione, perché con essa l'uomo, l'individuo, torna ad essere corpo ed anima tale e quale era stato, sia di suo gradimento o no. La seconda nascita diventa così un ritorno allo statu quo ante.
Ma anche ammettendo con San Paolo che il corpo che risorge non è quello terrestre od una copia conforme ma sibbene un corpo spirituale o pneumatico, questa resurrezione paolina differisce dalla palingenesi pitagorica perché a differenza di questa ultima presuppone necessariamente la precedenza nel tempo della morte corporea ordinaria. La resurrezione cerimoniale di Hiram è preceduta dalla morte ed è lo stesso individuo in carne ed ossa che risorge; è una resurrezione concepita non secondo il concetto paolino ma secondo quello di Tommaso apostolo e scettico che volle toccare con mano il corpo materializzato di Gesù risuscitato.

Un altro antico e grande pitagorico, Archita di Taranto, esclude categoricamente la sopravvivenza dell'uomo, e quindi anche la reincarnazione, dicendo in un suo frammento ⁵⁾ che «il vivente muore ma il morto non rivive mai», ed aggiungendo che la vita e la morte sono due cose opposte tra le quali non vi è via di mezzo. Ed Alcmeone, di poco posteriore a Pitagora e le cui dottrine hanno, secondo Aristotile, grande analogia con quelle dei pitagorici, non solo dice che l'uomo è mortale ma ne spiega anche la ragione, perché, dice Alcmeone, «non può unire la fine al principio sebbene vi siano delle anime che hanno questo dono divino»; ma vedremo tra breve come si possa intendere questo apoftegma piuttosto sibillino di Alcmeone.

5)   ARCHITA, Fram. 51 e cfr. CHAIGNET, I, 329.

D'altra parte i Detti aurei, che per quanto siano una tarda compilazione neo-pitagorica del periodo alessandrino, rispecchiano fedelmente la dottrina pitagorica antica, affermano esplicitamente ed enfaticamente che il risultato finale della catarsi e della ascesi del discepolo è il conseguimento della immortalità. Questa è la palingenesi che gli ultimi due versi dei Detti aurei promettono categoricamente al discepolo che sappia lasciare il corpo ed elevarsi sino al libero etere. La palingenesi è dunque la nascita alla vita immortale e divina, mentre la prima nascita accorda soltanto l'ingresso alla vita umana, altrimenti la palingenesi diverrebbe superflua. E, siccome i Detti aurei erano rivolti al discepolo umanamente vivente, essi riassumono il da fare dicendo che, abbandonato il corpo a sé stesso, occorre pervenire coscientemente, anima e spirito, sino al libero etere, cioè oltre la fascia dell'avviluppante (il periekon o empireo).
Durante questa estasi si compie la palingenesi. Il corpo sussiste come sussiste nel sonno profondo o nelle perdite di coscienza, ma non è più una catena, una limitazione, una tomba, come dicevano i pitagorici, per la coscienza del discepolo, il quale, avendo gradatamente acquistato autonomia ed attività nel risveglio delle sue facoltà spirituali, ascende nei cieli sino al decimo cielo od empireo ed in questa condizione del corpo e della coscienza può compiere la palingenesi. Potrà anche darsi la combinazione che la morte fisica intervenga proprio nel momento in cui si verifica la palingenesi, ma la combinazione non può essere la regola. La palingenesi è compiuta dal vivente e non dal morente, come la grande opera ermetica e massonica è compiuta dal vivente e non dal moribondo. Compiuta la palingenesi, diviene superfluo, dopo la morte fisica, il viatico di cui la religione egizia e l'orfismo munivano i morti.
Resterebbe da considerare due questioni: la prima se la conseguita immortalità si riferisce solo alla coscienza oppure comprende anche la immortalità del corpo: la seconda se la palingenesi può essere conseguita anche dai morti o meglio Se il discepolo, che abbia condotto a buon punto il suo lavoro senza però condurlo a termine prima della morte corporea, possa terminarla nella sua vita incorporea. I Detti Aurei tacciono in proposito e noi faremo altrettanto.
La dottrina pitagorica della palingenesi afferma dunque che l'uomo vivente di vita corporea ha la possibilità, di nascere alla vita spirituale prima della morte del corpo, afferma la possibilità, di una seconda nascita ad una vita nuova senza attendere che sia terminata la vita umana mentre la dottrina della resurrezione afferma che tutti i morti devono risuscitare coi loro corpi sebbene gli elementi fisici siano dispersi e facciano magari parte di altri corpi viventi. In generale le religioni derivate dall'ebraismo fanno del problema della vita futura una questione escatologica, e subordinano, magari riducono tutto, ad una preliminare professione di fede; molti credono che solo morendo si può nascere ad una vita spirituale; altri credono che basta morire per seguitare a vivere, e questo basta per loro; altri infine pensano che dispersi gli elementi del corpo lo siano anche quelli dell'anima se pure esistono e che la scienza non ha ancora dimostrato l'esistenza dell'anima, senza contare che in tal caso anche le bestie dovrebbero essere immortali; e la maggioranza pensa per procura ed ha fede nella sapienza di altri che hanno alla loro volta fede nella loro capacità di intendere appieno quello che si dice sia stato detto da esseri superiori. Il pitagoreismo non fa questione di credenza preliminare e non si occupa del futuro dopo la morte; pone il problema nel presente dinanzi all'uomo e dice: Agisci, prova ad attuare una indagine, a compiere un rito: purificati, medita, esplora te stesso, armonizzati, mettiti all'unisono con il tutto, concentrati in perfetto equilibrio ed armonia, dimentica (nel senso letterale della parola) il corpo, risveglia i tuoi sensi interiori, ascendi un gradino dopo l'altro e nascerai a vita nuova. Può darsi che norme tenute segrete regolassero questa trasmutazione e sviluppo: può darsi che essa venisse diretta dalla sola voce interiore del discepolo, può darsi che egli fosse assistito da inspirazioni e da interventi.
Tutto dipende dalla capacità di compiere il rito, dalla fede in sé stesso e nella superiore sapienza. Il pitagoreismo prende l'uomo come è, anima e corpo, senza impantanarsi a discutere ed a definire in base a quello che l'uomo sa e capisce o non sa e non capisce quello che sia l'uomo, il corpo, l'anima, e dice: lavora, prova e riprova, ed osserva i risultati del tuo lavoro.
Dopo si vedrà o meglio si potrà vedere cosa sia l'uomo, la natura, il corpo, l'anima, la vita, la morte, Iddio. Il pitagoreismo segue anche in questo campo il metodo dell'osservazione e dell'esperimento, pur prescrivendo al discepolo la venerazione per gli Dei superi ed inferi e per gli eroi indiati. Si tratta di compiere un'opera, e non di attendere inerti il panierino della grazia o di mettere su una impalcatura che spieghi con un sistema filosofico i misteri dell'universo di cui i nostri sensi percepiscono qualche cosa.

Passiamo ora a considerare il problema dal punto di vista del tempo. Abbiamo veduto come secondo Alcmeone l'uomo sia mortale perché non può riunire il principio alla fine, sebbene vi siano delle anime che hanno questo dono divino. Riunire i due capi, il principio e la fine, la nascita e la morte, è impresa impossibile per l'uomo, dice Alcmeone. La nascita e la morte sono separate dal tempo; è il tempo che rende il problema umanamente insolubile. Ma che cosa è il tempo? Archita è il primo che si occupa della questione del tempo distinguendo il tempo fisico dal tempo psichico (fram. 9, cfr. Chaignet, I, 275). Egli dice che il tempo è la sfera del mondo ed anche che il tempo è l'intervallo della natura del tutto, Galieno dice che il tempo è la sfera del tempo che ci avviluppa; Plutarco ripete che ⁶⁾ Pitagora diceva che il tempo era la sfera del periekon, ed in un altro passo ⁷⁾ riporta come Pitagora, interrogato cosa fosse il tempo, rispose che era l'anima del cosmo. Queste definizioni si riferiscono ben inteso al nostro tempo, al tempo umanamente concepito e vissuto, ed affermano che questo tempo è determinato dalla fascia che avviluppa il cosmo; affermano quindi implicitamente, la relatività di questo tempo cosmico ed umano; e l'esistenza di un altro tempo al di là della fascia nel libero etere, o di un altro modo di essere, o di sentire e vivere il tempo. Archita lo chiama il tempo psichico, Dante lo chiama la durata o l'eternità.

6)   PLUTARCO, Placita Philosoph., I, 19.
7)   PLUTARCO, Quaest. Plat., VIII, 4. 3 e cfr. DELATTE, Etudes, 278.

Passando dal tempo umano al tempo psichico la difficoltà di riunire il principio con la fine diviene superabile; ed i due problemi della immortalità e del tempo si compenetrano. Dante tratta la questione proprio in questo modo. Egli chiama cielo quieto (Conv. II, 13, Par. XXX, 52) il decimo cielo, ossia l'empireo o sfera, del fuoco, e, mentre questo cielo è quieto, le altre nove sfere ammettono il movimento. Dante si collega alla concezione aristotelica e tolemaica; ma anche secondo i pitagorici è il movimento, l'oscillazione, la vibrazione che stampa nel cosmo la successione del tempo; il tempo si pone in movimento e fluisce nell'attimo fuggente tra un passato che non è più ed un futuro che non è ancora. La città santa è soltanto in questo cielo quieto; ed è qui che Beatrice trae Dante e gli dice:

Mira
Quanto è il convento delle bianche stole!
vedi nostra città quanto ella gira! (Par., XXX, 128-30)

ed è soltanto dopo essere salito sino a questo cielo e tra le bianche stole che Dante può dichiarare di avere sorpassato lo stadio umano
Io che al divino dall'umano
All'eterno dal tempo era venuto
E di Fiorenza in popol giusto e sano. (Par. XXXI, 37-39.

Dante supera l'antinomia di Alcmeone passando dalla coscienza umana alla coscienza divina, e con questo passaggio diventa possibile il passaggio dal tempo fisico al tempo psichico, ed in questo tempo psichico il principio e la fine si riuniscono, e l'uomo non è più necessariamente mortale.
Il movimento della natura del tutto, per adoperare il linguaggio di Archita, cui è dovuto il tempo fisico, è musicalmente un intervallo. Il cosmo si muove, vibra, e vibra con una armonia di cui i pitagorici trovano le leggi numeriche. La musica, scienza ed arte insieme, in cui per tradizione si suole concludere con l'accordo maggiore, la musica sacra permette all'uomo di mettersi in armonia con l'armonia delle sfere. Eccoci così ricondotti ad un problema di armonia e quindi alla considerazione numerica del tetracordo e della tetractis. Un unico nesso connette tra loro le varie scienze del pitagoreismo e le connette alla grande opera della palingenesi, ossia della armonizzazione dell'individuo col tutto. La musica calma, purifica, innalza. La leggenda racconta come Pitagora riescisse col solo suono della lira a ridurre alla ragione un ubriaco furioso. L'insegnamento della musica e del canto era impartito nella Scuola Pitagorica e faceva parte dell'educazione greca in generale. Particolare importanza aveva la musica nella catarsi pitagorica; ed Ulisse è rappresentato intento ad ascoltare il canto delle Sirene, le quali secondo gli acusmatici compaiono nella tetractis e secondo Platone costituiscono l'armonia delle sfere. La lira era considerata lo strumento più atto per la musica sacra, come oggi l'arpa o l'organo.
Si può chiedere cosa possa avere indotto Pitagora alla sua definizione del tempo ed Archita alla sua distinzione tra tempo fisico e tempo psichico. Possiamo solo fare delle supposizioni in proposito. Anzi tutto la constatazione che l'attimo fuggente, per quanto divenga irrimediabilmente passato, resta presente nella memoria, nella psiche, e come tempo psichico sopravvive al fluire del tempo fisico. Poi esiste tutto un ordine di fenomeni che permettono di intravedere come la nozione del tempo possa anche essere diversa da quella consueta. In punto di morte il Gran Maestro della massoneria italiana, Mazzoni, disse: Ho perduto la nozione del tempo e dello spazio, bisogna andare; il che mostra come la nozione della coscienza sia indipendente dalla nozione del tempo e dello spazio, e si potrebbero riferire altre esperienze che conducono alla stessa conclusione. Si dice pure che, sempre in punto di morte, accade talora di vedere correre dinanzi alla mente come in un lampo la vita trascorsa, ed anche questa esperienza, forse nota anche al tempo dei pitagorici, trascende la consueta nozione del tempo. Altri fenomeni che possono aver suggerito la teoria pitagorica del tempo sono le previsioni del futuro, le profezie, gli oracoli ed i così detti fenomeni di paramnesia. La incredulità contemporanea nega in blocco la genuinità di questi fenomeni, oppure sostiene che è possibile darne semplici spiegazioni, e vi sono perfino di quelli che sostengono la impossibilità di questi fenomeni perché bisognerebbe ammettere la predeterminazione del futuro e rinunciare al libero arbitrio. Altri dicono che i soggetti di queste esperienze sono degli squilibrati, degli anormali; e che perciò non occorre tenere conto delle loro esperienze.
Ora chi ha veduto con assoluta precisione di particolari lo svolgersi di intere ed imprevedibili scene della propria vita a distanza di mesi prima del loro effettivo avverarsi nel tempo umano, ed avendone prima dato comunicazione per iscritto, non può neppure ammettere un inganno da parte della memoria, non può cancellare dalla propria coscienza queste esperienze per rispettar lo scetticismo altrui, per attendere il responso della scienza, e per tenere in piedi acrobatiche teorie sul destino ed il libero arbitrio. Lo stesso dicasi per chi ha avuto la ventura di constatare con esperienza personale diretta la previsione nei minimi particolari il distanza di anni di fatti importanti sgorgare dalla bocca ignara di un oracolo come acqua sorgiva. Più comuni sono i fenomeni di paramnesia, che consistono nella strana e straordinaria sensazione di avere già vissuto e veduto una scena della vita via via che essa effettivamente si svolge. Si dice che sia una illusione della memoria, senza naturalmente confortare in alcun modo questa asserzione, si affibbia al fenomeno il nome scientifico di paramnesia; ed il fenomeno è cosi collaudato, passa agli atti e cessa dal dare fastidio. Ma lo squilibrato che ha avuto l'esperienza non può lavarsene le mani con altrettanta semplicità; sa bene, sa, che non è stato vittima di una illusione ma protagonista lucido di una genuina percezione del vero; ed anziché vedere in tali fenomeni un sintomo ed un effetto (di squilibrio) noi pensiamo che questi fenomeni si possono verificare nei momenti di perfetto equilibrio e perfetta armonia, diciamo si possono verificare in tali condizioni ma non diciamo che queste condizioni siano necessarie, o sufficienti, o le sole, o per tutti. Cosi siamo indotti a pensare, per esperienza personale, che conta in proposito più di tutto il resto. Ora se la sola nostra esperienza personale basta a darci la conoscenza di parecchi fatti in cui affiora una coscienza del tempo ben diversa da quella consueta umana, siamo indotti a ritenere che anche altri ed in particolare gli antichi pitagorici abbiano avuto esperienze dello stesso genere; e allora i pitagorici non avrebbero fatto altro che inserire questa percezione e distinzione del tempo fisico e del tempo psichico nella loro cosmologia, attribuendo o riconoscendo alla sfera dell'avviluppante la proprietà di operare o di corrispondere a questa distinzione tra tempo e durata.
Questo per quanto concerne la cosmologia pitagorica. Per quanto concerne l'ascesi, ne segue che se l'uomo ha la possibilità di trascendere il tempo fisico in queste esperienze spontanee e sporadiche, questa possibilità può divenire uno degli obbiettivi della stessa ascesi. Le rare e spontanee esperienze sono come fuggevoli balenii della realtà nell'oscurità della notte, che permettono di sperare ed aspirare alla conquista deliberata, cosciente e permanente di tale visione, ossia di una palingenesi ad una vita spirituale o divina.
Questi sono sogni, dirà il lettore equilibrato e pratico, sogni come quelli degli alchimisti, della quadratura del circolo e del moto perpetuo, incompatibili con la scienza moderna. La verità è che la scienza, moderna, scettica e modesta, non può dire nulla in proposito. La teoria della relatività ha dovuto abbandonare i vecchi concetti dello spazio e del tempo ed ammettere un continuo spazio tempo tetradimensionale, la tetractis della scienza moderna, ed ha dovuto ridurre i concetti di massa e di energia a niente altro che dei rapporti numerici. L'analisi fisico chimica ha condotto alla disgregazione della molecola e dell'atomo sino ad ottenere, nella tecnica, lo sprigionamento dell'energia atomica e, nella teoria, dei residui rapporti di numeri, interi, tornando dopo tanta fatica al punto di partenza dei pitagorici. Questa conoscenza raggiunta rende scettici ed insoddisfatti perché scardina l'antico senso di sicura conoscenza prima posseduto senza poterlo sostituire. Per esempio la frase: io bevo un bicchiere d'acqua, aveva una volta un senso preciso e soddisfacente, perché si credeva di intenderla appieno. La luce della scienza moderna ci toglie questa illusione. Infatti, cominciando dall'acqua, noi sappiamo che l'acqua non è affatto quel che ci sembra, ma è una delle forme di aggregazione di molecole composte alla loro volta di atomi di ossigeno e di idrogeno nella proporzione di uno a due legati tra loro elettricamente, e che questi atomi alla loro volta non sono niente altro che delle masse nucleari relativamente distanti ed intorno ,a cui si muovono con grandissima velocità degli elettroni; ed in definitiva (per ora) l'acqua si riduce ad una specie di nebbia di corpuscoli in rapidissimo movimento ed a grande distanza mutua. Un altro nebbione si ha esaminando il bicchiere di vetro con la sola differenza che le molecole sono costituite da atomi di silicio e di alluminio in proporzioni numeriche semplici ben definite. II nebbione bicchiere contiene il nebbione acqua, se non è poroso, in virtù della misteriosa legge di gravità. Un terzo nebbione è il nostro corpo, vera ridda di elettroni, di atomi, di molecole di corpi organici digerenti, tenute insieme dalla misteriosa forza vitale, nebbione vivente cui è collegato l'altro mistero vivente che si chiama l'io che parlando del corpo dice: io bevo. Come si vede, ed abbiamo saltato molte questioni, analizza analizza si finisce col non sapere più che cosa significa bere un bicchier d'acqua, mentre attenendosi alla semplice nozione sperimentale della vita, alle données immediates dell'esperienza le parole: io, bere, bicchiere, acqua richiamano ciascuna alla mente nozioni note per precedenti esperienze, e tutta la frase acquista dalla loro connessione un senso chiaro e preciso. L'analisi della realtà concreta mostra il carattere immateriale della realtà della materia stessa, riducendo tutto a puri rapporti numerici, e facendo svanire il mito ingenuo della materia massiccia tangibile e resistente. Ma allora, se la realtà della materia si riduce alla realtà dei rapporti numerici, anche i rapporti tra cose ed esseri viventi hanno una realtà, sono realtà, e la percezione che se ne ha e le sensazioni che ci producono sono realtà, e la loro conoscenza è una conoscenza reale, primordiale ma sicura. Per quanto relativa e parziale, questa conoscenza è quella che conta. Si può spiegare ad un sordo le teorie dell'acustica ed insegnargli scientificamente che udire non è altro che percepire le vibrazioni la cui frequenza è compresa entro le 40.000 vibrazioni al minuto secondo, ma se è possibile dargli l'udito, fare funzionare il suo orecchio, egli acquisterà la conoscenza vitale dell'udito, la conoscenza diretta, immediata del suono, anche se non capirà nulla delle teorie scientifiche dell'acustica. Il metodo analitico obbiettivo ci ha condotto dal problema della costituzione della molecola al problema della costituzione dell'atomo, e da questo ci porterà chi sa dove; ma per ora, almeno la vita, la morte, la coscienza, la memoria ecc., restano misteri, e la scienza non è in grado e non ha nessun titolo per giudicare sogno e pazzia la speranza di rischiarare il mistero seguendo vie che essa non percorre.
La scienza moderna occidentale è una scienza sperimentale obbiettiva, ottenuta dall'esterno con strumenti in aiuto dei sensi; il suo scopo è osservare, capire, tenendo anche conto dell'inevitabile alterazione (Heisenberg) apportata nelle condizioni dell'esperienza dal suo intervento. In massoneria, in ermetismo, nel pitagoreismo ed in genere nell'esoterismo di tutti i tempi, l'osservatore è anche oggetto dell'esperienza, che viene considerata dall'interno, direttamente, senza limitarne il campo a delle supposte colonne d'Ercole; si tratta più di sentire, di vivere, che di spiegare e teorizzare. Se il colombo possiede la facoltà dell'orientamento e la torpedine marina può dare la scossa elettrica, come è possibile escludere anche in base alla semplice teoria dell'eredità della specie ed alla filogenesi, che qualche uomo, se non tutti, possano giungere a possedere facoltà analoghe?
Migliaia di fenomeni mostrano che l'organismo umano è simile ad una stazione radio ricevente e trasmittente, se pure capace solo di funzionare sporadicamente e indipendentemente dalla volontà. La scienza moderna riconosce la genuinità di tali fenomeni, quando non può esimersene, li cataloga, li archivia, e tira avanti. L'esoterista dice: L'organismo umano gode di queste facoltà, educhiamole ed usiamole e non facciamo come coloro che hanno orecchie e non sentono ed hanno occhi e non vedono. Occorre naturalmente volere ed osare, e non fare come quei bagnanti pusillanimi se pur vigorosi che si fermano tremebondi dinanzi al fondale di un metro forse aspettando che l'evoluzione della specie li trasformi in nuotatori. Un tuffo coraggioso, due bracciate, e si è bello e imparato a sostenersi nell'infido elemento.
Naturalmente la grande opera è impresa più ardua. Mettere il proprio naviglio per l'alto sale è assai più che un semplice tuffo dove non si tocca. Ma per cominciare, invece di aggrapparsi con tutte le forze all'ancora nel sicuro porto del corpo, occorre affrontare l'alto mare aperto, occorre non sentirsi nel corpo ma sentire il corpo entro di sé, accorgersi che si vive nel mar dell'essere e non siamo in terra (DANTE, Inf. 91) come quasi tutti credono, vivere sub specie interioritatis e non tenersi disperatamente a galla colle zucche per farsi sballottare dal flusso e riflusso della vita superflua e superficiale. Abbandonato il corpo e l'aiuola che ne fa tanto feroci, ascesi i cieli, raggiunto l'empireo al di là della sfera del tempo, svincolato dalla nozione umana del tempo e dello spazio, il figlio dell'arte potrà in fine accingersi alla visione suprema e dire con Dante:

Nel suo profondo vidi che si interna.
Legato con amore in un volume
Ciò che per l'Universo si squaderna.(Par. XXXIII, 85-87

Quello che si squaderna mediante la tetractis nell'universo si sprofonda con un processo inverso nella pura interiorità dell'essere. In queste condizioni di coscienza, tra le bianche stole del cielo quieto, la contemplazione della tetractis, del delta massonico, del delta sacro nel santuario del Dio cui Dante dedica l'ultima cantica consente la visione suprema, la intuizione sovrumana del cosmo, poichè
La contingenza, che fuor del quaderno
Della vostra matera non si stende
Tutta è dipinta nel cospetto eterno.(Par. XVII, 37-39)
L'altissimo poeta, il fedele d'Amore, il nostro concittadino Dante Alighieri si inspira manifestamente al concetto della tetractis o quaderno pitagorico, del delta luminoso massonico. Cittadino del cielo, cosmopolita nel vero senso della parola, egli si collega nella sua suprema visione al «nobilissimo filosofo Pitagora» (Conv. III, 41) facendo uso della stessa parola, dello stesso simbolo e dello stesso concetto.

Abbiamo così tracciato sulla tavola tripartita quanto ci è dato comprendere dei numeri sacri e della tetractis. Speriamo che possa contribuire a richiamare i fratelli sparsi sulla superficie della terra al nobile e secolare compito della fratellanza: Dare la luce a chi bussa alla porta del tempio, e condurre gli eletti alla perfezione.

Τ Ε Λ Ο Σ